概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要公式

1、、隨機(jī)事件與概率公式名稱公式表達(dá)式德摩根公式AU B =B，WB = AU B古典概型Pm A 包含的基本事件數(shù)()n基本事件總數(shù)幾何概型P(A)卩(A)P(A)卩(0)，其中卩為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)求逆公式P(A) = 1 - P(A)加法公式P(AU B)= P(A+B)二P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)= 0 (A、B互斥)時(shí)，P(AU B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) , BuA時(shí) p(A-B)二P(A)-P(B)條件概率公式乘法公式+ A、 P (AB)P(B A) =_-P(A)P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)

2、P(A B) P(ABC) = P(A)P(B A)P(C|aB)全概率公式nP(A)=2 P (Bi) P(ABi)從原因計(jì)算結(jié)果i y貝葉斯公式 (逆概率公式)ce lA、P(Bi)P(ABi)P(Bi|A)= n從結(jié)果找原因送 P(Bi)P(ABi)i rn兩個(gè)事件 相互獨(dú)立P(AB) = P(A)P(B) ； P(BA) = P(B) ； P(BA)= P(BA)；二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)Z P(X =Xk)F(x) = P(X <x) 耳；,P(a<X <b) = F(b)-F(a)Uf(t)dt概率密度函數(shù)bJ f(x)dx=1計(jì)算概率：P(a< X

3、 < b) = J f (x)dxa2、離散型隨機(jī)變量及其分布分布名稱分布律0-1 分布X b(1, p)P(X = k) = Pk(1 - P)1k, k = 0,1二項(xiàng)分布(貝努利分布) X B( n,p)P(X = k)=需 pk(1- p)nk, k = 0,1，,n泊松分布Xp(RkP(X = k) = e7 k = 0,1,2, III k!3、續(xù)型型隨機(jī)變量及其分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布x U(a,b)r 1X,a V X C b f (X) = b-a0,其他r 0,X C a1 x aF(X)= «, a < X c bb a1,X >

4、b指數(shù)分布XE(a), XA 0f ( X) = 0,X 蘭 01 - eJxX > 0F(X)=re, X 0L0,x< 0正態(tài)分布XN(巴 CT2)1-(一中2f (X )= L eV2兀b3C< X+ 處1X(i)2F (X)= J e 2 d tJ22 二標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x N(0,1)1 仁 X) = e 2V2兀一"< X £ +"1X J t2(X)= k Le 2 dt 寸2兀P(X >a) = P(X A a) =1-0()O'P(a <X <b) =6(O'口) 一(U)一般正態(tài)分布的概率計(jì)

5、算公式a - 4 P(X <a) = P(X ca) =6()c分布函數(shù)對(duì)離散型隨機(jī)變量F(X)= P(X對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量F(x) = P(XX)P(X =k)k蘭X< X)= f (t)dt-JC邊緣分布律:條件分布律:Pi, = P(X = Xj)=送 Pijp j = p(Y = yj) = S PijjiP" ,i 二1,2，山，P(Y =yj|x =Xi)=巴，j =1,2,111 Pi .P(X=xipj聯(lián)合密度函數(shù)f (x, y) f(x, y)>0LcLf(x，y)dxdy=1'X分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系:F(X)= f (X) F(x)

6、 = P(X < X)= J f (t)dt4、隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布離散型：p(丫 = %)= wPj,"1,2,川，g(Xj)日連續(xù)型：分布函數(shù)法，公式法 fY(y) = fx (h(y)何(y)|(X = h( y)單調(diào)) h(y)是g(x)的反函數(shù)三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量及其分布=s Z PijXi 空yi<y分布律：P(x =Xi,Y = yj) = Pij ,i, j =1,2川I 聯(lián)合分布函數(shù) F(X,Y)2、連續(xù)型二維隨機(jī)變量及其分布 分布函數(shù)及性質(zhì)x y0 < F(x,y) <1F(x,y) = PX <x

7、,Y<y分布函數(shù)：F (x, y )(u, v) dudv性質(zhì)：F(+車+ 比)=1, ° F(x,y) = f (X, y), P(x,y)迂 G) = JJ f (x,y)dxdycxcyG 邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)X P咼分布函數(shù)：Fx(x) = J'J'HuMdvdu 密度函數(shù)：fx(x)=【二 f (x,v)dvy +=C咼FY(y) = J J f (u, v)dudvfY(y)=【f (u, y)du 條件概率密度£ /1A f (x, y)fY(y)fYX(y"二V 址，fx|Y(xy)=3、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X、丫相

8、互獨(dú)立H F(x,y) = Fx(x)FY(y)，離散型：Pij=pi. p.j ， PX =i, Y = j= PX =i PY =j 連續(xù)型：f(X, y) = fx(x)fY(y)4、二維隨機(jī)變量和函數(shù)的分布(卷積公式)離散型：P(Z = Zk) = 2 P(X = Xi，丫 = yj)注意部分可加性x連續(xù)型：fz(z) = J f(x, Z x)dx = J f(z y,y)dy四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望 定義：離散型E(X)XkPk，連續(xù)型E(X) = J xf (x)dxk=1二E(XY)二 E(X)E(Y)(正對(duì)逆錯(cuò))2、方差E(g(X)Z g(Xk)PkkI j隨機(jī)變量

9、g(X)的數(shù)學(xué)期望 性質(zhì)：E(C)=C, EE(X)=E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X ± Y) = E(X ) ± E(Y) E(aX ±b) = aE(X) ±b，當(dāng) x、Y相互獨(dú)立時(shí)：D(C)=O，D(aX ±b) = a2D(X)，D(X ±Y) = D(X)+D(Y) ±2Cov(X,Y) 定義: 性質(zhì)：當(dāng) X、Y相互獨(dú)立時(shí)：D(X±Y) = D(X) + D(Y)3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差：Cov(X,Y) = E(XY) -E(X)E(Y)，當(dāng) X、Y相互獨(dú)立時(shí)：Cov(X,Y) = 0 相

10、關(guān)系數(shù)：PX Cov，當(dāng)X Y相互獨(dú)立時(shí)：PxY = 0(X,Y不相關(guān)) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：Cov(X, X) = D(X)，Cov(X,Y) =Cov(Y,X)Cov(X<X2,Y) YovsY) +Cov(X2,Y) ， Cov(aX + c,bY + d) = abCov(X,Y)Cov(x,a)=0(a 為常數(shù))，D(aX 土b Y) = a2D(X) + b2D( Y) ±2abCov(X,Y)4、常見隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布數(shù)學(xué)期望E(X)方差D( X)0-1 分布 b(1, p)Pp(1-P)二項(xiàng)分布b(n, p)npnp (1-P)泊松分布P0)A

11、扎均勻分布U (a,b)a + b2(b-a)212正態(tài)分布N (巴b2)k2 c指數(shù)分布eS)1z1.2A五、大數(shù)定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) =A,D(X) =b2,對(duì)于任意名>0有 P X -E (X)>z <2、大數(shù)定律： 切比雪夫大數(shù)定律：若X1X n相互獨(dú)立，2 2 1 n P 1 nE(Xi) = 4i,D(Xi)=bi 且 b j < C，貝 q：送 Xi? S E(Xi),(nT 處)nyny 伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生 的概率，貝U V S > 0，有：lim p&qu

12、ot;1 np 辛欽大數(shù)定律：若X1,川，Xn獨(dú)立同分布，且E (Xi T，則-三Xp »3、*中心極限定理 列維一林德伯格中心極限定理：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi(i =1,2,|j|),均值為，方差為b2 >0，當(dāng)n充分大時(shí)有：Yn =( Xk -住) 后- N(0,1)心/ 棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理：隨機(jī)變量XB(n, p)，則對(duì)任意X有：X npxnf不計(jì)F1上e 2 dt =e(x)近似計(jì)算：P(a<S Xk蘭b)-(匕Q)-(胃竺)k呂六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1、總體和樣本的分布函數(shù)n設(shè)總體XF(X)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)F(Xi，X2Xn)二口 F(Xk)k

13、 =1n_ 2 2Z (Xi2-nX ) nT T1 _nkAk = S Xi ,k=1,2 n曰2、統(tǒng)計(jì)量一 1 n 2 1 n 21 樣本均值：XX，樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s =彳n2 (Xi -x)2，樣本k階原點(diǎn)距: i #1 n 樣本k階中心距：Bk =丄送(Xi -X)k,k=1,2,3川n irn3、三大抽樣分布(1) /2分布(卡方分布)：設(shè)隨機(jī)變量 XB(0,1) (i =1,2,山，n)且相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量Z2 =Xi2仃夕十xI服從自由度為n的/2分布，記為72/2(n)性質(zhì)： EZ2(n)= n,DZ2(n)=2n 設(shè) X /2(m),Y /2(n)且相互獨(dú)立,2則

14、X +Y / (m+n) t分布：設(shè)隨機(jī)變量X N(0,1),Y*1 n)，且X與丫獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量：T從自由度為n的t分布，記為T t(n)。2n1 篤性質(zhì)： E(T)=O (n a1),D(T)= (nA2) lim fn(x)N(x)=-e 2 n -2F42F分布：設(shè)隨機(jī)變量X口砒丫Um，且X與丫獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量F(m，n)=黑服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記為FF(m,n)，性質(zhì)：設(shè)FF(m,n)， 則 F(n,m)。七、參數(shù)估計(jì)1.參數(shù)估計(jì)AA定義：用0(X1, X2,L ,Xn)估計(jì)總體參數(shù) £ ,稱0(X1,X2,L ,Xn)為日的估計(jì)量，相應(yīng)的日(X|

15、 ,x2JI|, Xi)為總體0的估計(jì)值。2.點(diǎn)估計(jì)中的極大似然估計(jì)設(shè)Xi,X2,L Xn取自X的樣本，設(shè)X f(x,£)或X P(xf)，求法步驟:nn似然函數(shù)：L(日)=n f (Xi)(連續(xù)型)或Le)=n P(Xie)(離散型)i z1i =1nn取對(duì)數(shù)：In 屮)=送1 n f(Xi3)或 In L(£) =2 l np 心,)i rni解方程：胡1(A A 卩 1 =q(Xi,X2，川,Xn) cIn LcIn L厶力存=0丄，“=0，解得：州山IA AW =£k(X1,X2|,Xn)3. 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)A AAA無偏性設(shè)日=0(X1, X2,L ,

16、Xn)為未知參數(shù)日的估計(jì)量。若E(£)=£，則稱0為日的無偏 估計(jì)量。量 的 評(píng) 價(jià) 標(biāo) 準(zhǔn)有效性一致性設(shè)/(Xi,X2丄,Xn)和02 =02(X,X2,L ,Xn)是未知參數(shù)0的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若D陽)cD($2)，則稱$1比念有效。設(shè)0 n是0的一串估計(jì)量，如齊0，有l(wèi)im P(|日nT卜E)=0則稱9 n為0的一致估 計(jì)量(或相合估計(jì)量)。正態(tài)總體中，樣本均值 X是卩的無偏估計(jì)量修正樣本方差S2是b2的無偏估計(jì)量5.區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間條件估 計(jì) 參 數(shù)樞軸量樞軸量 分布置信水平為1a的置信區(qū)間已知kZ wN(0,1)JC b 一纟纟妬,X+鄉(xiāng)2需丿未知口 2kt-s/Gt(n -1)f-s -s、r E(n 1航,X+&(n 1元丿未知c22八(-12)SC尸(n-1)1111f22 ?1 (n - 1)S2(n - 1)S2rZ ( n - U 人茲(n -1)未知c2送Xi叮2乂2( n)# nnrZ (Xi -門2 送(Xi 門2i 丄i -1紜(n)'n)J八、假設(shè)檢驗(yàn)基 本 思 想基 本 步 驟1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是小概率原理。小概率事件的概率就是顯著性水平 a