2020江蘇專轉(zhuǎn)本第四章向量代數(shù)與空間解析幾何ppt課件

1、 第四章第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,21MM記作1.向量向量:(又稱矢量又稱矢量). 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量2.向徑向徑 (矢徑矢徑):3.自由向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.4.單位向量單位向量:模為 1 的向量,a記作5.零向量零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a a第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運算向量及其線性運算6.若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與

2、b 相等相等,記作記作 ab ;規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;8.若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;記作記作9.因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量共線兩向量共線 .7.與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量的負(fù)向量,記作記作a ;1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:bbaaba ba ab)( ababababaaa 是一個數(shù) ,.a 與 a 的乘積是一個新向量, 記作運算

3、律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 設(shè) a 為非零向量 , 那么( 為唯一實數(shù))ababxyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個)面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念xyzo向徑 11坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(y

4、xA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標(biāo))原點 O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點 M , ),(zyxM那么沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxx

5、bababaa),(zyxaaaabxxabyyabzzab3.平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實數(shù)1.2.4.222zyxaaaa四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算222)()()(zzyyxxbabababaxxabzzabyyabab已知向量),(zyxaaaOA ),(zyxbbbOB OAOBAB),(zzyyxxababab5.6.已知點),(),(zyxzyxbbbBaaaAAB（終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)）),(zzyyxxababab1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 , 稱 記作數(shù)量積 (點積) .bacosba的與為baba,2. 性質(zhì)性質(zhì)aa

6、) 1 (2acosbaba為兩個非零向量, 則有ba,)2(0baba (1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba設(shè)那么當(dāng)為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosbaba baba,（3兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示zzyyxxbabababa（1）（2）0baba 0zzyyxxbababa例例4-1. 已知向量已知向量 ，那么，那么 與與 的夾角為的

7、夾角為) 1 , 2. 1 (),1, 0 , 1 (babaabacba思索思索: 右圖三角形面積右圖三角形面積abba21S六、兩向量的向量積六、兩向量的向量積定義向量方向 :,即垂直向量 所在的平面.模 :，的夾角為設(shè)b a ,c, acbc csinabb a ,(叉積)記作向量積 ,稱c的與為向量babac1. 定義定義為非零向量, 那么aa) 1 (0ba,)2(3. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (0baba設(shè)那么),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb bakjixayazaxbybzb,zyzyb

8、baa,zxzxbbaayxyxbbaa, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積. 解解: 如下圖如下圖,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三例例4-4. 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么 2, 4, 1baba._ba例例4-3. 設(shè)向量設(shè)向量 ，那么，那么 ) 3 , 1. 1 (),1 , 3, 2(ba_,)()(bababa設(shè)1.加減加減:2.數(shù)乘數(shù)乘:4.點積點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(

9、zyxzyxbbbbaaaa5.叉積叉積:kjixayazaxbybzbba3.模模:222,zyxaaaa內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xxabyyabzzabba/0ba6.兩向量平行兩向量平行:0zzyyxxbabababa 0ba7.兩向量垂直兩向量垂直:cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba8.兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式:22343cos322)2(17例例4-5. 已知向量已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba(2019-4) 設(shè)向量設(shè)向量 ，那么，那么

10、 等于等于( )A.（2，5，4） B.（2，5，4）C.（2，5，4） D.（2，5，4）(1,2,3),(3,2,4)ab ba(2019-10) 知知 均為單位向量，且均為單位向量，且 ，則以向量，則以向量 為鄰邊的平行四邊形的面積為為鄰邊的平行四邊形的面積為_ 21ba, a b , a b (2019-10)設(shè)設(shè) ，那么，那么 (2019-10)設(shè)向量設(shè)向量 互相垂直，互相垂直， 那么那么 ._)(baabaa , 1,);, 1 , 2(),2, 4 , 3(kkzyxo0Mn),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的

11、點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n第二節(jié)第二節(jié) 平面方程平面方程kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此式稱為平面的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cba平面方程為

12、PozyxRQ平面的點法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0DzCyBxA)0(222CBA此方程稱為平面的一般方程.),(CBAn 的平面, 方程的圖形是法向量為 當(dāng)當(dāng) D = 0 D = 0 時時, A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 通過原點的平面通過原點的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時時, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示

13、0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.,), 0(iCBn解解: : 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 21

14、21cosnnnn 221) 1 (21/)2(),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 2n1n2n1n21nn 0212121CCBBAA21/ nn212121CCBBAA因此有垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: : 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和則

15、所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且且)5,15,10(1223111kji0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx例例4-9.4-9.求過點求過點 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量為已知二平面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn1.平面基本方程平面基本方程一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2.平面與平面之間的關(guān)系平面與

16、平面之間的關(guān)系平面平面（1垂直垂直:（2平行平行:（3夾角公式夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 0212121CCBBAA212121CCBBAAxyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)第三節(jié)第三節(jié) 空間直線方程空間直線方程一、空間直線方程一、空間直線方程),(0000zyxM故有mxx0設(shè)直線上的動點為 那么),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱

17、式方程(也稱為點向式方程)s已知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0解解: :先在直線上找一點先在直線上找一點. .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得已知直線的相交兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: :先找直線上一點;

18、再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji2L1L1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足 212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss ),(1111pnms ),(2222pnms 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss解解: : 直線直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向