第八章7方向?qū)?shù)與梯度

1、方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？達較涼快的地點？問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向

2、導數(shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點p沿某一沿某一方向的變化率問題方向的變化率問題),(yxfz 引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一點且上的另一點且為為并設并設為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設設 oyxlp xyp |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考慮考慮當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這

3、極限為函數(shù)在點則稱這極限為函數(shù)在點在，在，時，如果此比的極限存時，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當當之比值，之比值，兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點p沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿沿著著x軸軸負負向向、y軸軸負負向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)是是 yxff ,.方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)的幾何意義 ),(),(lim),(00000

4、00yxfyyxxflyxfx yyyxxx 00過直線過直線 作平行于作平行于 z 軸的平面軸的平面 與曲面與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為所交的曲線記為 c c上上考考察察在在 對對應應的的方方向向與與lpp0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示c 的割線向量的割線向量 的的交交角角的的正正切切值值與與lpp0即即的斜率的斜率關于關于lpp0時時當當0 ),(),(0000yxyyxx 即即割線轉(zhuǎn)化為切線割線轉(zhuǎn)化為切線上式極限存在就意味著當點上式極限存在就意味著當點),(00yyxx ),(00yx趨于點趨于點 曲線曲線c在點在點 p0 有唯一的切線有唯一

5、的切線它關于它關于 方向的斜率方向的斜率l就是方向?qū)?shù)就是方向?qū)?shù)),(00yxlf lcm0tp0pml定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向的，那末函數(shù)在該點沿任意方向 l l 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 l l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) l

6、f ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(p處處沿沿從從點點 )0 , 1(p到到點點)1, 2( q的的方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù).解解這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,故故x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù) lz)4sin(2)4cos( .22 例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點在點（1，1）沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射

7、線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并并問在怎樣的方向上此方向?qū)栐谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當）當4 時，時，方方向向?qū)?shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向?qū)?shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當）當43 和和47 時，時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?/p>

8、數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxp沿著方向沿著方向 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其中其中222)()()(zyx ）設設方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z 同理：當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點同理：當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 例例 3 3 設設n是曲面是曲面632222 zyx 在點

9、在點)1 , 1 , 1(p處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向的方向?qū)?shù)導數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 故故ppzuyuxunu)coscoscos( .711 二、梯度的概念二、梯度的概念?

10、:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題p定義定義 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點dyxp ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .設設jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(|

11、 yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時，時，lf 有有最最大大值值. 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf p當當xf 不不為為零零時時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tan),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(

12、czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx1),(cyxf2),(cyxfpcyxf),(),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量等高線等高線等高線的畫法等高線的畫法例如例如,圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個法線方向于函數(shù)在這個法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個方向相同，且線的一個方向相同，且在這點的法在這點的法高線高線的等的等的梯度的方向與點的梯度的方向與點在點

13、在點函數(shù)函數(shù)cyxfpyxpyxfz ),(),(),(此時此時 f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為沿該法線方向的方向?qū)?shù)為2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故應從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等故應從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的導數(shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。方向。梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)

14、，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點gzyxp ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.類似地類似地,設曲面設曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點的等量面，此函數(shù)在點),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與過點過點 p的等量面的等量面czyxf ),(在這點的法線的一在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的

15、等量面指向數(shù)值較個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.例例5 求函數(shù)求函數(shù))(12222byaxz 沿曲線沿曲

16、線12222 byax在點在點)2,2(ba處處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一解一用方向?qū)?shù)計算公式用方向?qū)?shù)計算公式 即要求出從即要求出從 x 軸正向沿逆時針軸正向沿逆時針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在在12222 byax兩邊對兩邊對x 求導求導02222 dxdybyax解得解得yaxbdxdy22 abdxdym 0（切線斜率）（切線斜率）故法線斜率為故法線斜率為ba tan內(nèi)法線方向的方向余弦為內(nèi)法線方向的方向余弦為22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzmm2,200 cosco

17、syzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大導數(shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值值, 即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向 從等高線的角度來看，從等高線的角度來看，f ( x , y ) 在點在點 p 的梯度的梯度 方向與過點方向與過點p 的等高線的等高線 f ( x , y ) = c 在這點在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向

18、數(shù)值較高的等高線指向數(shù)值較高的等高線)(1),(2222byaxyxfz 等高線為等高線為f ( x , y ) = c 即即cbyax 12222212111cccc 若若橢圓橢圓122221cbyax 222221cbyax 大于橢圓大于橢圓因此因此12222 byax在點在點)2,2(ba處的內(nèi)法線恰好是梯度方向處的內(nèi)法線恰好是梯度方向故故22)()(|yzxzgradzlz pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 三、小結(jié)三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）2、梯度

19、的概念、梯度的概念（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關系、方向?qū)?shù)與梯度的關系.),(最快的方向最快的方向在這點增長在這點增長梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf思考題思考題討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點點處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題解答思考題解答xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導數(shù)均不存在故兩個偏導數(shù)均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿