第13講平面應(yīng)力問題的近似性

1、6.4平面應(yīng)力問題的近似性學(xué)習(xí)思路:對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，如果討論的物體截面形狀及側(cè)面受力相 同，則它們所需滿足的基本方程和邊界條件相同， 因此解和應(yīng)力函數(shù)均相同。但 是冋題的z方向應(yīng)力和位移不同。應(yīng)該注意的問題是雖然二者方程相同，但是平面應(yīng)變問題是完全滿足變 形協(xié)調(diào)方程的，而平面應(yīng)力問題卻是部分滿足的。 問題的求解又不能要求平面應(yīng) 力問題同時(shí)滿足所有變形協(xié)調(diào)方程，因此討論其近似性。對(duì)于薄板，雖然平面應(yīng)力問題沒有完全滿足協(xié)調(diào)方程，但是誤差是比較 小的。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1.平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問題；2.平面應(yīng)力問題與基本方程；3.平面應(yīng)力問題的誤差；對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，若討論的物體截面形狀

2、及側(cè)面受力相同，則它們 所需滿足的基本方程和邊界條件也相同，所得到的解和應(yīng)力函數(shù)均相同。因此，它們的應(yīng)力分量bx，CT y和T xy也相同，應(yīng)力分量Txz和Tyz均等于 零，所不同的是Z向應(yīng)力分量 bz，應(yīng)變&z和位移分量W。F表列出了兩種平面問題的主要差別。平面應(yīng)變冋題平面應(yīng)力冋題z向應(yīng)力分量bz =V（bx + by ）1 6= 0z向位移分量w = 0w M0正應(yīng)變分量5 = jkx -詁（丐 +S） 虧=*弓-Ms務(wù)=0上述分析表明，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式。雖然平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式。但是應(yīng)該注

3、意的問題是平面應(yīng)力問題解的近似性。由于討論平面應(yīng)力問題時(shí)，僅用了一個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，其余五個(gè)方程未 做檢驗(yàn)。這五個(gè)方程對(duì)于平面應(yīng)變問題來講是完全滿足的，而對(duì)于平面應(yīng)力問題,空+楚紐卽 2dxdy嘰二紐滬耳+滬務(wù)-嘰）二 2 竺dydz=2二2生敗除了第四，五兩式自動(dòng)滿足0dxdz9x+$恩+ &%）：&9?9z譏+%）：2（dx旦（9/1（.變形協(xié)調(diào)方程氐這要求&為X, y的線性函數(shù)，因此 電二ax+by+c ,但平面應(yīng)力問題又要-V外，第二，三，六式還要求廿（6 5）求 y。這要求bx+ cy滿足線性分布。這只有均勻應(yīng)力分布,例如單向、雙向拉伸，純彎曲和純剪切等可以滿足。這將使求解受到極大的限

4、制, 通過雙調(diào)和方程和邊界條件得到的彈性力學(xué)解，一般是不可能滿足此條件的。Sz很由于平面應(yīng)力問題 &MQ這使得問題的求解困難相對(duì)。為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)于薄板問題, 小，可以認(rèn)為&近似為零。這樣平面應(yīng)力問題也可以像平面應(yīng)變問題一樣求解。對(duì)于這樣的假設(shè)，將不可避免產(chǎn)生誤差，下面將討論其誤差。假如重新假定應(yīng)力分量bx，CTy，TXy是X，y，z的函數(shù)，應(yīng)力分量CTz，Txz和 阮仍然等于零，則可以選取新的應(yīng)力函數(shù)護(hù)Oj尼）=爲(wèi)0）-2質(zhì)巧于耳求解平面應(yīng)力問題。如果上式中函數(shù) 0f（x, y）為雙調(diào)和函數(shù)，則應(yīng)力函 數(shù)甲（X，y，Z）完全滿足平衡微分方程和六個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。顯然，新的應(yīng)力函數(shù)甲（X，y，z

5、）與平面應(yīng)力問題近似解應(yīng)力函數(shù)的主要 差別在于補(bǔ)充項(xiàng)2（1+卩）的影響。根據(jù)上述分析，可以對(duì)平面應(yīng)力簡(jiǎn)化解的誤差做量級(jí)上的分析。由于平 面應(yīng)力問題討論的板厚很小，補(bǔ)充項(xiàng)含有z的平方項(xiàng)，因此補(bǔ)充項(xiàng)對(duì)應(yīng)力計(jì)算的 貢獻(xiàn)就是一個(gè)z的平方項(xiàng)。對(duì)于薄板問題，一般來講，此項(xiàng)影響很小，因此可以忽略不計(jì)。6.5應(yīng)力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示學(xué)習(xí)思路:邊界平衡條件要求彈性體趨近于邊界的應(yīng)力分量滿足面力邊界條件。應(yīng) 力分量可以通過應(yīng)力函數(shù)表達(dá)，因此應(yīng)力函數(shù)也應(yīng)該滿足對(duì)應(yīng)的邊界條件。將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的邊界條件積分，并且應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)，則可以得 到應(yīng)力函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在邊界的性質(zhì)。 考慮應(yīng)力函數(shù)全微分的積分，可以確定應(yīng)

6、力 函數(shù)在邊界的性質(zhì)。分析表明：邊界上任意點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)等于由任一定點(diǎn)到該點(diǎn)的作用力對(duì) 該點(diǎn)的力矩；而應(yīng)力函數(shù)對(duì)X，y的一階偏導(dǎo)數(shù)分別等于作用力合力在 x軸和y軸負(fù)向的投影。這是一個(gè)非常有用的結(jié)論，它能夠幫助我們?cè)诎肽娼夥ㄖ写_定應(yīng) 力函數(shù)的基本形式。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1.應(yīng)力函數(shù)與面力邊界條件；2.應(yīng)力函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與邊界條件；3.應(yīng)力函數(shù)與邊界條件；4.應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)在體力為常量的條件下，彈性力學(xué)平面問題應(yīng)力解法由三個(gè)未知函數(shù)簡(jiǎn)化為一個(gè) 應(yīng)力函數(shù)，從而將問題歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。因此，應(yīng)力函數(shù)的確定對(duì)于平面問題的求解是極為重要的。本節(jié)將討論應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件，并由此進(jìn)一步分析應(yīng)力

7、函數(shù) 及其一階偏導(dǎo)數(shù)在平面物體內(nèi)任意一點(diǎn)的的物理意義。對(duì)于平面物體，如果應(yīng)力分量滿足面力邊界條件，則邊界應(yīng)力函數(shù)滿足設(shè)A為邊界上任一定點(diǎn)，而B為邊界上任一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示0drALri址也邊界上由A到B為正方向，也就是說物體在ds的左側(cè)，邊界法線方向余弦 為dy.dx=coscf = K w = sin 7 =-缶ds因此邊界條件可以表示為卽ds dx ds 4s dy_ _滬僻dx _護(hù)轉(zhuǎn)dy _ d 3、加 b dxdy ds b 9x對(duì)于上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)公式從定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)B作積分，可得(M)I砂A f込、由于在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)線性項(xiàng)ax+by+c，對(duì)于所求應(yīng)力是沒有影響的。所以可以

8、適當(dāng)?shù)倪x取 a，b，c,使得應(yīng)力函數(shù)（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)9例9厲3兀砂在定點(diǎn)A的值為零。因此，上述公式可以簡(jiǎn)化為(M)9x$r F k/J.A另外，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的全微分g嚴(yán)字dx +字切ox dy對(duì)上式從定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)B作分部積分，則卩；乂竽）：- P f （字）也“警）：-卜y浮皿0X as 0X力 ：旳 卯-（字哄積分并將應(yīng)力函數(shù)邊界條件公式盤 代入上式，則+k5嚳宀欝-兩整理并且將公式代入，可得跖=% + （心-兀（譜人+仞-打）（晉亠+ 1（兀-刃巧a由于在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)線性項(xiàng)ax+by+c，對(duì)于所求應(yīng)力是沒有影響的。所以我們適當(dāng)?shù)倪x取a，b，c,使應(yīng)力函數(shù)（X, y）在定點(diǎn)

9、的值為零。因此 上式可以簡(jiǎn)化為% =（兀-心）備也?7A另外顯然，上述公式的第一式表示由定點(diǎn) A到動(dòng)點(diǎn)B邊界上的面力對(duì)B點(diǎn)的合力矩，而第二和第三式分別表示由 A到B邊界面力的合力沿X，y軸的投影。因此可以得出以下結(jié)論，邊界上任意點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)等于由任一定點(diǎn)到該 點(diǎn)的作用力對(duì)該點(diǎn)的力矩；而應(yīng)力函數(shù)對(duì) x，y 的一階偏導(dǎo)數(shù)分別等于作用力合 力在x軸和y軸負(fù)向的投影。這是一個(gè)非常有用的結(jié)論，將可幫助我們?cè)谀娼夥?中確定應(yīng)力函數(shù)的基本形式。上述公式也是應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件，和面力邊界條件比較，三 個(gè)公式中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。6.6 逆解法與多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)學(xué)習(xí)思路 :彈性力學(xué)問題的求解歸結(jié)為在給定邊界

10、條件下求解雙調(diào)和方程。由于偏微分方程的求解是相當(dāng)困難的，因此使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過逆解法， 探討建立應(yīng)力函數(shù)的基本性質(zhì)。逆解法的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問題， 分別選用冪次不同的多項(xiàng)式， 令其滿足基本方程， 求出應(yīng)力分量， 并由邊界條件 確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.逆解法與線性應(yīng)力函數(shù) ；2.二次和三次應(yīng)力函數(shù)與邊界條件 ；3.四次應(yīng)力函數(shù)與邊界應(yīng)力條件 ；平面問題的求解方法， 歸結(jié)為給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程。 偏微分方程的求 解是相當(dāng)困難的，對(duì)于某些矩形平面物體，

11、可以使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過逆解法， 探討建立應(yīng)力函數(shù)的基本性質(zhì)。逆解法的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問題， 分別選用冪次不同的多項(xiàng)式， 令其滿足基本方程， 求出應(yīng)力分量， 并由邊界條件 確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。1 一次多項(xiàng)式弘（X, y）= ax+by+c不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，其應(yīng)力分量為b .血二0 b =血二0 r因此，一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)無應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)。的線性函數(shù)，將不影這個(gè)結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè) X， 響應(yīng)力分量的值。2. 二次多項(xiàng)式（X, y）=

12、 ax2+bxy+cy2不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，應(yīng)力分量為dxS二次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力狀態(tài),如圖所示。如僅a，b，CM0,分別表示單向拉伸或者純剪切應(yīng)力狀態(tài)。3.三次多項(xiàng)式卩f (x y)=ax3+bx2y+cxy2 +dy3不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為6 二豁=2o; + 6嘰+2 切ox啦=-如-2專 dxdy三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的邊界應(yīng)力分布， 如圖所示。bh + fyti.xmTrrrnT 亠VZ-A/ *7X r f汕 1- TW7/對(duì)應(yīng)于線性邊界應(yīng)力。如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=O,其對(duì)應(yīng)于 矩形梁的純彎曲應(yīng)力狀態(tài)。4.四次多

13、項(xiàng)式叭(x, y)= ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4若使四次多項(xiàng)式滿足雙調(diào)和方程，其系數(shù)需滿足關(guān)系式3a + c + 3e = 0因此四次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)只能有四個(gè)獨(dú)立的系數(shù)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為C鈴（X*） =+加 +匚兀夕+切H _ （口 +?。┎偶雌洫?dú)立的系數(shù)僅為四個(gè)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為=咅二 2;/+6卻-12(亍才oy3二2盤a +6陽(yáng)+2今=-詛二-3毎-4即-3n 1I?cbcdy邊界面力，如圖所示。1 -h-1四次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于二次應(yīng)力分布狀態(tài)，如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=O。該應(yīng)力狀態(tài)由矩形板邊界上三部分面力產(chǎn)生，y = -甘亠心1.在邊

14、界 2上，作用有均勻分布的切應(yīng)力 4r =-夕,2.在x=0的邊界上，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力4 3.在x=l，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力%*此和線性分布的正應(yīng)對(duì)四次多項(xiàng)式構(gòu)成的應(yīng)力函數(shù)，其邊界上的應(yīng)力分量的分布可以是均勻 的，線性分布的或者是二次拋物線分布的。6.7懸臂梁受集中力作用學(xué)習(xí)思路:本節(jié)應(yīng)用平面問題的基本方程討論懸臂梁的彎曲應(yīng)力、變形和位移。通 過問題的分析，全面介紹平面問題應(yīng)力函數(shù)求解方法。作為一個(gè)典型的平面應(yīng)力問題，問題求解的關(guān)鍵是確定應(yīng)力函數(shù)。首先 分析懸臂梁的邊界條件，根據(jù)懸臂梁彎矩分布建立應(yīng)力函數(shù)的基本表達(dá)式。然后疋致的。應(yīng)用變形協(xié)調(diào)方程確定應(yīng)力函數(shù)。 再通過面力邊界條

15、件確定待定常數(shù)。 分析所得 懸臂梁的彎曲應(yīng)力解與材料力學(xué)解曰彎曲應(yīng)力確定后，通過本構(gòu)方程可以確定應(yīng)變分量；利用幾何方程可以 得到位移偏導(dǎo)數(shù)公式。由于應(yīng)力分量是協(xié)調(diào)的，積分可得位移基本表達(dá)式。至于 表達(dá)式中的待定系數(shù)，需要通過位移邊界條件確定。由于懸臂梁力學(xué)模型給定的位移邊界條件太強(qiáng)硬，因此分析中假設(shè)端面 約束僅為排除剛體位移。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1.懸臂梁作用集中力；2.邊界條件與應(yīng)力函數(shù)；3.懸臂梁應(yīng)力；4.懸臂梁變形；5.懸臂梁位移推導(dǎo)；6.懸臂梁端面位移邊界；7.邊界條件一;邊界條件二;本節(jié)討論懸臂梁的彎曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合 力為F，懸臂梁在力的作用下將產(chǎn)生彎曲。設(shè)

16、梁的跨度為I，高度為h,厚度為一個(gè)單位，自重忽略不計(jì)。首先討論梁的彎曲應(yīng)力。對(duì)于懸臂梁，建立坐標(biāo)系 如圖所示。1（）加dhiV = / 2 =0x = l6 二0y 二 0N 二0則梁的邊界條件為ftaJ 5二F?卩二0該邊界條件要完全滿足非常困難。但深入分析發(fā)現(xiàn)，只要梁是細(xì)長(zhǎng)的， 則其上下表面為主要邊界，這是必須精確滿足；而左右端面的邊界條件，屬于次 要邊界。根據(jù)圣維南原理，可以使用靜力等效的應(yīng)力分布來替代，這對(duì)于離端面 稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力并無實(shí)質(zhì)性的影響。因此兩端面的邊界條件可以放松為合力相等的 條件。此外由于梁是外力靜定的，固定端的三個(gè)反力可以確定，因此在求應(yīng)力函 數(shù)時(shí)，只要三面的面力邊界條件

17、就可以確定。固定端的約束，即位移邊界條件只是在求解位移時(shí)才使用。這樣問題的 關(guān)鍵就是選擇適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)，使之滿足面力邊界條件。因?yàn)樵诹旱纳舷逻吔缟?，其彎矩為F（l-x），即力矩與（I-X）成正比，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)BS嗆二 Ja -力嗎爲(wèi)的性質(zhì)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為例 3）二 Q-工）/）其中f（y）為y的任意函數(shù)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程，可得恢）嘰g苛=0V 二 0 即，積分可得由于待定系數(shù)d不影響應(yīng)力計(jì)算，可令其為零。所以，應(yīng)力函數(shù)為例（3）二（/-H）（卯 +紗2 +C刃將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，可得應(yīng)力分量月3二器=（兀）（6 即+ 26） 用二0=+ 26/+ c 敗砂y,二 crJ +F T Z +將上述應(yīng)力分量代入面力邊界條件印 刖 ,可以確定待定系數(shù)。在上下邊界,“G嚴(yán)自動(dòng)滿足。而2 ，則要求3 3-ah + hh + C = 04於bh + C = 04在x= I邊界上,b I r = 0bW 自動(dòng)滿足。而h2r秒=F_h2，則要求聯(lián)立求解上述三式，可得3 FC =2 h2F0 = f1=注意到對(duì)于圖示薄板梁，其慣性矩12。所以應(yīng)力分量為6 = - 了G-對(duì)y=0所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)解完全相同。當(dāng)然對(duì)于類似問題，也可以根據(jù)材料