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文檔簡介

1、 第四章 矩陣一、選擇題(在下列備選題中，將正確的編號填入空格內(nèi))二、填空題3.已知三計算題1.將矩陣表示成的線性組合。2.設(shè)A=，B=. 計算.3.求出所有滿足的二階矩陣。4.設(shè)是一個階矩陣，計算。發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？5. 設(shè) (1)求的逆矩陣。 (2)求解矩陣方程。(3)求解線性方程組。四證明題1 設(shè)是一個元行，是一個元列。(1)計算；（2）證明；(3)設(shè)求。2證明: 兩個上三角矩陣之積仍為上三角矩陣,而且。3.設(shè)是上三角矩陣，是一個多項式，證明也是上三角矩陣，若的對角線元素依次為，則的對角線元素依次為。4.設(shè)是一個上三角矩陣，若，則是對角矩陣。5. 證明 兩個對稱矩陣之積是對稱矩陣當且僅當它

2、們可換。6.設(shè)是一個階對角矩陣，且的對角線元素互不相同，則與可換的矩陣必為對角矩陣。7.設(shè)是一個階對角矩陣，證明和所有階矩陣可換當且僅當是一個純量矩陣。8.每個矩陣都可唯一的表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和。9.證明 奇數(shù)階的反對稱矩陣的行列式等于0。10. 設(shè)是可逆矩陣，證明（1）；（2） 。11設(shè)是一個階上三角矩陣，證明可逆當且僅當?shù)膶蔷€元素均不為0；此時，也是上三角矩陣，且對角線元素依次為。12.設(shè)是一個可逆矩陣，若的每一行元素之和都為a，則，且每一行元素之和均為。13.設(shè)是階矩陣，是一個多項式使得。若，證明可逆，并求其逆。14.證明 秩數(shù)為的矩陣可表示成個指數(shù)為1的矩陣之和。1

3、5. 設(shè)是一個矩陣，證明秩當且僅當有一個元列及一個元行使得。16. 證明每個矩陣可表示成一個可逆矩陣與一個冪等矩陣之積（方陣稱為是冪等的，若）。17.證明 秩秩秩秩。18設(shè)，都是階矩陣，證明可逆當且僅當可逆。19. 設(shè)是一個n階矩陣，則 A 的對角線上的元素之和稱為A的跡數(shù)，記作trA，即.證明:（1）；（2）；（3）20. 證明對于任意n階矩陣A，B，均有。21.設(shè)均為階矩陣，且和可換，證明。22.設(shè)為n階方陣,證明：如果,那么.23.證明 24. 設(shè)是n階方陣。證明：存在一個非零n階方陣使得AB=0的充分必要條件是.25設(shè)是n階方陣，如果對于任一維向量都有Ax=0,那么A=0. 26.設(shè)A為n階方陣其中.證明:。27設(shè)是一個階方陣，其中。證明： 28.設(shè)A為n階方陣,證明

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