2.1-第二類曲面積分ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 第二類曲面積分第二類曲面積分-向量值函數(shù)在定向曲面上的積分向量值函數(shù)在定向曲面上的積分一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定義及性質(zhì)三、定義及性質(zhì)四、計算法四、計算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) ( (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的) )曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)n1. 1.曲面的分類曲面的分類: :(1)(1)雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;(2)(2)單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面: :播

2、放播放以后我們總假定所考慮的曲面是雙側(cè)的。以后我們總假定所考慮的曲面是雙側(cè)的。規(guī)定：定向曲面上任一點處的法向量規(guī)定：定向曲面上任一點處的法向量 總是指向曲面取定的一側(cè)總是指向曲面取定的一側(cè). .2. 2. 決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。( (定向曲面定向曲面). ).注：在定向曲面的范圍里，注：在定向曲面的范圍里，是是不不同同的的曲曲面面與與 為為則則其其相相反反側(cè)側(cè)的的曲曲面面就就記記向向曲曲面面，表表示示選選定定了了側(cè)側(cè)的的一一個個定定),(yxzz ：若若)1 ,(yxzzn 朝上朝上取上側(cè)，則法向量取上側(cè)，則法向量若若n )1( 朝下朝下取下側(cè)，則法向量取下側(cè)

3、，則法向量若若n )2( )1,( yxzzn),(zyxx ：若若), 1(zyxxn 朝前朝前取前側(cè)，則法向量取前側(cè)，則法向量若若n )1( 朝后朝后取后側(cè)，則法向量取后側(cè)，則法向量若若n )2( ), 1(zyxxn ),(xzyy ：若若), 1,(zxyyn 朝左朝左取左側(cè)，則法向量取左側(cè)，則法向量若若n )1( 朝右朝右取右側(cè)，則法向量取右側(cè)，則法向量若若n )2( ), 1 ,(zxyyn 即有向曲面方向用法向量指向來表示：即有向曲面方向用法向量指向來表示：方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 為前側(cè)為前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)

4、內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定二、二、 概念引入概念引入 1. 引例：引例： 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面求單位時間流過有向曲面 的流量的流量 . S分析分析: 假設(shè)假設(shè) 是面積為是面積為S 的平的平面面, 則流量則流量 單位法向量單位法向量: 流速為常向量流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cos nvcosvS nvSnv對一般的有向曲面對一般的有向曲面 ,用用“分割、求和、取極限分割、求和、取極限” ni 10lim 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni

5、1 zyiiiiSP)(,( xziiiiSQ)(,( yxiiiiSR)(,( iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 那么那么 .0cos00cos)(0cos)()( 時時當當時時當當時時當當 xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 面面在在xoyS 在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊為為上的投影上的投影xyS)( 曲曲面面 S 類似可規(guī)定類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(

6、 有有如如下下規(guī)規(guī)定定：對對于于符符號號xys)( 三、第二類曲面積分的定義及性質(zhì)三、第二類曲面積分的定義及性質(zhì) 存存在在 nixyiiiiSR10)(,(lim 則稱此極限為則稱此極限為函數(shù)函數(shù)在有向曲面在有向曲面 上上對坐標對坐標的曲面積分的曲面積分 （也稱第二類曲面積分）（也稱第二類曲面積分）),(zyxRyx, nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( ds cos即即是是可可正正可可負負的

7、的注注意意定定向向投投影影面面上上的的投投影影，在在定定向向曲曲面面微微元元xoyds存在條件存在條件: :當當),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時時, ,對對坐坐標標的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式: :dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義: :dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 若記若記 正側(cè)的單位法向量為正側(cè)的單位法向量為令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzy

8、xPA 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式y(tǒng)xRxzQzyPddddddSnAdSA d性質(zhì)性質(zhì): : 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),( ),(),( ),(),(.2說明，當積分曲面改變?yōu)橄喾磦?cè)時，說明，當積分曲面改變?yōu)橄喾磦?cè)時， 對坐標的曲面積分要變號。對坐標的曲面積分要變號。曲面可加性曲面可加性四、計算法第二類曲面積分四、計算法第二類曲面積分-化為二重積分）化為二重積

9、分） ),(yxfz xyDxyzoxyS)( 定理定理: 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè)取上側(cè),),(zyxR是是 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 那那么么 yxzyxRdd),() ,( yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè)取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),( 假設(shè)假設(shè),),( , ),(:zyDzyzyxx則有則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 假假設(shè)設(shè),)

10、,( , ),(:xzDxzxzyy則有則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負前正后負)(右正左負右正左負)說明說明: 如果積分曲面如果積分曲面 取下側(cè)取下側(cè), 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .解：解：兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyy

11、xxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號xyz2 1 五、兩類曲面積分的聯(lián)系五、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式向量形式),(RQPA

12、)cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影)稱為有向曲面元稱為有向曲面元, , 有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 給給出出，則則由由方方程程若若),(yxzz 221cosyxx例例2. 計算曲面積分計算曲面積分其中其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2y

13、xzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式原式 )(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxzyxz111例例3. 設(shè)設(shè),1:22yxz是其外法線與是其外法線與 z 軸正向軸正向夾成的銳角夾成的銳角, 計算計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n定義定義:Szyxfd),(

14、iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 小結(jié)小結(jié)性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò):yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos2. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分面積分第一類第一類 (對面積對面積)第二類第二類 (對坐標對坐標)二重積分二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同時分片積分方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影積分元素投影第一

15、類：第一類： 面積投影面積投影第二類：第二類： 有向投影有向投影(3) 確定積分域確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面 注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化當當yxDyxyxzz),( , ),(:時，時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)?。ㄉ蟼?cè)取“+”, 下側(cè)取下側(cè)取“”)類似可考慮在類似可考慮在 yoz 面及面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .思考題思考題此時此時 的左側(cè)為負側(cè)，的左側(cè)為

16、負側(cè)，221zxy 而而 的左側(cè)為正側(cè)的左側(cè)為正側(cè). .221zxy 答：答：xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO,dddddd222yxzxzyzyx 計算計算其中其中是是所圍成的正方體的表面的所圍成的正方體的表面的24563 先計算先計算zyxdd2 由于平面由于平面都是母線平行于都是母線平行于x軸的柱面軸的柱面,則在其上對坐標則在其上對坐標y,z的積分為的積分為0.解解ayyazz , 0, 0)0(, aazayax三個坐標面與平面三個坐標面與平面外側(cè)外側(cè). .1練習1：x=a面在面在yOz面上的投影為正面上的投影為正,而而x=0面在面在yOz面上的投影為

17、負面上的投影為負.投影域均為投影域均為:0ya, 0za, 故故zyxdd2 zyyzDdd02 4a yzDzyadd2由由 x,y,z 的對等性知的對等性知,所求曲面積分為所求曲面積分為 3a4. yzDzyadd2 后兩個積分值也等于后兩個積分值也等于a4.xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO245631練習2：,dd)(ddddyxzxxzyzyx 計計算算其中其中解解 法一法一 直接用對坐標的曲面積分計算法直接用對坐標的曲面積分計算法.且其投影區(qū)域分別為且其投影區(qū)域分別為由于由于取上側(cè)取上側(cè),yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: x

18、yxDxy 10, 10:222 zyx是是平平面面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上側(cè)上側(cè). .面的投影面的投影xOyzOxyOz,在在所所以以 都是都是正的正的, ,xyzOyzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:zzyyyd)21(d10220 zzxxxd)21(d10220 .67 0222: zyx 取上側(cè)取上側(cè)yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO 1010d)222(dxyxyxx)cos,cos,(cos0 nSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用兩類曲面積分的聯(lián)系計算利用兩類曲面積分的聯(lián)系計算.取上側(cè)取上側(cè)

19、,yxz222 31,32,32)1 ,(yxzzn )1 , 2 , 2( Szxyxd31)(3232 銳角銳角. .則法向量則法向量n與與z軸正向的夾角為軸正向的夾角為yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxdd3 .67 yx222 yxdd3Szxyxd31)(3232 yxzzSyxdd1d22 yxz222 若分片光滑的閉曲面若分片光滑的閉曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注補充補充x的偶函數(shù)的偶函數(shù)x的奇函數(shù)的奇函數(shù)曲面曲面不封閉也可以不封閉也可以. 0),(:1 zyxx 取外側(cè)

20、取外側(cè)(內(nèi)側(cè)仍成立內(nèi)側(cè)仍成立), 那末那末關(guān)于關(guān)于yOzyOz平面對稱平面對稱, ,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP練習3：,dddddd22yxyxexzzzyz 計算計算其中其中:的的)21(22 zyxz解解關(guān)于關(guān)于yOz面對稱面對稱,被積函數(shù)被積函數(shù) zydd關(guān)于關(guān)于x為偶函數(shù)為偶函數(shù).下側(cè)下側(cè). . 又又1),( zyxP0關(guān)于關(guān)于zOx面對稱面對稱,被積函數(shù)被積函數(shù) xzzdd 0關(guān)于關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).zzyxQ ),(xyzOn 原式原式=yxyxezdd22 yxyxexyDyxdd2222 2021dde).1(2ee 22221: yxDxy取取下下側(cè)側(cè) )21(22 zyxzxyzOn與兩平面與兩平面是由曲面是由曲面設(shè)設(shè)222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx解解下下底底及及圓圓柱柱面面分分別別記記做做的的上上底底將將,S,:1rzS ,:2rzS 2223:ryxS S 2S 3S 1S,rzrz 求求 1222ddSzyxzyx而而 222