高一數(shù)學任意角概念

1、1.1.1 任意角的概念任意角的概念1、角的概念、角的概念初中是如何定義角的？初中是如何定義角的？ 從一個點出發(fā)引出的從一個點出發(fā)引出的兩條射線兩條射線構成的幾構成的幾何圖形何圖形. 這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的范圍是范圍是0, 360)， 這種定義稱為這種定義稱為靜態(tài)定義靜態(tài)定義，其弊端在于，其弊端在于“狹隘狹隘”. 生活中很多實例會不在該范圍。生活中很多實例會不在該范圍。 體操運動員轉(zhuǎn)體體操運動員轉(zhuǎn)體720，跳水運動員向內(nèi)、，跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體向外轉(zhuǎn)體1080； 經(jīng)過經(jīng)

2、過1小時，時針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多小時，時針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？少度？ 這些例子不僅不在范圍這些例子不僅不在范圍0, 360) ，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必要將角的概念將角的概念推廣推廣到到任意角任意角， 想想用什么辦法才能推廣到想想用什么辦法才能推廣到任意角任意角？ 關鍵是用關鍵是用運動的觀點運動的觀點來看待角的變化。來看待角的變化。 2角的概念的推廣角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”形成角形成角 一條射線由原來的位置一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點繞著它的端點O按按逆時針方向逆時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋轉(zhuǎn)開始時的射線旋轉(zhuǎn)開始時的射線O

3、A叫做叫做角角的的始邊始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角叫做角的的終邊終邊，射線的，射線的端端點點O叫做角叫做角的的頂點頂點“正角正角”與與“負角負角”、“0角角” 我們把我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做負角負角，如圖，以，如圖，以OA為始邊的角為始邊的角=210，=150，=660， 特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零度角（叫做零度角（0） 角的記法：角

4、的記法：角角或可以簡記成或可以簡記成.角的概念擴展的意義：角的概念擴展的意義：用用“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”定義角之后，定義角之后，角的范圍角的范圍大大地大大地擴大擴大了了 角有正負之分角有正負之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 還有零角還有零角, 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)一條射線，沒有旋轉(zhuǎn). 角的概念推廣以后，它包括角的概念推廣以后，它包括任意大小的正任意大小的正角、負角和零角角、負角和零角 要注意，正角和負角是表示具有要注意，正角和負角是表示具有相

5、反意義相反意義的的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純屬于，它的正負規(guī)定純屬于習慣習慣，就好象，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣象數(shù)零無正負一樣用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（旋旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量） （2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時針逆時針和順時針和順時針兩種，這是一對兩種，這是一對意義相反的量意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么許多問題就反的量用正負數(shù)來

6、表示，那么許多問題就可以解決了；可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點.（3）旋轉(zhuǎn)量：）旋轉(zhuǎn)量： 當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360，角度的絕對值可大于角度的絕對值可大于360 .于是就會出現(xiàn)于是就會出現(xiàn)720 ， 540等角度等角度.3“象限角象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角。系中來討論角。 角的頂點重合于角的頂點重合于坐標原點坐標原點，角的始邊重合，角的始邊重合于于x軸的正半軸軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限

7、的角（角的象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等4終邊相同的角終邊相同的角 觀察：觀察：390 ， 330 角，它們的終邊都與角，它們的終邊都與30 角的終邊相同角的終邊相同.探究：探究：終邊相同的角都可以表示成一個終邊相同的角都可以表示成一個0 到到360 的角與的角與k(kZ)個周角的和個周角的和：

8、390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 結(jié)論：結(jié)論： 所有與所有與 終邊相同的角連同終邊相同的角連同 在內(nèi)可以構在內(nèi)可以構成一個成一個集合集合：| =+k360(kZ) 即：任何一個與角即：任何一個與角 終邊相同的角，都可終邊相同的角，都可以表示成以表示成角角 與整數(shù)個周角的和與整數(shù)個周角的和注意以下四點：注意以下四點： kZ； 是任意角；是任意角； k360與與 之間是之間是“+”號，如號，如k36030,應應看成看成k360+(30)；

9、終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差相差360的整數(shù)倍的整數(shù)倍.例例1. 在在0到到360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角與的角與120的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角與的角與640的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第四象限角它是

10、第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角與的角與95012的角終邊相同，的角終邊相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例2. 寫出與下列各角終邊相同的角的集合寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720間的角寫出來：間的角寫出來： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720間的角是間的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720間的角是間的角是 036021=21； 13

11、6021=339； 236021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720間的角是間的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314課堂練習 1銳角是第幾象限的角？第一象限的角是銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于否都是銳角？小于90的角是銳角嗎？區(qū)間的角是銳角嗎？區(qū)間(0,90)內(nèi)的角是銳角嗎？內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于是銳角；小于90的角可能是零角或負角，故的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；區(qū)間它不

12、一定是銳角；區(qū)間(0,90)內(nèi)的角是銳內(nèi)的角是銳角角 2已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？出它們是哪個象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、已知、已知,角的終邊相同，那么角的終邊相同，那么的終邊的終邊在（在（ ） A x軸的非負半軸上軸的非負半軸上 B y軸的非負半軸上軸的非負半軸上 C x軸的非正半

13、軸上軸的非正半軸上 D y軸的非正半軸上軸的非正半軸上A4、終邊與坐標軸重合的角的集合是（、終邊與坐標軸重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C5 、已知角、已知角2的終邊在的終邊在x軸的上方，那么軸的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、若、若是第四象限角，則是第四象限角，則180是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C7、在直角坐標系中，若、在直角坐標系中，若與與終邊互相垂直，終邊互相垂直，那么那么與與之間的關系是（之間的關系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD8、