34定積分的積分方法

1、第一類換元（湊微分法 ）5540 xx edx 例例55555312500111|(1)555xxedxee 原原式式55225022001111ln(1)|ln2622211xdxdxxxx例例同不定積分的湊微分法一樣20sin 1cosxdxx 求求解解20sin1cosxdxx 20sin1cosxdxx 201(cos )1cosdxx 0arctan(cos )x ()44 2 43)ln1(lneexxxdx 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex 6 定理定理 （2 2）函

2、函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)當(dāng)t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時(shí)時(shí)，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化，且且a )( 、b )( ， 則則 有有( ) ( )( )baf x dxftt dt . . 換元公式注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.證證設(shè)設(shè))(xf是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，),()()(afbfdxxfba ( )dftdf dxdtdxdt )()(txf ),()(ttf ( )( ) ( ) ( )ftt dtff ( )ft 是是)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). ( )xt (

3、 ), ( ),ba 又又=)()( ff ( )baf x dx ( )( )ftt dt ( )( )f bf a應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計(jì)計(jì)算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了. （2）用用)(tx 把變量把變量x換成新變量換成新變量t時(shí)，積分限也時(shí)，積分限也相應(yīng)的改變相應(yīng)的改變.dxx 20241txtan2 4 0tdttan2tan44

4、12 401sect tdt2sec40tansecln tt )12ln( 例：例： 40122dxxxtx 12212tx )1(212 tx 31)1(212)1(2122 tdtt 312)3(21dtt31333121tt 322 例：例：,)( aacxf 證明：若證明：若為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí) )( .10 xf aadxxf)(a axy00 為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí) )( .20 xf aadxxf)(a axy0 adxxf0)(2例例(命題命題1) aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(證證 0)(adxxf 0)()(atdtf adttf0)(tx adttf0)

5、( adxxf0)( adxxfxf0)()(為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí) )( .10 xf aadxxf)(為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí) )( .20 xf aadxxf)( adxxf0)(20 212128 )1(ln1sindxxxx0 dxx 2121)1ln(0)1ln( x0 x 021)1ln(dxxdxx 210)1ln(0122ln(1)x dx 0122 ln(1)xx 012ln(1)xdx 3ln2 01221xdxx 函數(shù)奇偶性 設(shè)設(shè))(xf是是以以t為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，證證明明： 證證 taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 tattaxxfxxfxxf ta

6、txxfd)( ttx atttf0d)( attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)( 0 ttaaxxfxxf例例( (命題命題2)2) ttaaxxfxxf0d)(d)(. . tx 2 令令試試證證：設(shè)設(shè),1 , 0)( cxf 20)(sin . 1 dxxf 20)(cos dxxf證證xxcossin 為為使使0 20)(sin dxxftx 2 )2sin(tf )2(td 2 dt 0 2 )(costf 20)(cos dxxf 例：例：例例.d)(sin2d)(sin2/00 xxfxxf， 2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxfxxfxxf證證(2

7、) 2/d)(sinxxf 2/0d)(sin ttf， 2/0d)(sin xxf.d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf xt 02/)(d)sin( ttf試試證證：設(shè)設(shè),1 , 0)( cxf 證證(3)令令， 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf并計(jì)算并計(jì)算 .dcos1sin02 xxxx，xt 0d)(sinxxxfi，ixxf 0d)(sin.d)(sin2 0 xxfi例例)d()sin()(0 ttft 0d)(sin)(ttft試試證證：設(shè)設(shè),1 , 0)( cxf 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 0)arctan(cos2

8、x 1arctan)1arctan(2 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 02cosdcos112xx.42 302)1( ,)( dxxfxxf求求設(shè)設(shè)解解 30)1(dxxf)1()1(30 xdxf 30)1(dxxftx 1 41)(tf)1( td 41)(tfdt 41)(dxxf 412dxx41331 x 21 例：例：tx 141( )f t dt 41( )f x dx )( xf設(shè)設(shè)2xxe 0 xxcos11 01 x 41)2( dxxf求求解解 41)2(dxxftx 2 21)2()( tdtf 21)( dttf 21)(dxxf 202dxxex

9、01cos11dxx 0122cos21dxx20212xe 012tan x20212xe 212121tan4 e 解解例例7 7設(shè)設(shè))(xf在在),( 上上連連續(xù)續(xù)，且且滿滿足足 ,1ed)(0 xttxftxx求求)(xf， 令令，txu xttxft0d)(則則 0d)()(xuufux xuufux0d)()(,d)(d)(00 xxuufuuufx,1ed)(d)( 00 xuufuuufxxxx兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，,1e)()(d)(0 xxxxfxxfuuf即即,1ed)(0 xxuuf再求導(dǎo)，得再求導(dǎo)，得.e)(xxf 設(shè)設(shè) xtttxf1d1ln)(, ,其其中中0 x,

10、 ,求求)()1(xfxf . . 例例解解 xtttxf11d1ln)1(uuuuutxd)1(/11ln /1 12 ,dln12 xuuuu xxtttttttxfxf11d1lnd)1(ln)()1( xttt1dln.ln212x xtttttt1d1ln)1(ln 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv (),bbbaaauv dxu vdxuv dx . bababavduuvudv分部積分公式,bbbaaauvu vdxuv dx

11、例例1 1 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf 10)(dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 10221x22sinxx xdx2 1022sin21dxx 102cos21x )11(cos21 例例 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni積分積分