2.1-二次型－實對稱方陣ppt課件

1、第二十五講二次型實對稱方陣方陣相合二次型平方和1,nFnxx定定義義：一一個個系系數(shù)數(shù)在在數(shù)數(shù)域域 中中的的個個變變數(shù)數(shù)的的二二次次齊齊次次多多項項式式2111 112 1 211222 2222(,)222nnnnnnn nQ xxa xa xxa xxa xa x xa x.Fn稱稱為為數(shù)數(shù)域域上上的的一一個個 元元二二次次型型1,nxx把把看看 成成 向向 量量的的 坐坐 標標 ，故故 也也 常常 記記 二二 次次 型型 為為Q Q( () ). .:例例1 1 平平面面解解析析幾幾何何中中，當當坐坐標標原原點點取取在在曲曲線線的的對對稱稱中中心心時時，一一個個有有心心二二次次曲曲線線的

2、的方方程程22( ,)2,fx yaxbxycydR這這 是是上上 的的 二二 元元 實實 二二 次次 型型 。例例2 2：空空間間解解析析幾幾何何中中，當當坐坐標標原原點點取取在在曲曲面面的的對對稱稱中中心心時時，一一個個有有心心二二次次曲曲面面的的方方程程211121322223233( , , )222,f x y za xa xya xzayayza zc.R這這是是 上上的的三三元元實實二二次次型型21113(,).nniijiij nQ xxxx xn 例例是是一一個個 元元二二次次型型：,ijjiijjiaax xx x令令1()(,)TijnTijjiAaXxxaaAA記記，1

3、211 1121211221212222211222(,)nnnnnnnnnnnnQ xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x,111()nnnijijiijji jija x xxa xTX AX11:,nnxxyy定定義義是是兩兩組組文文字字 表表達達式式det()0,ijc若若稱稱 為為 可可 逆逆 線線 性性 代代 換換 。(),:ijPcXPY記記則則 可可 寫寫 為為111112211211nnnnnnnnnxc yc yxc yc yxc yc y11,nnxxyy稱稱為為由由到到的的一一個個線線性性代代換換。, det0,XPYP作作可

4、可逆逆線線性性代代換換111(,)()()(,).TTnTTTnQ xxX AXPYA PYY P APYY BYQyy(),.TTTTTTBP APP A PP APBB仍仍是是對對稱稱陣陣,TBP AP這里這里以下重點討論: 二次型在可逆線性代換下化為平方和的問題.:DAPPT問題對稱方陣相合對角化的稱為二次型的標準形:,P ,.TnABBP APBA定定義義 任任給給兩兩個個 階階實實對對稱稱陣陣 和和若若存存在在可可逆逆陣陣使使得得則則稱稱 與與 相相合合相合關系具有自返性, 對稱性, 傳遞性. 是等價關系n階實對稱陣可以用相合這個等價關系進行分類7-3.二次型的標準型 方法1: 主軸

5、化方法29816.10:n,Q,.PAQ AQ由由定定理理對對任任階階實實對對稱稱陣陣總總存存在在實實正正交交方方陣陣使使得得是是對對角角形形111(,):A.nniiiiQ AQQTTTATT記記則則滿滿足足是是 的的特特征征向向量量(1); (2);(3).求特征值求特征向量求特征值求特征向量屬于同一 特征值的特征向量要正交化屬于同一 特征值的特征向量要正交化1 .TQQ這這里里所所以以是是正正交交相相合合對對角角陣陣:3,.n 幾幾何何意意義義當當時時 二二次次曲曲面面在在以以對對稱稱軸軸為為坐坐標標軸軸的的坐坐標標系系中中的的方方程程是是標標準準方方程程具體步驟：363P767二二次次

6、方方程程的的化化簡簡(1),.TX AX先先作作正正交交變變換換消消去去交交叉叉項項即即把把化化為為平平方方和和(2),. 再再作作平平移移變變換換 即即可可得得標標準準形形3 3123(),(,),.ijAaBb b bC這這里里是是數(shù)數(shù):具具體體做做法法123( ,)TQ x x xX AXBXC方法2: 大塊配方法.1:Q(x ,).nxXPY定定理理每每個個二二次次型型恒恒可可通通過過可可逆逆線線性性代代換換化化為為平平方方和和:.proof對對變變量量的的個個數(shù)數(shù)作作歸歸納納法法0i122221111Q(x ,)nXPYrrrrr sr sxyyyy.這這稱稱為為二二次次型型的的標標

7、準準形形2111 11,().nQ xa x時時已已是是平平方方和和n-1,假假設設對對個個變變數(shù)數(shù)的的二二次次型型定定理理成成立立n.現(xiàn)現(xiàn)在在來來討討論論個個變變數(shù)數(shù)的的二二次次型型11(1).0a 若若12111211112,.nniiaayxxxaayxin令令211112 211,2112211112 21121111,22( )()11()()nn nijiji jnn njjjnijiji jQaxa xa x xa xxaa xa xa xa xaaa xx 12111211112,.nniiaaxyyyaaxyin即即121111111 P1naaaa記記11222112111

8、00000.0nTnnnnaaaP APaaaA則則111(2).0 , a0 , 1,()1,10.-,.iiiaiP若若但但可可經經行行 和和列列 對對換換，使使位位不不等等于于這這可可通通過過前前 后后乘乘來來實實現(xiàn)現(xiàn)ii112(3).a0 (1,2, )a0,0.jina若若，但但有有某某一一不不妨妨設設1122121111113, .1iixyyxyyPxyin令令11212122212 11222111( ,)2()()22( ,) y0,(1).nX PYnQ xxayyyya ya yQ yy則則且且的的系系數(shù)數(shù)歸歸為為:1.2.P注注意意大大塊塊配配方方變變換換矩矩陣陣要要可可逆逆111,2(4).a0 (1, ),0 (1, ),0 (1, ). Q(x ,)1.iiji