《極限與連續(xù)》ppt課件

1、第一章極限與連續(xù)第一章極限與連續(xù)第三節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)函數(shù)的極限一、一、當當 x 時，函數(shù)時，函數(shù) f（x）的極限的極限二、二、當當 x x0 時，函數(shù)時，函數(shù) y =f(x) 的極限的極限三、三、當當 x x0 時，函數(shù)時，函數(shù) y =f(x) 的極限的極限四、極限的性四、極限的性質(zhì)質(zhì)一、一、 當當 x 時時，函數(shù)，函數(shù) f（x）的極限）的極限考查考查 x 時時，函數(shù)，函數(shù) y= 的變化趨勢的變化趨勢可知可知當當 x 時時，函數(shù)，函數(shù) y= 無限接近于無限接近于0，像這種，像這種 x 時函數(shù)時函數(shù) f（x）的的變化趨勢，有如下定義變化趨勢，有如下定義x 表示自變量表示自變量 x 的絕對值無限

2、增大的絕對值無限增大x1x11101yxxy與數(shù)列極限定義類似，函數(shù)極限也有如下定義。與數(shù)列極限定義類似，函數(shù)極限也有如下定義。 定義定義1. 設函數(shù)設函數(shù) y=f（x）在（）在（，a）（a，+）內(nèi)有定義，如果當）內(nèi)有定義，如果當 x 的絕對值無限增大（即的絕對值無限增大（即x ）時，函數(shù)）時，函數(shù) f（x）無限接近于一個確定的常數(shù)）無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱，則稱A為函數(shù)為函數(shù) f（x）當）當 x 時的極限時的極限，記為，記為它是指，例如 .)(limAxfx 定義定義 對于任意小的正數(shù)對于任意小的正數(shù) 0 0，如果存在一，如果存在一個正數(shù)個正數(shù)X，當，當 | |x |X時，就有時，就

3、有| | f（x） - A | - A | 成立，成立，則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù) f（x）當）當 x 時的極限時的極限，記，記為為 .)(limAxfx1 例例1 1. 討論極限討論極限 解解 如圖所示，當如圖所示，當 x 時，函數(shù)時，函數(shù)的值無限接近于的值無限接近于0，即，即 211limxx211)(xxf011lim2xx x 包含包含 x + 與與 x - ，有時只考慮，有時只考慮x +（或（或x -）時，函數(shù)的變化趨勢，對）時，函數(shù)的變化趨勢，對此有下面定義。此有下面定義。-1011211yxxy 定義定義2. 設函數(shù)設函數(shù) y=f（x）在（）在（a，+）（或（）（或（-，b）內(nèi)有定義

4、，如果當）內(nèi)有定義，如果當 x + （或（或 x -）時，）時，函數(shù)函數(shù) f（x）無限接近于一個確定的常數(shù)）無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱，則稱A為函數(shù)為函數(shù) f（x）當）當 x +（或或 x -） 時的極限時的極限，記為記為時）或當或xxAxfAxfxx()( .)(lim)( 例例2 2 討論當討論當 x 時，函數(shù)時，函數(shù) y =arccotx 的極限的極限 解解 如圖所示如圖所示xarcxarcxxcotlim, 0cotlimxarcxarcxxcotlim0cotlim與雖然都存在，但它們不相等，所以雖然都存在，但它們不相等，所以xarcxcotlim不存在。不存在。01xy2ar

5、ccotyx二、二、 當當 x x0時，函數(shù)時，函數(shù) f ( (x) ) 的極限的極限定義定義3設函數(shù)設函數(shù) y= f (x) 在點在點 x0 的左右近旁有的左右近旁有定義（在點定義（在點 x0 處函數(shù)處函數(shù)f (x) 可以沒有定義）可以沒有定義），如果如果當當 x 無限接近于無限接近于 x0 時，對應的函數(shù)時，對應的函數(shù) y= f (x) 的值的值無限接近于一個確定的常數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則，則A稱為函數(shù)稱為函數(shù) y= f (x) 當當 x x0時的極限，記為時的極限，記為).)(,(0Axfxx時時或或當當Axfxx )(lim0 x x0表示表示 x 以任何方式從以任何方式從

6、x 的左右的左右兩側(cè)無限趨近于兩側(cè)無限趨近于 x0 。一般地，當一般地，當 x 無限接近于無限接近于 x0 時，函數(shù)時，函數(shù) f ( (x) ) 趨向于趨向于 A 也有如下定義：也有如下定義：定義定義3設函數(shù)設函數(shù) y= f (x) 在點在點 x0 的左右近旁的左右近旁有定義（在點有定義（在點 x0 處函數(shù)處函數(shù)f (x) 可以沒有定義）可以沒有定義），對對于任意小的正數(shù)于任意小的正數(shù) e e ，如果存在一個正數(shù)，如果存在一個正數(shù)，使，使得當?shù)卯? 0 | x - - x0 | 時，就有時，就有| f (x) - - A| e e 成立成立，則稱則稱A為當為當 x x0時函數(shù)時函數(shù)f (x)

7、的極限，記為的極限，記為).)(,(0Axfxx時時或或當當Axfxx )(lim0 例例3 3 討論函數(shù)討論函數(shù) f ( (x) ) x2 （ x0 ）在）在 x 2 2 時的極時的極限限 解解 如圖所示，當如圖所示，當x 2 2 時，函數(shù)時，函數(shù) f ( (x) ) x2 無限接無限接近于近于4，所以，所以4lim22xx4202yxyx 由極限的定義并借助于函數(shù)的圖象，能確定一些由極限的定義并借助于函數(shù)的圖象，能確定一些常見函數(shù)的極限：常見函數(shù)的極限：;1sinlim;1coslim;0sinlim;0coslim;lim;lim20020)(00 xxxxxxCCxxxxxxxxx幾點

8、說明：幾點說明：( (1) )與數(shù)列極限相似，與數(shù)列極限相似， f ( (x) ) 趨向于趨向于 A 的過程的過程中中，可以有大于可以有大于 A 的，可以有小于的，可以有小于 A 的，也可以的，也可以有等于有等于 A 的的 . ( (2) )自變量自變量 x x0 也可以用不等式表示也可以用不等式表示. 如果用如果用 d d 記作充分小的正數(shù)記作充分小的正數(shù). 那么那么 x 無限接近無限接近 x0 ，可由，可由 x0 的的 d d 空心鄰域表示，即空心鄰域表示，即 0 | x x 0| d d . . d d 表示表示 x 與與 x0 接近的程度接近的程度.這樣這樣 ，Axfxx )(lim0

9、就是指，當就是指，當 0 | x - - x 0| d d 時時恒有恒有 | f (x) ) - - A | e e . .A A e e f ( (x) ) A e e( (3) ) 幾何解釋幾何解釋 . . Axfxx )(lim0AA e eA A e ey = f (x)x0 d dx0 + d dx0yxO 不管它們之不管它們之間的距離有多么小間的距離有多么小. 只要只要 x 進入進入 U( ( ,0 x 是指：當是指：當 0 |x x0| d d 時，時， 恒有恒有 | f (x) A | e e . . 即即作兩條直線作兩條直線 y = A e e 與與 y = A e e .

10、d d ) 內(nèi)，曲內(nèi)，曲線線 y = f (x) 就會落在這就會落在這兩條直線之間兩條直線之間. 定義定義4 如果如果 f (x) 在（在（a，x0 ）內(nèi)）內(nèi)有定義，有定義，并且當并且當x x0-0時，函數(shù)時，函數(shù) f (x)無限接近于一個無限接近于一個確定的常數(shù)確定的常數(shù)A，則稱，則稱A為函數(shù)為函數(shù) f (x) 當當x x0 時的左極限，記為時的左極限，記為. )(lim( )(lim00AxfAxfxxxx 或或三、三、 當當 x x0 時，時， f (x) 的左極限、右極限的左極限、右極限定義定義5 如果如果 f (x) 在（在（x0 ，b）內(nèi)）內(nèi)有定義，并有定義，并且當且當x x0+0

11、時，函數(shù)時，函數(shù) f (x)無限接近于一個確無限接近于一個確定的常數(shù)定的常數(shù)B，則稱，則稱B為函數(shù)為函數(shù) f (x) 當當x x0 時時的右極限，記為的右極限，記為. )(lim( )(lim00BxfBxfxxxx或Axfxfxxxx )(lim)(lim00 左、右極限統(tǒng)稱為函數(shù)左、右極限統(tǒng)稱為函數(shù) f ( x ) 的單側(cè)極限的單側(cè)極限. 顯然顯然 x x0 時，時， f ( x ) 的極限存在的充分必要的極限存在的充分必要條件是：條件是： f ( x ) 在在 x0 處的左、右極限存在且相處的左、右極限存在且相等等 。 即即 例例 4 4討論函數(shù)討論函數(shù) 1,1.10 10, 0, 1)

12、(2xxxxxxxxf處處的的極極限限和和在在解解 ( (1) )因為因為.1)1(lim)(lim00 xxfxx.0lim)(lim200 xxfxx函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x = 0 處左、右極限存在但不相等，處左、右極限存在但不相等，所以當所以當 x 0 時，時， f (x) 的極限不存在的極限不存在. ( (2) ) 因為因為, 1lim)(lim211 xxfxx.11lim)(lim11 xxxf函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x = 1 處左、右極限存在而且相等，處左、右極限存在而且相等，所以當所以當 x 1 時，時， f (x) 的極限存在且的極限存在且.1)(lim1 xf

13、x.223lim22 xxxx求求例例 5 5解解223lim22 xxxx2)1)(2(lim2 xxxx.1)1(lim2 xx. )(lim 22xxx 求求例例 6 6解解. 622)(lim222 xxx解解例例7 7).(lim , 0,0, 0,)(02xfxxxxxxfx 求求設設函函數(shù)數(shù).1)1(limlim)(lim0200 xxxxxfxxx以上例題說明了下列幾種重要現(xiàn)象：以上例題說明了下列幾種重要現(xiàn)象：( (1) ) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x0 處極限存在，但函數(shù)處極限存在，但函數(shù) f (x) 在在 x0 處可以沒有定義處可以沒有定義( (如例如例 7) ) .( (2) ) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x0 處雖然有定義，且在處雖然有定義，且在 x0 處有處有極限，極限， 但兩者不等，但兩者不等，. )5()()(lim00如如例例即即xfxfxx ( (3) ) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x0 處有定義，也有極限且兩者處有定義，也有極限且兩者相等相等 .性質(zhì)性質(zhì)1 若若 存在，則極限存在，則極限是唯一的。是唯一的。 )(lim( )(li