考查角度2最值和取值范圍問題

1、考查角度2最值和取值范圍問題轄突瑕©題型分析分類透析一利用函數(shù)的性質(zhì)求最值例1如圖，已知拋物線x2=y，點(diǎn)A ，B -,拋物線上的點(diǎn)R X, y)-.過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1) 求直線AP斜率的取值范圍；(2) 求|PA| |PQ|的最大值.分析(1)求出AP的斜率k與X的關(guān)系式，利用-vx<求出斜率的 取值范圍；(2)求出|PA| |PQ|關(guān)于k的關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出其最 大值.(1)設(shè)直線AP的斜率為k, k=_=x-,因?yàn)?VX<,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xq=(k+1).因?yàn)閨

2、PA|=|P Q|=(XQ-x)=-,所以 |PA| |PQ|=-(k-1)( k+1)3.3令 f(k) =-(k-1)( k+1), 因?yàn)?f (k)=-(4k-2)( k+1)2,所以f(k)在區(qū)間-上單調(diào)遞增，- 上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k=-時(shí)，|PA| |PQ|取得最大值一方法技巧I本題在求最大值時(shí),得到的結(jié)果是關(guān)于k的四次函數(shù), 可以通過求導(dǎo)找出要求的最值.一般情況下，若表達(dá)式不易轉(zhuǎn)化為基 本不等式或者二次函數(shù)模型，但易求其導(dǎo)數(shù)時(shí)，通?？梢酝ㄟ^求導(dǎo)找 出最值.分類透析二利用不等關(guān)系或均值不等式求最值例2已知點(diǎn)P為橢圓E _+_=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足二 .(1) 求點(diǎn)Q的軌跡M的方程；(

3、2) 直線I : y=kx+n與M相切，且與圓x2+y2二交于A B兩點(diǎn)，求 ABC面積的最大值(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)).分析 (1)設(shè)P(x,y), Qx0,y0),由已知找出坐標(biāo)的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn) 法求出軌跡方程；(2)由直線與橢圓相切，聯(lián)立兩個(gè)方程，消去y建立一元二次方程， 通過判別式等于0,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量k, n的等量關(guān)系.求三角形的面積，可利用弦長(zhǎng)公式求出底邊的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的 距離求出高，進(jìn)而可以確定面積，然后利用均值不等式求其最大值.解析I (1)設(shè) Qx,y), F(xo,yo),由得(x, y) =( X0, y。)，則又點(diǎn)P(xo,yo)在橢圓E上,故+=1,即

4、點(diǎn)Q的軌跡M的方程為一+=1.直線I : y=kx+n與橢圓M=1相切，故由_(18 k2+9) x2+36k nx+18n2- 4=0.因?yàn)?=36kn)2-4(18k2+9)(18 n2-4) =4X18(4k2-9n2+2)=0, 所以 4k2=9n2-2(顯然 nM 0 .因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d=,所以 |AB|=2 -因?yàn)?k2=9n2-2,所以n2-,所以 d2=一= <-,當(dāng)且僅當(dāng)則 $ Ao= |AB| d二-2 - - d=-一d2=cl即d2二時(shí)等號(hào)成立.所以 ABC面積的最大值為-.方法技巧 解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾 何法,特別是用圓錐曲

5、線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解；二是代 數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所 求的目標(biāo)函數(shù)),然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、 三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值.分類透析三取值范圍問題例1已知橢圓C=1(a>b»)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0),且離心率 為-.(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于MN兩點(diǎn),線段MN的垂直平分 線交y軸于點(diǎn)R0, y。)，求y。的取值范圍.分析I (1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=1,由離心率知a=2,進(jìn)而可求得b2,得到橢圓方程；(2)設(shè)Mxi,yi), Nx2, y2),

6、MN的中點(diǎn)為Qxay),討論直線MN的斜 率k,當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線MN的方程,代入橢圓方程，由根與系數(shù) 的關(guān)系，得到X3, ya與k的關(guān)系，再求出線段MN的垂直平分線，從而求 出yo及其取值范圍.解析I (1)依題意，得c=1.因?yàn)闄E圓C的離心率為e=,所以 a=2c=2, b2=a2-c2=3.故橢圓C的方程為一 1=1.(2)當(dāng)MNLx軸時(shí)，顯然y0=0.當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1)( k 0 .消去 y 并整理得(3 +4k2) x2-8k2x+4( k2- 3) =0.設(shè) Mxi, yi), Nx2, y2),線段 MN的中點(diǎn)為 Q(x3, ya),

7、貝 y xi+x2=.所以X3=,y3=k(X3-1) =x-故線段MN的垂直平分線的方程為y+在上述方程中，令x=0,得yo=當(dāng) k<0 時(shí)，-+4kw - 4 一,當(dāng)且僅當(dāng)-=4k, k二二時(shí)，等號(hào)成立;當(dāng)k>0時(shí)，-+4k4 ",當(dāng)且僅當(dāng)-=4k, k 時(shí)，等號(hào)成立.所以 < y0v0或0vy0W.綜上所述,y0的取值范圍是-二二.方法技巧I在求解圓錐曲線中的取值范圍問題時(shí)，若題目的條件 和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè) 函數(shù)的取值范圍.在利用代數(shù)法解決取值范圍問題時(shí)，常從以下方面 考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值

8、范圍；利 用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的取值范圍，解這類問題的關(guān)鍵是 兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等 式,從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范 圍;利用求函數(shù)的值域的方法，確定參數(shù)的取值范圍.分類突破改編題 即 |b|v ".由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得 Xi+X2=,yi+y2=(xi+b) +(X2+b) =xi+x2+2b,二 n ,故|n|v . 設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線I的方程為y=k(x-1)( kz 0 設(shè) G(X3, y3), Hx4, y4).2 2 2 2聯(lián)立整理得(4 k +3) x - 8k x+4k -1

9、2=0,由韋達(dá)定理得X3+X4 , X3 X4二則 y3+y4=k(xi+x)-2k=-VP為線段GH的中點(diǎn)IP的坐標(biāo)為又直線PD的斜率為-,故直線PD的方程為y-令y=0,得x=V直線AB與x軸交于點(diǎn)D-=,解得 k=±1.故|k|= 1成立.所以拋物線C的方程為y2=4x.由點(diǎn)P是C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)0的任意一點(diǎn)，設(shè)P(t工0 .設(shè)切線BP的斜率為k,則切線BP的方程為y-t=k消去x并整理得ky2- 4y-kt 2+4t=0.由 kM 0 = 6-4k(-kt 2+4t)=0,可得 4(kt-2)=0.所以kt- 2=0.所以切線BP的斜率k二.所以切線BP的方程為y-t=-,即y

10、=-x+.在 y=x+-中,令 x=0,得 y=-.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為在 ydx+中，令 y=0,得 x=-.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以所以=-.故X=,為定值.由直線FP過點(diǎn)F(1,0),設(shè)直線FP的方程為x=my+.消去x得一my-1=0.由韋達(dá)定理，得yAyF=-4.所以yA=-=-.-=- 4 +t2于是SxPA=- . |BF| . |y A-y p|= _ .令f(t)=-(4+t2 -(t工0 則f(t)為偶函數(shù)，只需研究函數(shù)f(t)在t>0時(shí)的最小值即可.當(dāng) t>0 時(shí),f(t)A(4+t2 -f' (t)二一 (314+8t2-16) J(3 t2- 4)( t2

11、+4).當(dāng)0<t<時(shí),f' (t )<0,f (t)為減函數(shù)；當(dāng)t>時(shí),f (t) >0,f (t)為增函數(shù).所以當(dāng)t>0時(shí)，函數(shù)f(t)在t=時(shí)取得最小值f =因?yàn)閒(t)為偶函數(shù)，所以當(dāng)t<0時(shí)，函數(shù)f(t)在t=-時(shí)取得最 小值ft=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為- t=-時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-綜上所述 PAB面積的最小值為此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-或-分類突破扱1. (2018年江西上饒模擬)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0, -1),焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x-y+2 =0的距離為3.(1)求橢圓的方程； 設(shè)橢圓與直線y=kx+mkM 0相交于不同的兩點(diǎn) MN當(dāng)

12、時(shí),求m的取值范圍.(1)依題意可設(shè)橢圓方程為一+y2=1,則右焦點(diǎn)F(- ,0).| - | 2 由題設(shè)知=3,解得a =3.故所求橢圓的方程為一+y2=1.得(3 k2+1) x2+6mkx-3( nV 1) =0.由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則>(),即 mv3k2+1.設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，二XP；/.y F=kxp+m=kAF=-又 =，二 API MN則-,即 2m=3k2+1, 把代入，得2m>m解得0 vm<2.又由得k2>0,解得m>所求m的取值范圍是2. (2018屆安徽省黃山市一模)設(shè)Fi、F2分別是橢圓一+y2=1的左、右隹點(diǎn)八、八、(1)若P

13、是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且=-,求點(diǎn)P的坐標(biāo); 設(shè)過定點(diǎn)M0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) AB,且/AO助 銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.解析(1)易知 a=2, b=1, c=,Fi(-,0), F2(,0).設(shè) P(x,y)(x>0,y>0),=(-x , -y)( -x, -y) =x2+y2-3=. 又+y2=1,聯(lián)立由 x>0, y>0,得 -y0=y1+y2=-, X0=X1+X2=my+t+my!+t=m(y1+y2)+2t=故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 一.顯然k=0不滿足題意,故設(shè)直線 I 的方程為 y=kx+2, A(xi, yi

14、), B(x2, y2),聯(lián)立消去 y,整理得(1 +4k2) x2+16kx+12=0.由 =(16k)2-4 - 1+4k2 12>0,得 k2>.>0,+2k -又/ A0助銳角， cos/ AOB>, =X1X2+y1y2>0.Ty 1y2=( kX1+2)( kX2+2) =k2X1X2+2k( X1+X2) +4,22/.x1X2+y1y2=(1 +k) X1X2+2k( X1+X2) +4=(1 +k+4_ 0, 0<k2<4.綜合可知-<k2<4,直線I的斜率k的取值范圍是3. (2018屆山西省高三第一次模擬考試)已知橢圓

15、E:=1(a>b>0)過點(diǎn) 一，且兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),(1,0).(1)求橢圓E的方程；若A B, P(點(diǎn)P不與橢圓頂點(diǎn)重合)為E上的三個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),且+,求AB所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.解析(1)由已知得c=1,2a=+=2二a= , b=1,故橢圓E的方程為一+y2=1. 設(shè)直線AB的方程為x=my+(m 0代入一+y2=1,得 (m+2)y2+2mty+t2-2=0.設(shè) 4x1, y1), B(X2, y2),則 y1+y2=-、魯亍,二 8(m-t +2).設(shè) Rxo, yo),由點(diǎn)P在橢圓E上，+.=1,即=1, 4t2=m+2在 x

16、=my+t 中，令 y=0,則 x=t;令 x=0,則 y=.二所求三角形的面積S=|xy|= -X廠二二l|m|+廠丿>-X 2 一 J,當(dāng)且僅當(dāng)m=2,t2=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)=4>0,所求三角形面積的最小值為二.4. (安徽省馬鞍山市2018屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))在直角坐標(biāo)系 中，已知點(diǎn) A(-2,0), B(2,0),兩動(dòng)點(diǎn) qo, m, DfO, n),且 mn3,直線 AC 與直線BD的交點(diǎn)為P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； 過點(diǎn)F(1,0)作直線I交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于MN兩點(diǎn)，試求 取值范圍.解析(1)直線AC的方程:y(x+2),直線BD的方程：y=-(x- 2),上述

17、兩式相乘得y2=-一(x2- 4).又mn®整理得一=1.由 mn=3 得 m0 n0 故 xm± 2.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為一=1(xM±2). 當(dāng)直線MN勺斜率不存在時(shí)，M - , N 1,-,有得 =-.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-1), Mx1, y1), Nx2, y2),聯(lián)立整理得(4 k2+3) x2- 8k2x+4k2-12=0,貝 J Xi +X2=, XiX2=-=XiX2- (Xi+X2)+1+yiy2=(1 +k2) X1X2- (xi+xQ +1 =(1 +k2)由k >0,可得-3<綜上可得的取值范圍為1.(2018年全國(guó)m卷，文20改編)已知斜率為1的直線m與橢圓C +=1交于A B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為MX0, n).(1)證明：|n|v 過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k(kM 0的直線I與橢圓C相交于G H兩點(diǎn)，線段GH的中點(diǎn)為P過點(diǎn)P垂直于GH的直線與X軸交于點(diǎn)D-,求證 |k|= 1.解析I (1)設(shè)直線AB的方程為y=x+b A(xi, yi), B( X2, y