導數(shù)的幾何意義76348

1、平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為d,xd,x1.1.x x2 2d,f(x)d,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率oabxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x以平均速度代替瞬時速度，然后通過以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速

2、度瞬時速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導數(shù)，記作處的導數(shù)，記作f f (x(x0 0) )或或y y|x=x|x=x0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由導數(shù)的意義可知由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的處的導數(shù)的基本方法是導數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xy

3、fxx 取極限，得導數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式也必須選擇與之相對應的形式.例例1.1.函數(shù)函數(shù) 在在x=1x=1處的導數(shù)是處的導數(shù)是_【解析】【解析】即函數(shù)即函數(shù) 在在x=1x=1處的導數(shù)是處的導數(shù)是-1.-1.1yxx011y11x1xx1xylim1x ，1yx例例2.2.求求y=xy=x2 2在點在點x=1x=1處的導數(shù)處的導數(shù)解：解：222)(21)1 (xxxyxxxxxy2)(22

4、2|2)2(limlim100 xxxyxxy例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x在在x=-1x=-1附近的平均附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)變化率，并求出在該點處的導數(shù)解解 先求出平均變化率，進而取極限求得在先求出平均變化率，進而取極限求得在該點的導數(shù)值該點的導數(shù)值. .【解析】【解析】2x0 x01x1x2y3xxxyf1limlim 3x3. x ，例例3 3（1 1）求函數(shù)）求函數(shù) 在在x=1x=1處的導數(shù)；處的導數(shù)； （2 2）求函數(shù)）求函數(shù)y=xy=x2 2+ax+b+ax+b在在x x處的導數(shù)處的導數(shù)【審題指導】【審題指導】本題求函數(shù)的導數(shù)，

5、可以按照本題求函數(shù)的導數(shù)，可以按照“求導數(shù)的三步曲求導數(shù)的三步曲”進行進行. .yx【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）（2 2）y=y=(x+x)(x+x)2 2+a(x+x)+b+a(x+x)+b-(x-(x2 2+ax+b)+ax+b)=2x=2xx+(x)x+(x)2 2+a+ax=(2x+a)x=(2x+a)x+(x)x+(x)2 2, ,f(x)=2x+a.f(x)=2x+a.y1x1, y1x11,xx1x1 x 1x0111lim,y |.221x1 2x0 x0(2xa)xxy2xax,xxylimlim 2xax2xa,x pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t導數(shù)的幾何意

6、義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當點當點q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點p即即x0時時,割線割線pq如果有一個極限位置如果有一個極限位置pt.則我則我們把直線們把直線pt稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切線切線.yxo)(xfy p相切相交 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為,那那么當么當x0時時,割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切切線的斜率線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線這個概念這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)

7、在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù).pqoxyy=f(x)割割線線切切線線t相應的 , y=f(x)在點p( x0,f(x0) )處的切線方程為：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義,就是000 xxxfyy曲線y=f(x)在點p(x0,f(x0)處的切線的斜率例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點

8、處的切線方程的基本步驟的基本步驟:求出求出p點的坐標點的坐標;利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.練習練習:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點p處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點p處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313pxy上上一一點點 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點p處的切線的斜率等于處的切線

9、的斜率等于4. (2)在點在點p處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)導函數(shù)也簡稱也簡稱導數(shù)導數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點處的導數(shù)等于函數(shù)的導 函 數(shù)在點處的函數(shù)值函數(shù)導函數(shù)函數(shù)導函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到處求導數(shù)的過程可以看到,當當時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當當x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)

10、的導函數(shù)的導函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的導數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導函數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個例子看一個例子:練習1、求曲線 在點m(3,3)處的 切線的斜率及傾斜角xy9斜率為-1,傾斜角為135練習2、判斷曲線 在（1，-）處 是否有切線，如果有， 求出切線的方程.221xy 12有,切線的方程為21 xy注: 學了導數(shù)的運算后, 此類題

11、有更簡單的解法.處的導數(shù)在是求函數(shù)00)()(xxxfyxf如果將x0改為x,則求得的是)(xfy被稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù).)(xfy如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個x(a,b)，都對應著一個確定的導數(shù) ，從而構成了一個新的函數(shù) 。稱這個函數(shù) 為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)導函數(shù)，簡稱導數(shù)導數(shù)，也可記作 ，即)(/xf)(/xf)(/xf/y)(/xf/yxxfxxfxyxx)()(limlim00（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù) 就是導函數(shù)就是導函數(shù) 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。處的導數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小結:（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)的導函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。弄清弄清“函數(shù)函