機械振動(總復習資料)

1、機械振動基礎第一章 導論§1.1引言§1.2振動的分類§1.3離散系統(tǒng)各元件的特征§1.4簡諧振動及其表示方法§1.5疊加原理§1.6振動的幅值度量第二章單自由度系統(tǒng)§2.1引言 §2.2無阻尼自由振動 §2.3阻尼自由振動 §2.4單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動 §2.5簡諧強迫振動理論的應用 §2.6周期強迫振動 §2.7非周期強迫振動第三章二自由度系統(tǒng)§3.1引言 §3.2運動微分方程§3.3不同坐標系下的運動微分方程 §3

2、.4無阻尼自由振動 第四章 多自由度系統(tǒng)§4.1運動微分方程 §4.2固有頻率與振型 §4.3動力響應分析 §4.4動力響應分析中的變換方法第五章隨機振動§5.1隨機過程 §5.2隨機過程的數(shù)字特征 §5.3平穩(wěn)過程和各態(tài)歷經過程§5.4正態(tài)隨機過程 §5.5相關函數(shù) §5.6功率譜密度函數(shù)§5.7線性振動系統(tǒng)在單隨機激勵下的響應 §5.8線性系統(tǒng)在兩個隨機激勵下的響應第一章導論§.1引言振動:指一個物理量在它的平均值附近不停地經過極大值和極小值而往復變化。機械振動

3、：機械或結構在它的靜平衡位置附近的往復彈性運 動。機械振動研究對象： 機械或結構，在理論分析中要將實際的 機械或結構抽象為力學模型，即形成一個力學系統(tǒng)。激勵或輸入：外界對振動系統(tǒng)的激勵或作用。響應或輸出：系統(tǒng)對外界影響的反應，如振動系統(tǒng)某部位產 生的位移、速度、加速度及應力等。機械振動研究內容：研究激勵、響應和系統(tǒng)三者之間的關系。激勵響應>輸入彳系統(tǒng)輸出激勵、系統(tǒng)和響應三者知其二可求出第三者。常見的振動問題的二種基本課題:1 .振動設計已知外界激勵的條件下設計系統(tǒng)的振動特性，使其響應滿足預期的要求。2.系統(tǒng)識別根據已知的激勵與響應的特性分析系統(tǒng)的性質，得到振動系統(tǒng)的全部參數(shù)。3.環(huán)境預測

4、已知系統(tǒng)振動性質和響應，研究激勵的特性。§1.2振動的分類1.2.1 線性振動和非線性振動 振動可分成線性振動和非線性振動兩種。線性振動：系統(tǒng)在振動過程中，振動系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性力分別與絕對加速度、相對速度、相對位移成線 性關系。線性振動系統(tǒng)可以用線性微分方程描述。非線性振動：系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性力與絕對加速度、相對速度、相對位移不是線性關系。非線性振動系統(tǒng) 只能用非線性微分方程描述。1.2.2 確定性振動和隨機振動確定性振動：系統(tǒng)的振動對任意時刻 t，都可以預測描述它的物理量的確定的值 x。反之為隨機振動。在確定性振動中，振動系統(tǒng)的物理量可以用隨時間變化的函數(shù)描述。隨

5、機振動只能用概率統(tǒng)計方法描述。123 離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng) 系統(tǒng)的自由度數(shù)：描述系統(tǒng)運動所需要的獨立坐標的數(shù)目。連續(xù)系統(tǒng)：振動系統(tǒng)的質量和剛度都是連續(xù)分布的，需要無限多個自由度才能描述它們的振動，它們的運動微分方 程是偏微分方程。離散系統(tǒng)：在結構的質量和剛度分布很不均勻時，或為了解決實際問題的需要，把連續(xù)結構簡化為由若干個集中質 量、集中阻尼和集中剛度組成的系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)只 有有限個自由度。描述離散系統(tǒng)的振動可用常微分方程。124 其他的分類 按外界激勵情況和系統(tǒng)對激勵的響應情況分類。按激勵情況分類: 自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下或原有的激勵消失后的振動。強迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵作用

6、下產生的振動。按響應情況分類: 大致可分為確定性振動和隨機振動。其中確定性振動又可分為:簡諧振動：振動的物理量為時間的正弦或余弦函數(shù)。周期振動：振動的物理量為時間的周期函數(shù)，可用諧波分析的方法歸結為一系列簡諧振動的疊加。顯然，簡諧振動 也是周期振動。瞬態(tài)振動：振動的物理量為時間的非周期函數(shù)，在實際的振動中通常只在一段時間內存在。§1.3離散系統(tǒng)各元件的特征離散振動系統(tǒng)三個最基本的元件：慣性元件、彈性元件和阻尼元件。彈性兀件：忽略其質量和阻尼，在振動過程中儲存和釋放勢能。彈性力與其兩端的相對位移成比例，方向相反。Fs2k(X2 Xi)線性扭轉彈簧:kt ( 21)阻尼元件：在振動過程中

7、消耗振動能量。在線性振動系統(tǒng)中，阻尼力的大小與阻尼元件兩端的相對速度成比例，方 向相反，這種阻尼又稱為粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的質 量和彈性。Fd2C(X2 Xi)慣性元件：完全剛性且無阻尼，在振動過程中儲存和釋放動能。集中質量的慣性力與慣性坐標系下的加速度(絕對加速度)成正比，方向相反。扭轉振動系統(tǒng):FmmxTm若干個元件串聯(lián)或并聯(lián)的情況，等效剛度、等效阻尼和等效質量。簡諧振動及其表示方法1.4.1簡諧振動周期運動滿足x(tT) x(t)簡諧運動滿足:x(t)A sin(或 x(t) Bcos( t )1.4.2 兩種常用的簡諧振動表示方法1. 向量表示法2. 復數(shù)表示法Fn(t)，分別對

8、應于響應X1 (t)、X2(t)、Xn(t),若激勵為Fl (t)=C 1 Fl (t)+C 2 F2(t)+ C nFn(t)，則有對應的響應X(t)=C1 X1 (t)+ C 2 X2(t)+ +C nXn(t)成立。§1.6振動的幅值度量1 .峰值X X(t)2 .平均值maxlim 1 TT 0 x(t)dt3 .均方值X2lim 1 T 2T0 Xdt4 .均方根值(rms)是X2的平方根。Xrms第二章單自由度系統(tǒng)基本內容:無阻尼自由振動 阻尼自由振動 單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動 簡諧強迫振動理論的應用 周期強迫振動非周期強迫振動§2.1引言單自由度系統(tǒng)：只有一

9、個自由度的振動系統(tǒng)。可用一個常系數(shù)的二階線性常微分方程描述其振動規(guī)律。§2.2無阻尼自由振動 自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的一種振動形態(tài)。2.2.1運動微分方程 列出系統(tǒng)的運動微分方程步驟:1.取一個坐標系，原點為靜平衡時質量所在位置。2.設質量沿坐標正向有一移動，考察質量的受力情況，畫出 隔離體圖。3. 按牛頓第二定律寫出運動微分方程。4. 確定系統(tǒng)初始的運動狀態(tài)。mx kx 0x(0)Xo，X(O) Xo2x 0xo , x(0)XoXx(0)系統(tǒng)的固有頻：n Jk/ m方程的通解為:xA,cos nt"sinnt Acos(nt)AiX0,A x。/A

10、Jx (X。/ n)2arctgnx。x。n22.2.3有效質量單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動2周期：T -頻率:系統(tǒng)的動能、勢能:Etd(EtU) 0Et UE常數(shù)無阻尼自由振動時，振動系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機械能在運動中保持不變。Et maxU max定義動能系數(shù):T'mA22-kA2 E2丄mx22 maxk/ mUmax/T'對于單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動系統(tǒng)，有以下結論:1.單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動。運動的中點為系統(tǒng)的靜平衡位置。2.振動頻率只與系統(tǒng)的剛度、質量有關。3. n、fn與Jk成正比而與Jm成反比。4.振動得以維持的原因是系統(tǒng)有儲存動能的慣性

11、元件和儲存勢能的彈性元件。振動時動能、勢能不斷相互轉換。上面的結論與坐標系的選擇無關，但選擇合適的坐標系有助于簡化問題的求解。222 求固有頻率的方法方法1 :列出系統(tǒng)運動微分方程，求出系統(tǒng)的固有頻率，方法Jk/m。需已知系統(tǒng)的剛度和質量。2 :靜態(tài)位移法。根據虎克定律，彈簧質量系統(tǒng)靜止時在重力的作用下彈簧被壓縮，有：k2故：n k/m g/mg方法3 :能量法。用能量法求固有頻率有兩種方法:一種方法是求出系統(tǒng)的動能和勢能，再根據d(Et U) 0求出系統(tǒng)的運動微分方程，從而得到固有頻率。另一種方程是求出系統(tǒng)的最大勢能和動能系數(shù)T' mA222max，然后根據2n k/m Umax/T

12、'求出固有頻率。離散系統(tǒng)模型約定，系統(tǒng)的質量集中在慣性元件上，彈性元件無質量。當彈性元件的質量占系統(tǒng)質量的相當部分 時，略去它會使計算得到的固有頻率住偏高。可以采用能量等效的方法，加大慣性元件的數(shù)值，使慣性元件的動能等于系統(tǒng)的總動能，再把彈性元件的質量略 去。對于質量均布彈簧，在考慮彈簧質量的條件下，系統(tǒng)的固有頻率:I kVm m'/3系統(tǒng)在動能意義下的質量為系統(tǒng)的等效質量。它并不定等于系統(tǒng)慣性元件的質量加上其他元件的質量。等效剛度的定義同理。§2.3阻尼自由振動阻尼：度量系統(tǒng)自身消耗振動能量的能力的物理量。最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼粘性阻尼力的大小與相對速度

13、成正比，方向與速度方向相反。阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程為:m x ex kxx(0) Xo，x(O)x0定義系統(tǒng)的臨界阻尼：Ce 2總2m n定義 為系統(tǒng)的阻尼比（相對阻尼系數(shù)）cc c2m n Zmk c。利用 ，可把阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程為變換為:2X 2 nxnx 0根據 的大小，可得到三種不同形式的解:1.>1 :強阻尼（過阻尼） 系統(tǒng)運動微分方程的通解為:X e nt(A1 2 1 nt AeJSnt)A,2 2(Xr強阻尼情況下系統(tǒng)的運動不是振動。2.= 1 :臨界阻尼。系統(tǒng)運動微分方程的通解為:X Ae ntA>tentc Xo,C2 (XonX0 ) / d

14、A1X0, A2X0nX。臨界阻尼情況下系統(tǒng)的運動也不是振動。3.<1 :弱阻尼。系統(tǒng)運動微分方程的通解為：ntcos( dt )X e nt（Ci cos dt C2 sin dt） Xe2.4.1系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應定義阻尼固有頻率：d Jin只有當弱阻尼時，系統(tǒng)的運動才是振動（衰減振動）。隨著X時間增長，即t趨于無窮時，振動逐漸衰減為零，系統(tǒng)趨于靜止。由于有衰減項e nt振動既不是簡諧振動，也不是周期振動。在阻尼自由振動時，振動的振幅隨時間增長按指數(shù)規(guī)律衰減。阻尼對自由振動的頻率，dTd2周期都有影響&2 n_ T:2由于存在阻尼，振動頻率降低，振動周期增大阻尼對阻尼自由

15、振動的振幅影響很大。由于阻尼的存在，可有效地抑制振幅。定義對數(shù)衰減率:in互1X2<12有:可以測出系統(tǒng)阻尼自由振動時的響應，求出對數(shù)衰減率，進而得到系統(tǒng)的阻尼比。§2.4單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動簡諧強迫振動：激勵是時間簡諧函數(shù)。單自由度簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程:m x cxkx f (t)簡諧激勵:f (t) Fo cos t kAcos t定義A為:A Fo / k簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程：C2x 2 nx nXnAcos t單自由度簡諧強迫振動系統(tǒng)運動微分方程是二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程它的解由兩部分組成： 通解+特解2一部分是方程x 2 nx nx 0對應

16、的齊次方程的通解，由于系統(tǒng)存在阻尼，這部分解只在振動開始后的一段時 間內有意義，超過這段時間后，由于阻尼的影響，最終被衰減到零（瞬態(tài)響應）。2另一部分是x 2 nx nx2nAcos t的一個特解，它表示系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振動，穩(wěn)態(tài)解，其響應稱為穩(wěn)態(tài)響應。特解可表示為:x X cos(AV1(/ n)22(2/ n)2arctg產爲2 /Acos t arctg 42x(t) /2 2( n) 2J1 ( / n)22(2/ n)2單自由度系統(tǒng)受簡諧激勵的微分方程的解為x x1 X cos( t )從穩(wěn)態(tài)解(特解)可以得出：激勵幅值的大小只影響穩(wěn)態(tài)響應的幅值，二者之間成正比，并不影響穩(wěn)態(tài)響

17、應的相角。而激勵頻率既影響穩(wěn)態(tài)響應的幅值，也影響穩(wěn)態(tài)響應的相角。2.4.2 復頻率響應幅頻特性與相頻特性1定義復頻率響應H( ) : H( ) 1( / n)2 i2 ( /n)H()的模為系統(tǒng)的放大因子：1J1 ( / n)22(2/ n)2X AV1 ( / n)22 (2/ n)2H()AH()或()為復頻率響應H()的幅角：()H(arctg)X/A2/ n1(/ n)2x Rez ReAH( )ei( t Ah( ) cos( t )引入復頻率響應的意義：復頻率響應H()可以用來描述激勵頻率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的影響。 它的模H ()體現(xiàn)了激勵頻系統(tǒng)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(穩(wěn)態(tài)解)可表示為

18、:)率對響應幅值的影響，它的幅角()體現(xiàn)了激勵頻率對響應 相位的影響，靜位移 A體現(xiàn)了激勵幅值對響應幅值的影響。系統(tǒng)的復頻率響應只取決于兩個參數(shù)：激勵頻率和系統(tǒng)固有頻率的比值(頻率比)/ n和系統(tǒng)的阻尼比H( / n,)幅頻特性圖和相頻特性圖:橫坐標-頻率比/ n，系xj、統(tǒng)的阻尼比-放大因子|H()或相角為參數(shù)，縱坐標圖 幅頻特性圖和相頻特性圖Q從幅頻特性圖和相頻特性圖可以看出:當1/42時(在整個頻率范圍內，> 0.707 ),放大因子沒有峰值。這時1/血稱為小阻尼情H( ) WI。通常把況。只有在小阻尼情況下， 放大因子H()才在 >0時有峰值，而且峰值H()max >

19、1 o關注n這三個特殊點，H(H(0)1,H( )0, H( n)和()分別為12(0) 0,()，(n)/2H()根據頻率比/ n的大小，可以把系統(tǒng)響應分成三個不同的范圍，由向量圖可清楚看出這三個范圍的特點。當/ n<<1時：激勵主要是與彈性力平衡。因為激勵的頻率很低，系統(tǒng)的速度、加速度都很小，相應地阻尼力、慣性力也很小，響應的振幅接近于靜位移。當/ n>>1 :激勵主要是與慣性力平衡。因為激勵頻率很高，使激勵力方向變化過快，系統(tǒng)由于慣性來不及跟隨。當即共振時：響應的振幅比靜位移大，激勵力與阻尼力平衡，彈性力與慣性力平衡。稱/ n = 1附近為系統(tǒng)的共振區(qū)。峰值點并不

20、在頻率比/ n=l的位置，而在/ n Jl 2 2處，即激勵頻率小于固有頻率的地方。243 能量關系與等效阻尼1.能量關系對于無阻尼系統(tǒng)，由于無阻尼，振動時無能量消耗。當激勵頻率n時，無能量輸入，外力對系統(tǒng)不做功時，外力對系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量越來越大，以致振動的振 幅越來越大。無阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵時， 如果激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率，由于系統(tǒng)無阻尼，因此外力對系統(tǒng)做的功全部轉成系 統(tǒng)的機械能即振動的能量。外力持續(xù)給系統(tǒng)輸入能量，使系統(tǒng)的振動能量直線上升，振幅逐漸增大。由此可知，即使是 無阻尼系統(tǒng)共振時，也需要一定的時間來積累振動能量。在 實際中有些機械結構在起動或停機時無法避免通過共振區(qū)， 為避

21、免在共振區(qū)給結構造成損壞，可以采用迅速通過共振區(qū) 的辦法來解決。2.等效阻尼假定系統(tǒng)做簡諧振動，令原系統(tǒng)耗散的能量與粘性阻尼耗散的能量相同，從而求出等效阻尼系數(shù)§2.5簡諧強迫振動理論的應用2.5.1旋轉失衡引起的強迫振動2盧? Iflk2圖 失衡激勵下的幅頻特性圖、相頻特性圖特點:當/ n 0，即轉速遠低于系統(tǒng)的固有頻率時，M?Xm e0，也就是說失衡激勵引起的振動很小。當/ n,即轉速遠高于系統(tǒng)的固有頻率時，M?Xm e1，即響應的振幅X M，為一個確定的值。1，即轉速接近但略高于系統(tǒng)的固有頻率時，響應的振幅最大（共振）2.5.2 支承運動引起的強迫振動圖 支承激勵下系統(tǒng)的幅頻特

22、性圖、相頻特性圖特點:當/ n72時，無論阻尼比為何值，響應幅值總是與激勵幅值相等，即 X/A = I。阻尼比越當/ n V2時，阻尼抑制了響應的幅值，大，響應的幅值越小。但無論阻尼為何值，響應的幅值總大 于支承運動的幅值，即 X> A。當/ n丘時，響應的幅值總小于支承運動的幅值， 即XV A。但 越大，響應的幅值反而增大。2.5.3 隔振原理 振動隔離指將機器或結構與周圍環(huán)境用減振裝置隔離，它是消除振動危害的重要手段積極隔振：自身是振源，為減少其對周圍環(huán)境的影響，將其與支承它的基礎隔離開。消極隔振：對允許振動很小的精密儀器和設備，為減少周圍環(huán)境振動對其影響，需要把它與支承它的基礎隔離

23、。兩種隔振的原理相似，基本作法都是把需要隔離的機器 設備安裝在合適的具有彈性和阻尼的減振裝置或隔振裝置 上，使大部分振動被減振裝置或隔振裝置吸收，以阻斷振動 的傳遞。隔振與頻率比和阻尼比的關系圖（振源作簡諧振動時）隔振要求：無論阻尼大小，僅當頻率比J2才有隔振效果。即在隔振設計中，系統(tǒng)的固有頻率要小于振源振動頻率。隨增大，隔振效果提咼，在實際應用中取/ n 2.5 5已足夠。在/ n42時，阻尼增大使隔振系數(shù)增大，降低了隔振效果。但阻尼比不是越小越好，實際問題中激勵頻率是由 零逐步增加到某一定值，此過程中不可避免要與系統(tǒng)的固有 頻率重合，產生共振。阻尼過小將使系統(tǒng)過共振時振幅過大， 造成破壞，

24、因而要兼顧。一般希望有點阻尼以限制過共振時的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料阻尼并不大，因此在2.5以后計算隔振系數(shù)時可不考慮阻尼的影響。2.5.4慣性式測振儀原理11«X“一慣性式測振儀系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖當H( ) 1 ,1，即激勵頻率遠小于系統(tǒng)固有頻率時Z A( / n)2測振儀殼體(被測結構)的加速度幅值:y A 2，即 Z與測振儀殼體的加速度幅值成比例(加速度計)。加速度計是高固有頻率儀器當/ n 1,即激勵頻率很高時，Z A( / n)2|H( ) A即激勵頻率很高時，測振儀的質量塊在慣性空間中幾乎保持不動，與結構相接的儀器殼體相對質量塊運動。儀

25、器的 相對振幅Z與激勵幅值A相等，此時儀器用于測量振動位移(位移計)。遠小于2.5.5特點：如果轉軸的轉速n時，圓盤的撓度很小。當n即共振時，圓盤的撓度為e廠，如果阻尼很小，圓盤的撓度將很大。 當n時，圓盤的撓度約等于§2.6周期強迫振動周期強迫振動的求解方法： 如果周期激勵中的某一諧波的幅值比其他諧波的幅值大的多，可視為簡諧激勵。反 之，則應按周期激勵求解。求解周期激勵下系統(tǒng)的響應問題 需要將激勵展為傅里葉級數(shù)，然后分別求出各個諧波所引起 響應，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應。在周期激勵時，只要系統(tǒng)固有頻率與激勵中某一諧波頻率接近就會發(fā)生共振。§2.7非周期強迫振動采用卷積

26、積分處理： 在系統(tǒng)受任意持續(xù)的激勵時，按照高等數(shù)學中積分時對被積函數(shù)的處理，可把激勵看為一系列 脈沖力的疊加。2.7.2傅里葉變換方法傅里葉變換：在頻率域內分析激勵頻譜，響應頻譜以及系統(tǒng) 特性的頻域描述之間的關系。2.7.3 拉普拉斯變換方法第三章二自由度系統(tǒng)§3.1弓多自由度系統(tǒng)：指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標才能描述其運動的振動系統(tǒng)。§3.2運動微分方程Mx Cx Kx F(t)求系統(tǒng)的運動微分方程的一種比較簡單的方法:先求出系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)，然后利用:求出系統(tǒng)的質量矩陣、阻Xi Xj2Et ,2U2Dmij , kij , CijXi XjX Xj尼矩

27、陣和剛度矩陣，最終求出系統(tǒng)的運動微分方程。§3.3不同坐標系下的運動微分方程系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣 （包括阻尼矩陣）的具體形式與所選取的描述系統(tǒng)振動的廣義坐標有關，合適的廣義坐標 能夠解除方程的耦合。由于不同廣義坐標之間存在著線性變 換關系，所以，方程解耦的問題就歸結為尋找一個合適的線 性變換矩陣u，使變換后系統(tǒng)的質量矩陣， 阻尼矩陣和剛度 矩陣成為對角矩陣。§3.4無阻尼自由振動1、基本概念固有頻率 固有振型（振型）振型圖：用圖形直觀顯示固有振動時各個坐標之間的相互位置關系（橫坐標表示系統(tǒng)各點的靜平衡位置，縱坐標表 示各點的振幅比）自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由

28、振動響應的求解方法（1 ）利用特殊初始條件 （對稱或反對稱條件）（2）任意的二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動響應的求解方法2特征方程或頻率方程（）K步驟：求系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣；列出系統(tǒng)的M Kjmj 0 求出222個固有頻率；將2個固有頻率依次代入 （K2M） u 0求出各自對應的振型；求系統(tǒng)的響應。第四章多自由度系統(tǒng)多自由度振動系統(tǒng)： 指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標才能描述其運動的振動系統(tǒng)。描述其振動的運動微分方程為常微分方程組。本章主要內容: 多自由度系統(tǒng)振動的基本理論; 多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型; 多自由度系統(tǒng)動力響應分析 -振型迭加方法; 多自由度系統(tǒng)動力響應分

29、析-變換法（傅里葉變換和拉普拉斯變換）。§4.1運動微分方程n個自由度的振動系統(tǒng)的運動微分方程可以寫為MM Cx Kx fx(0) X), x(0) x剛度矩陣K各元素kij的意義（定義法求剛度矩陣）：如果系統(tǒng)的第j個自由度沿其坐標正方向有一個單位位移，其 余各個自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個自由度施加外力，其中在第i個自由度上施加的外力就是kij。系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣定義類似。能量法求解系統(tǒng)的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣。2Et2Etx XjXj x2D2Dx xjxj X2U2Ux Xjxj ximjmjiCjikjikij質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣

30、均為對稱矩陣。Mx Cx Kx f方程 x(0) Xo,x(0) Xo的求解方法:尋找一個新的描述系統(tǒng)運動的廣義坐標系，在這個新的坐標系下，系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對角矩 陣。§4.2固有頻率與振型在無阻尼自由振動時，系統(tǒng)的運動微分方程為:Mx Kx0求固有頻率:由頻率方程Kj2mj0求得n個固有頻率2 2r依次代入方程（M KlXu將固有頻率2r以求出與r相對應的非零的振型Ur。2由于（K rM） Ur0只給出了振型的方向，而振型的大小需要人為指定（振型的正規(guī)化） 振型的正規(guī)化： 指定振型的大小。常用的兩種振型正規(guī)化方案:令Ur滿足UrTMUr1此時有：UrTKUrr2

31、UrTMUr（2）令Ur的某一分量為1。比如在振動模態(tài)實驗中常常取Ur的分量中絕對值最大的分量為1，這樣便于對振型和實際結構進行分析。再令UrTMUr Mr此時有：Kr UrTKUr2UrMUr振型的一個重要性質： 屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣為權正交（振型的正交性）。即：如果當r S時，r s，則必然有UsTM Ur0UsTK Ur0振型正交性的物理意義：系統(tǒng)的動能和勢能均分別為各階動能和勢能之和；各個振型之間的動能、勢能不交換，各振型在振動時相互獨立、互不影響。振型的正交性和正規(guī)化可用統(tǒng)一的公式表達（振型的正規(guī)正交化條件）。如果取振型正規(guī)化為1 r rs 0 r U

32、rTMUr1，則振型的正規(guī)正交化條件可以寫為UsTMUrUsTKUrr2 rsrs1 r,s n如果取振型正規(guī)化為UrTM UrMr，則振型的正規(guī)正交化條件可以寫為UsTMUr Mr rsUsTKUr Kr rsrs 1 r,S n振型矩陣u:列向量為相應的振型，即u Ui, U2,Un由全體振型構成的向量組線性無關。振型矩陣U就是線性變換的矩陣。在振型坐標下n自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運動微分方程:X= UyM u y Ku y 0y(0) Mi 1uTMx(0)y(0) Mi 1uTM x(0)MiutMuKiutKur2正規(guī)化:yy(0)y(0)2y 0utMx(0)utMx(0)如果振型取UrTM UrMr、Kr UrTKUrr2Mr正規(guī)化:如果振型取UrTMUr1、UrTKUry(0)y(0)§4.3動力響應分析Mry Kry 0 Mr 1UTMx(0) Mr 1UTMx(0)動力響應分析：系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應分析 常用的動力響應分析方法： 振型疊加法（本書討論的內容）和逐步積分法，后者是數(shù)值積分方法。這兩種方法的特點是適于已知系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣、岡“度矩陣和激勵， 求系統(tǒng)響應的情況，且便于用計算機編程求解。振型疊加法步驟:振型疊加方法求解式Mx Cx Kx fx(0) Xo, x(0) Xo的步驟如下:2首先由(