第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 §1 隱函數(shù)教學(xué)目的與要求：(1) 掌握隱函數(shù)存在的條件，理解隱函數(shù)定理的證明要點(diǎn)；(2) 掌握隱函數(shù)定理的證明(3) 學(xué)會(huì)隱函數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：隱函數(shù)定理；學(xué)會(huì)隱函數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)組存在定理難點(diǎn)：隱函數(shù)定理的嚴(yán)格證明；隱函數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)內(nèi)容：一、 隱函數(shù)概念 隱函數(shù)是表達(dá)函數(shù)的又一種方法.顯函數(shù)：表達(dá)式大多是自變量的某個(gè)算式，例如，等等.但還有另外一種形式的函數(shù)，其自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)法則是由一個(gè)方程式所確定,我們把這種函數(shù)稱為隱函數(shù).定義：設(shè)，函數(shù). 對(duì)于方程 ， （1）若存在集合，使得對(duì)于任何，恒有唯一確定的，它與一起滿足方程（1）.

2、 則稱由方程（1）確定一個(gè)定義在上，值域含于的隱函數(shù). 若把它記為， ，則成立恒等式 ，.注1 顯函數(shù)與隱函數(shù)沒(méi)有明顯的界限. 如是顯函數(shù)， 但是隱函數(shù).例1 方程能確定一個(gè)定義在上的隱函數(shù). 如果從方程中把解出，這個(gè)函數(shù)也可表示為顯函數(shù)形式：.例2 圓方程能確定一個(gè)定義在上，函數(shù)值不小于的函數(shù)；又能確定另一個(gè)定義在上，函數(shù)值不大于的函數(shù).注2 確定隱函數(shù)必須三個(gè)基本條件：確定它的方程，變量的取值范圍，變量的取值范圍.問(wèn)：是否所有的方程都可以確定隱函數(shù)？是否隱函數(shù)都可以有顯函數(shù)形式？例3 方程 ，當(dāng)時(shí)，不能確定任何函數(shù)，使得，只有當(dāng)時(shí)，才能確定隱函數(shù).例4 方程能確定定義在上的函數(shù)，使得. 但

3、這個(gè)函數(shù)卻無(wú)法用的算式來(lái)表達(dá).注3 一個(gè)方程可能確定隱函數(shù)，如例1、2、4，也可能不確定隱函數(shù)，如例3；一個(gè)方程可能確定一個(gè)隱函數(shù)，如例1、4，也可能確定二個(gè)（或多個(gè)）隱函數(shù)，如例2；一個(gè)方程確定的隱函數(shù)可能是初等函數(shù)，如例1、2，也可能不是初等函數(shù)，例4說(shuō)明隱函數(shù)包含非初等函數(shù)，從而給出了表示函數(shù)的新方法，擴(kuò)大了研究函數(shù)的范圍.問(wèn)：在什么條件下，方程能確定出隱函數(shù)？唯一？隱函數(shù)有什么解析性質(zhì)？換言之，對(duì)于隱函數(shù)，主要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題: (1)隱函數(shù)的存在性； (2)隱函數(shù)的解析性質(zhì).二、 隱函數(shù)存在性條件的分析（i）由于滿足方程的點(diǎn)集可看作曲面與坐標(biāo)平面的交集, 所以方程(1)能確定一個(gè)函數(shù),

4、至少要求該交集非空, 即存在點(diǎn), 使.(ii) 方程（1）能在點(diǎn)附近確定一個(gè)連續(xù)函數(shù)，表現(xiàn)為上述交集是一條通過(guò)點(diǎn)的連續(xù)曲線段，但有交點(diǎn)， 未必有交線. 例如, 曲面與平面有一個(gè)交點(diǎn), 但沒(méi)有一條相交的直線. 對(duì)此看出, 之所以曲面在點(diǎn)與平面相交但沒(méi)有相交的直線, 其主要原因是曲面在點(diǎn)的切平面恰好是平面. 由此, 容易猜想到, 如果曲面在平面上的點(diǎn)相交且曲面在這點(diǎn)的切平面與平面有一定的角度(即切平面不與平面平行), 從而曲面在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)穿過(guò)平面, 于是有交線或. 根據(jù)全微分的集合意義,要是曲面的切平面不與平面平行, 只需 . (2)(iii) 要求隱函數(shù)（或）在點(diǎn)可微, 則在為可微的假設(shè)下,

5、通過(guò)對(duì)(1)在點(diǎn)處對(duì)求導(dǎo), 依鏈?zhǔn)椒▌t, 有,當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), , 由此, 條件(2)不僅對(duì)于隱函數(shù)的存在性, 對(duì)于隱函數(shù)的求導(dǎo)同樣重要.三、 隱函數(shù)定理定理18.1 ( 隱函數(shù)存在唯一性定理 ) 若滿足下列條件:(i) 函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù) ; (ii) ( 通常稱這一條件為初始條件 ); (iii) 在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù); (iv) .則在點(diǎn)的某鄰域()內(nèi) , 方程唯一地確定一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的隱函數(shù), 使得 ,時(shí)()且.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù) .證明: 先證隱函數(shù)的存在性與唯一性.由條件(iv)，不妨設(shè)（若， 則可討論）. 由條件（ii）在內(nèi)連續(xù)， 由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性， 存在點(diǎn)

6、的某一閉的方鄰域， 使得在其上每一點(diǎn)處都有. 因而，對(duì)每個(gè)固定的, 作為的一元函數(shù), 必定在上嚴(yán)格增且連續(xù). 由初始條件(ii)可知, .再由的連續(xù)性條件(i), 又可知道與在上也是連續(xù)的. 由此由保號(hào)性存在, 當(dāng)時(shí)恒有, , 在矩形的邊上取負(fù)值, 在邊上取正值. 因此對(duì)內(nèi)每個(gè)固定值, 同樣有, . 根據(jù)前已指出的在上嚴(yán)格增且連續(xù), 由介值性保證存在唯一的,使得. 由在中的任意性,這就確定了一個(gè)隱函數(shù), 它的定義域?yàn)? 值域含于. 若記,則滿足結(jié)論的各項(xiàng)要求. 若還存在另一個(gè)隱函數(shù), 使得, 又, 由對(duì)固定的關(guān)于嚴(yán)格遞增知，.再證明的連續(xù)性.對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn), 則由上述結(jié)論可知. 任給, 且設(shè),

7、 使得,從而 , . 由保號(hào)性存在的某鄰域, 使得當(dāng)屬于該鄰域時(shí)同樣有, 因此存在惟一的, 使得,. 由于的惟一性, 推知. 這就證得: 當(dāng)時(shí), 即在連續(xù). 由的任意性, 證得在內(nèi)處處連續(xù).注4 定理中, 條件(i)和（iii）表明曲面是光滑的; 條件（ii）表明曲面和坐標(biāo)平面有一個(gè)交點(diǎn);條件(iv)表明在點(diǎn)的附近對(duì)固定的, 沿的正向,曲面是嚴(yán)格單調(diào)的. 定理的結(jié)論表明在點(diǎn)的附近曲面和坐標(biāo)平面有惟一一條連續(xù)曲線.注5 定理的條件是充分的. 例如方程在不滿足(iv), 但仍能確定惟一的連續(xù)函數(shù). 但不滿足(iv), 往往使結(jié)論不成立. 例如: , 由于,與連續(xù)故滿足(i) （ii）（iii）,

8、但因, 致使在的無(wú)論怎樣小的鄰域內(nèi)都不可能存在惟一隱函數(shù).注6 定理證明過(guò)程中主要利用了連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性,單調(diào)性及介值性定理等.由證明過(guò)程可知,條件（iii）(iv)只是用來(lái)保證存在的某一鄰域, 在此鄰域內(nèi)關(guān)于變量是嚴(yán)格單調(diào)的, 因此如果只要定理的結(jié)論成立,條件可減弱為在的某一鄰域內(nèi)關(guān)于變量是嚴(yán)格單調(diào)的.注7 若把條件（iii）(iv)改為: 連續(xù), 且, 則結(jié)論是存在惟一的連續(xù)函數(shù).注8 定理的結(jié)論是局部性的,即在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)由方程可以唯一確定一個(gè)連續(xù)函數(shù). 定理的局部性還反映在下面一點(diǎn): 如果上述鄰域不足夠小的話,隱函數(shù)定理可能不成立.問(wèn): 由方程確定的隱函數(shù)在什么條件下是可微的呢?定

9、理18.2 設(shè)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理的條件 , 又設(shè)在內(nèi)存在且連續(xù), 則隱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且 . 證 設(shè)與都屬于,它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與都含于內(nèi). 由于, 因此由、的連續(xù)性以及二元函數(shù)中值定理,有其中. 因而注意到上式右端是連續(xù)函數(shù)、與的復(fù)合函數(shù), 而且在內(nèi)不等于零, 故有且在內(nèi)連續(xù).注9 定理18.2告訴我們隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用公式來(lái)求. 通過(guò)隱函數(shù)存在條件的分析我們還可以知道隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的另一種求法:若已知方程確實(shí)存在連續(xù)可微的隱函數(shù), 則可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)方程求導(dǎo): (*)得到.還可以用一階微分形式不變性來(lái)求: 對(duì)微分:.問(wèn): 隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)該如何求?對(duì)于隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以用

10、上面同樣的方法來(lái)求, 只是必須注意即及各階導(dǎo)數(shù)是復(fù)合函數(shù). 對(duì)(*)求導(dǎo)可解出隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).更高階的類似.例1 驗(yàn)證方程在點(diǎn)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理的條件 , 并求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解 因?yàn)?i) 在全平面上連續(xù); (ii) ;(iii), 在全平面上連續(xù) ;(iv) , 所以在附近可以確定隱函數(shù),且其導(dǎo)數(shù):.例2 . 其中為由方程所確定的隱函數(shù) . 求. 分析: 要求, 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得, 而對(duì)于是由方程所確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù), 因此對(duì)方程直接關(guān)于求導(dǎo): 即將上式代入即可. 例3 ( 反函數(shù)存在性及其導(dǎo)數(shù) ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 且, . 用隱函數(shù)定理驗(yàn)證存在反函數(shù) , 并求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 考察方程,由于(i) 連續(xù); (ii) ;(iii), 連續(xù) ;(iv) , 所以在附近可以確定隱函數(shù),且其導(dǎo)數(shù):.四 元隱函數(shù)的存在性定理 定理18.3 若(i) 函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù) ; (ii) ; (iii) 偏導(dǎo)數(shù),在內(nèi)存在且連續(xù); (iv) .則在點(diǎn)的某鄰域()內(nèi) , 方程惟一地確定一個(gè)定義在的某鄰域()內(nèi)的元連續(xù)函數(shù)(隱函數(shù)), 使得