等差數(shù)列性質(zhì)（1）

1、或或a an n+1+1=a an n+d+d等差數(shù)列等差數(shù)列 幾何意義幾何意義通項(xiàng)通項(xiàng)公差公差定義定義AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一項(xiàng)與每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的它前一項(xiàng)的差差 如果一個(gè)數(shù)列從第如果一個(gè)數(shù)列從第2 2項(xiàng)起，項(xiàng)起，等于同一個(gè)常數(shù)等于同一個(gè)常數(shù). . . . . . . . . . .【說明說明】 數(shù)列數(shù)列 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列a an n+1+1- -a an n=d=dd d=a an n+1+1- -a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一個(gè)常數(shù)。的，是一個(gè)常數(shù)。等差數(shù)列各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在同一條直線上點(diǎn)都在同一條直線上

2、. .知識(shí)回顧知識(shí)回顧an=a1+(n-1)d一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a， ；：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固 (1)等差數(shù)列等差數(shù)列8，5，2，的第，的第5項(xiàng)是項(xiàng)是 AA AAAAAAA (2)等差數(shù)列等差數(shù)列-5，-9，-13，的第的第n項(xiàng)是項(xiàng)是A -4an = -5+(n-1).(-4)10【說明說明】 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式中的通項(xiàng)公式中 a1、d、an、n 任知任知 三三 個(gè)，個(gè)，可求出可求出 另外

3、一個(gè)另外一個(gè)二、填空題：二、填空題：簡(jiǎn)言之“知三求四知三求四”(3)已知已知an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a1=3，d= 2 ，an=21，則，則n =（1 1）數(shù)列：）數(shù)列：-2-2，0 0，2 2，4 4，6 6，8 8，1010，12345678910123456789100P39例4等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的圖象1（2）數(shù)列：）數(shù)列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的圖象2（1）數(shù)列：）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的圖象3例1 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為已知數(shù)列的通項(xiàng)公

4、式為a an n=pn+qpn+q，其中，其中p,qp,q是常數(shù)，且是常數(shù)，且p0p0，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列嗎？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？差數(shù)列嗎？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看要看a an na an-1n-1(n2)是不是一個(gè)與是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)就行了無關(guān)的常數(shù)就行了解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)a an-1n-1與與a an n(n2)(n2)a an na an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q(pn+q)-p(n-

5、1)+q =pn+q-(pn-p+q =pn+q-(pn-p+q) ) =p =p它是一個(gè)與它是一個(gè)與n n無關(guān)的常數(shù)，所以是等差數(shù)列，且公差是無關(guān)的常數(shù)，所以是等差數(shù)列，且公差是p p在通項(xiàng)公式中令在通項(xiàng)公式中令n=1n=1，得，得a a1 1=p+qp+q, ,所以這個(gè)所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是等差數(shù)列的首項(xiàng)是p+qp+q，公差是，公差是p p, ,等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)P P38382 2，3 3在一個(gè)數(shù)列中在一個(gè)數(shù)列中, ,從第從第2 2項(xiàng)起項(xiàng)起, ,每一項(xiàng)每一項(xiàng)( (有窮數(shù)列的有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外末項(xiàng)除外) )都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng). .如果如

6、果a,A,ba,A,b成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,那么那么A A叫叫a a與與b b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng). .如如: :數(shù)列數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中, ,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：P P3737例例5 5等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)思考題思考題:已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的和已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的和是是12，積是，積是48，求這三個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù). :, ,.12484422ad a adadaadadaadaadd 解 設(shè)這三個(gè)數(shù)為解 設(shè)這

7、三個(gè)數(shù)為或或設(shè)數(shù)技巧設(shè)數(shù)技巧已知三個(gè)數(shù)成等差已知三個(gè)數(shù)成等差 數(shù)列，且和已知時(shí)常數(shù)列，且和已知時(shí)常利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性設(shè)三數(shù)為：設(shè)三數(shù)為：a-d , a , a+da-d , a , a+d四個(gè)數(shù)怎么設(shè)？四個(gè)數(shù)怎么設(shè)？26 ,21,179.(1),;(2),10AB BC CDADcmcmAB BC CDAB BC CD 3838P P 例正方形邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)成例正方形邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)成等差數(shù)列 且其面積之和為等差數(shù)列 且其面積之和為求的長(zhǎng)求的長(zhǎng)以的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)以的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)以第項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？以第項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？3,7,11.cmcmcm21521

8、cmP P39396 6，7 71a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa d na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差數(shù)列在等差數(shù)列中，中，為公差，若為公差，若且且求證：求證： 證明：證明： 設(shè)首項(xiàng)為設(shè)首項(xiàng)為，則，則例例2.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)P P393911 11a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命題中的等式兩邊有上面的命題中的等式兩邊有 相相 同同 數(shù)數(shù) 目目 的項(xiàng)，否則不成立。如的項(xiàng)，否則不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3

9、3 成立嗎？成立嗎？ 【說明說明】 3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = 1. 1. a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列 2. 2. a a、b b、c c成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b為常數(shù)）為常數(shù)）a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamnb b為為a a、c c 的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng)2cab 2 2b= a+cb= a+c4

10、.4.在在等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命題的逆命題上面的命題的逆命題 是不一定成立是不一定成立 的；的； 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)P P39398 8，10105 5. . 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 =例例2 .在在等差數(shù)列等差數(shù)列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a

11、5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 從而從而a14= _3或或31例題分析例題分析1 1. .等差數(shù)列等差數(shù)列 an

12、 的前三項(xiàng)依次為的前三項(xiàng)依次為 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2，則則 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 2B2. 在在數(shù)列數(shù)列an中中a1=1，an= an+1+4，則，則a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4 -353. 在在等差數(shù)列等差數(shù)列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0課堂練習(xí)課堂練習(xí)3

13、00 5004. 在在等差數(shù)列等差數(shù)列an中中, a1=83，a4=98，則這個(gè)數(shù)列有，則這個(gè)數(shù)列有 多少項(xiàng)在多少項(xiàng)在300到到500之間？之間？ d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，84402.已知已知an為等差數(shù)列，若為等差數(shù)列，若a10= 20 ，d= -1 ，求，求a 3 ?1. 若若a12=23，a42=143， an=263，求，求n.3. 三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的，首尾二數(shù)的積為積為12，求此三數(shù)，求此三數(shù). .d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為設(shè)這三個(gè)

14、數(shù)分別為a-d a，a+d，則，則3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6研究性問題研究性問題練習(xí)練習(xí) 梯子的最高一級(jí)寬梯子的最高一級(jí)寬33 cm，最低一級(jí)寬，最低一級(jí)寬110 cm，中間，中間 還有還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬.項(xiàng)數(shù)（上） 123456789101112數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的項(xiàng)33110項(xiàng)數(shù)（下）121110987654321分析：分析： 解法一解法一: 用用an題中的等差數(shù)列，由已知條件，有題中的等差數(shù)列，由已知條件，有 a1=33 ，a12=110 ，n=12 又又a12=a1+(121)d即即11033

15、11d 所以所以 d=7 因此，因此， a2=33+7=40 a3=40+47 a11=96+7=103 答：梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是答：梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、 61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命題中的等式兩邊有上面的命題中的等式兩邊有 相相 同同 數(shù)數(shù) 目目 的項(xiàng)，否則不成立。如的項(xiàng)，否則不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立嗎？成立嗎？ 【說明說明】 3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d

16、= = 1. 1. a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列 2. 2. a a、b b、c c成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b為常數(shù)）為常數(shù)）a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamnb b為為a a、c c 的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng)2cab 2 2b= a+cb= a+c4.4.在在等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：

17、上面的命題的逆命題上面的命題的逆命題 是不一定成立是不一定成立 的；的； 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)5 5. . 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 =前前100個(gè)自然數(shù)的和：個(gè)自然數(shù)的和：1+2+3+100= ； 前前n個(gè)奇數(shù)的和：個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+(2n-1)= ；前前n個(gè)偶數(shù)的和：個(gè)偶數(shù)的和：2+4+6+2n= .思考題：思考題：如何求下列和？如何求下列和？5050n2n(n+1)二、學(xué)習(xí)新課二、學(xué)習(xí)新課等差數(shù)列前等差數(shù)列前n 項(xiàng)和項(xiàng)和Sn = = .2)(1n

18、aan dnnna2)1(1 =an2+bna、b 為常數(shù)為常數(shù)Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 (2)(1)+ (2)得得2Sn=n(a1+ an)【說明說明】推導(dǎo)等差數(shù)列的前推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法叫項(xiàng)和公式的方法叫 ；等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于項(xiàng)和公式類同于 ；an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 ，這是一個(gè)關(guān)于，這是一個(gè)關(guān)于 的的 沒有沒有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法梯形的面積公式梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)二次函數(shù)（ 注意注意 a 還還可以是可以是 0）例例1 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中Sn=2n2+3n， 求證：求證：an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.等