線性代數(shù)-特殊行列式及其行列式計算方法情況總結

1、.特殊行列式及行列式計算方法總結幾類特殊行列式1.上（下）三角行列式、對角行列式（教材 P7例5、例6）2.以副對角線為標準的行列式a11a21Manna12a22M0LLM0a1n0M000M0an1an 1,2an2LLMLLa2,n 1Ma1na2nM3.n(n 1)1) 2 *弘&2丄an1分塊行列式（教材P14例10）an 1,n 1an,n 1an 1,nannan1LLNLa2,n 100a1n000一般化結果:4.注:AnCn m0m nBmAnOn mCm nBmBm0nmAnBmCm nCn m ABm 0m n(1)mnAnBm范德蒙行列式（教材P18例12）4種

2、特殊行列式的結果需牢記!以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握!低階行列式計算二階、三階行列式一一對角線法則（教材P2、P3）高階行列式的計算【五種解題方法】1)利用行列式定義直接計算特殊行列式;2)3)4)遞推法或數(shù)學歸納法;5)升階法（又稱加邊法）【常見的化簡行列式的方法】1.利用行列式定義直接計算特殊行列式例1（ 2001年考研題）020000199900002001分析：該行列式的特點是每行每列只有一個元素,因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進行計算。解法一：定義法D ( 1) (n 1,n 2，-，2,1，n)2001!( 1)0 1 2 - 1999 0 2 001! 2001!解法

3、二：行列式性質(zhì)法利用行列式性質(zhì)2把最后一行依次與第n-1,n-2,2,1行交換（這里n=2001）,即進行2000次換行以后,變成副對角行列式。D ( 1 )2001 1000M000M002M200100M1 )20012001 (2001 1)1( 1) 22001! 2001!0200019990解法三：分塊法02000019990 _00；L 0 0 2001利用分塊行列式的結果可以得到D=200100M0200000M19990LLMLL02M0010M=2001 (-1)002000(2000-1)22000!=2001!解法四：降階定理展開按照每一行分別逐次展開，此處不再詳細計算

4、。2.利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結果的特殊行列式1 a111分析：該行列式的特點是化成0.解:r43分析:11b1111b1很多，可以通過14來將行列式中的很多1aa001100110011 a1111 a11210a11abab00bb00114100111111 b1111 b0011 bD1ab10000110011b2b23aafbiab23a2afb23a3afbs03 b2a3aqbqa4b4Db3bb3b：該類行列式特點是每行0)a的次數(shù)遞減，b的次數(shù)增加。特點與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將 D化成范德蒙行列式。解:1(p)a1(與a1(d)a11(蜀a

5、2(E)2a2(蜀a21(ba3(色)2a3世)a312)a4凸2a4凸a433r 33 3 3Dai a? a3 印3333 3 3a1V(二 ai33 3 3a1a b3 b4 X -,) a? a3b bie-)4 aiaj練習：（11-12年IT專業(yè)期末考試題）若實數(shù)x, y,z各不相等，則矩陣M xx2Z的行列式|m|2Z3.利用行列式的行（列）擴展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進行計算aDnL00分析：該行列式特點是a處于主對角線,b在a后的一個位置,最后一行中b是第一個元素，a是最后一個元素。解：按第一列展開:Dn aab0L00b0abL00n 1abLL(1) bO O0

6、00Laba b000L0a1n a1)11(1)n1bn(1)n1b bn練習：（11-12年期中考試題）Dn4.行（列）和相等的行列式Dna b M bLLML分析：該行列式的特點是主對角線上元素為a，其余位置上都是b?？蓪⒌?,3,n列加到第1列上。（類似題型:教材P12例8,P27 8(2)解:a （n 1）b（a b）n5.箭頭形（爪行）行列式LLLLL分析：該類行列式特點是第一行、第一列及主對角上元素不為0,其余位置都為1bLb1bLb1aLba (n 1)b1a bL0MMML/JMMMM1bLa10La bDn a (n 1)b1120L00.解此類行列式方法，是將行列式化成上

7、三角行列式。解：分別從第2,3，,n列提出因子2,3,，n,然后將第2,3，,n列分別乘以-1, 再加到第1列上。111n 111 ,10-L一-L23ni 2 i23n110 L0n!010 L0101 L0001 L0LLLL100 L1000 L1D n!n n!i 21(二)i注：爪形行列式非常重要,很多看似復雜的行列式通過簡單變化以后都可以化成爪形行列式進行計算!練習:1)2)教材習題P28: 8（6）（11-12年期末考試題）An3)a0L00(n00L1)（11-12年IT期末考試題）X1a1qa1a2anana2X2a2La3a3x3a2a3LLLLLanananxn分析：該類

8、行列式特點是每一行只有主對角線上的元素與第一個元素不同。解:(Xi(XiX1a1a1aiX1X1Xiajai)a2X2 a20L0(X2(X2(Xi ai)1i 1a2)La2)La30X3a3(Xn(Xnnaii 1 Xiai-ian)an )LLLLLXian00XnX1a111M11 Xi0M0ana2X2 a2aia3X3a310M001M0LLMLanXnan00M1aia2X2 a21M0anXnan0M16.遞推法或數(shù)學歸納法該方法用于行列式結構具有一定的對稱性,教材P15例11就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計算教材 P27 8(4)。7.升階法通常計算行列式都采用降階

9、的方法， 是行列式從高階降到低階，但是對于某些行列式,可以通過加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進行計算。(教材 P28 8(6)分析:Dn =1+a,1M111+a2M1LLML11M1+an,(ai0)該題有很多解法，這里重點介紹升階法。因為行列式中有很多1，因此可行列式是為了使行列以增加一行1,使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意: 方形的，因此在增加一行以后還要增加一列， 以保持行列式的形狀。式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.111L1111L1定理301+a11L1ri-r1-1a10L0Dn =011+a2L1=-10a2L0MMMMMMMMMM011L

10、1+an-100Lan例 9 (教材 P27 6(4)n 1=a1a2.an(1+)i=1 ai分析：此行列式可以應用性質(zhì)行列式的形式,算。解法43Da2r3ar22 ar1D=a2 a4 a1bb2b4c2 c4 c1dd2d46將行列式化為上三角行列式，也可以對比范德蒙通過添加一行和一列把行列式變成范德蒙行列式以后再進行計按第一列=開（b按第一行展開（bbb(b2 2b (ba)(ca)(ca)(caa)2aa)(da)(da)(d(a b)(a c)(a解法二:a)a)D5a2 a3 a4 abb2b3b4(xx3的系數(shù)是cc(c2 2c (c1( bb2 (b1bb2(ba)d)(bc2 c3 c4 ca)(x b)(xaa)2aa)a)ca)dd(d2 2d (d1cc2(c2,c (cbb2(baa)a2)1a)ca)d)d2(d0bb2(ba)c2(cc)(b d)(c d)(aa)d2(db ca) d2(d da)d)bb2(b0d ba) b2(b a)a)dd2d3d4x2 x3