四邊形的旋轉(zhuǎn)與翻折

1、（一）正三角形類型 在正 ABC中，P為ABC內(nèi)一點，將 ABP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60°,使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a ）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b ）中的一個 P'CP中，此時 P'AP也為正三角形。ffl (1-2) A例1.如圖：（1-1 ）:設(shè)P是等邊 ABC內(nèi)的一點，PA=3 , PB=4 , PC=5，/APB的度數(shù)是（二）正方形類型 在正方形 ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將 ABP繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a ）中的PA、PB、

2、PC三條線段集中于圖 （2-1-b ）中的CPP'中，此時BPP'為等腰直角三角形。例2.如圖（2-1 ） : P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到正方形的三個頂點 A、B、C的距離分別為 PA=1 , PB=2 ,PC=3。求此正方形ABCD面積。8S （卜2訂+圖 <2-1)（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形 ABC中，/C=Rt / , P為AABC內(nèi)一點，將 APC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°,使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b ）中的一個 P' CP為等腰直角三角形。例 3 .如圖，在ABC 中，/ ACB =90 0

3、, BC=AC , P 為 AABC 內(nèi)一點，且 PA=3 ,PB=1 , PC=2。求/ BPC的度數(shù)。B對給定的圖形（或其一結(jié)論開放，注重平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則,部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類實體的特點是:考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識來解決相關(guān)的問題,

4、F面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。.平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.“一定的方向”稱 為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運 動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。A.C. 1:D . 1:3點評：本例考查靈活運用旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和含 30

5、0角的直角三角形的性例1 .如圖，將 ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)60 o后得至ABC，且C為BC的中點，貝U C'DDB =(質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn) ACC是等邊三角形.二、翻折翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180 0后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多.另外，從運動變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般

6、的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的，值得大家留意。例2 .如圖，將矩形 ABCD沿AE折疊，若/ BAD '=30。，則/ED '等于（）B. 45C. 60D . 75解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)/ EAD= /EAD /AED=點評：圖形沿某條線折疊,這條線就是對稱軸，利用軸對稱的性質(zhì)并借助方程的的知識就能較快得到計算結(jié)果。由此看出，近幾年中考,重點突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運動的思想（圖形的旋點評：本例考查靈活運用翻折前后兩個圖形是全等的性質(zhì)的能力,/AED'例年南京巾）己知刪紙片抽匸亠 抽立 An=i.箱紙片折疊使頂點 4翩5丄的點E重合，如果折別與A

7、D, AB女與肛 GC如圈Ih 廿=扌, 求DF的長；轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運動）都一一考查到了.因此在平時抓住這三種運動的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的 復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動手能力、觀察能力的好素 材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時，我們 通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達到求解的目的。例1:如圖，直角梯形 ABCD中，AD /BC, AB丄BC, AD=2 , BC=3，將腰CD以D為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90 °

8、 至ED，連結(jié)AE、CE,yADE的面積是（）A 1 B 2 C 3 D不能確定點評：明確 ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成 DE,作梯形高是常見的解題方法之一。變式題1 :如圖，已知 ABC中AB=AC , /BAC =90 °，直角/EPF的頂點P是BC中點，兩邊 PE, PF分別交AB、AC于點E、F,給出以下五個結(jié)論:C(1 ) AE=CF (2)/APE= /CPF ( 3)AEPF 是等腰直角三角形(4) EF=AP ( 5) S 四邊形 aepf= S/abc 邊，當(dāng)/EPF在MBC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合）上述結(jié)論中始終正確的序號有.例2 D、E為AB

9、的中點，將 ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處。若/ B=50。，則/BDF=點評：幾何變換沒有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，觀察問題、分析問題。變式題2:如圖，矩形紙片 ABCD，AB=2，/ADB=30，將它沿對角線BD折疊（使 ABD和AEBD落在同平面內(nèi)）貝y A、E兩點間的距離為.(1 )(2)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;旋轉(zhuǎn)具有以下特征:圖形中的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度;對應(yīng)角、對應(yīng)線段相等;圖形的形狀和大小都不變。利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如一.求線段長.例：如圖，已知長方形 ABCD的周長為AE丄EF, AE

10、=EF，求 CF 的長。二.求角的大小例:如圖，在等邊 ABC中，點E、D分別為AB、BC上的兩點，且BE=CD , AD與CE交于點M ,求JmE的大小。三進行幾何推理 例：如圖，點F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分/DAF，請說明DE=AF-BF成立的理由。數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩 種思想一一對稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下:它包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中1、對稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對稱這些概念中，對稱這一概念非常重要心對稱對稱是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛例：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個較基本

11、的圖形經(jīng)過哪些運動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱 圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形?分析： 這是一個涉及軸對稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路主要通過直觀觀察取得。這個圖案較基本的圖形是正方形，一個小正方形沿對角線方向平移一個對角線長、兩個對角線長后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個 90。后得到題目中給出的圖案，整個過程如圖所示。理-O 她W>o這個圖形是軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱.中心對稱圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過程。2、旋轉(zhuǎn)的思想： 旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡單的平面圖形

12、按要求旋 轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢茫箚栴}獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。例：如圖，正方形ABCD內(nèi)一點P, /PAD=/PDA = 15 °，連結(jié)PB、PC,請問：PBC是等邊三角形嗎?為什么?F1.如圖，ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將MBP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后,能與ACP '重合，如果AP=3，請求出PP的長.ABD繞點D按順時針方向2 .如圖，在 ABC中，/ BAC=120。，以BC為邊向形外作等邊三角形 BCD ,旋轉(zhuǎn)60 °后得到ZECD，若AB=3，AC=2，求/ BAD的度數(shù)與AD的長.3 .如圖，點 O是等邊 ABC內(nèi)一點，/ AOB=110 。

13、，啟OC= 得ADC，連接OD .(1 )試說明： COD是等邊三角形;(2 )當(dāng) =150。時，試判斷AOD的形狀，并說明理由;(3 )探究：當(dāng) 為多少度時， AOD是等腰三角形?.將 BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60S APB 20 cm , S cdq 30cm，貝U S 陰影4.如圖在CABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的任意兩點,5.如圖，已知在CABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE= DF,點G、H分別在BA和DC的延長線上,且 AG = CH，連接 GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形.6.如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD，點E、F分別是B

14、C、AD的中點，連接 EF并延長，分別與 BA、CD的延長線交于點 M、N，則ZBME= ZCNE (不需證明).小明的思路是：在圖 1中，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而/ 1= /2，再利用平行線性質(zhì)，可證得/ BME= /CNE .(1):如圖2，在四邊形 ADBC中，AB與CD相交于點 0, AB=CD , E、F分別是BC、AD的中點,連接EF,分別交DC、AB于點M、N，判斷OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論;(2):如圖3，在ABC中,AC > AB, D點在AC上，AB=CD , E、F分別是BC、AD的中點，連接BA的延長線

15、交于點若/EFC=60 °，連接GD，判斷 AGD的形狀并證明.EF并延長，與G,7.如圖，在 ABC中，AB=AC , AD 是A ABC的角平分線，點 0位AB的中點，連接 DO并延長到點 E,使OE=OD，連接 AE、BE(1 )求證：四邊形 AEBD是矩形;(2 )當(dāng)ABC滿足什么條件時，矩形 AEBD是正方形，并說明理由.8.如圖，平行四邊形 ABCD中，AB AC , AB 1 , BCAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交(1 )證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，BC, AD 于點 E, F .四邊形ABEF是平行四邊形;(2 )試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等;E75 .對角線AC, BD相交于點O ,將直線(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形 BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).D9.在ABC 中，AB=AC ,/BAC= a(0 °< a<60 ° )將線段BC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60。得到線段BD。(1 )如圖1，直接寫出/ABD的大小(用含a的式子表示);(2)如圖2，/BCE=