求解雙曲型方程的隱式迎風(fēng)格式的構(gòu)造

1、第26卷第5期2004年9月南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)JOURNALOFNANJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGYSep.2004求解雙曲型方程的隱式迎風(fēng)格式的構(gòu)造汪銀樂(南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京210009)摘要:針對(duì)一維單個(gè)守恒律的初值問題研究了NND格式,在已有的數(shù)值方法的基礎(chǔ)上,式,并證明了它是NND格式。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,關(guān)鍵詞:NND格式;隱式迎風(fēng)格式;激波中圖分類號(hào):O175文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):)-3223(x),(x)t,x(t),(t)1:+c=0tx有差分方程n+1=ct/x式(3)就是差分方程(1)的修正方程。(3)2隱式NND格式的構(gòu)造顯式差分格式用一個(gè)方

2、程解一個(gè)未知數(shù),求解簡單,故常使用。但是每個(gè)方程未知數(shù)的誤差將由前面時(shí)層幾個(gè)已知數(shù)的誤差疊加得來,疊加的結(jié)果可能使誤差擴(kuò)大而不穩(wěn)定;或是誤差抵消的不夠快而只是條件穩(wěn)定,使時(shí)間步長受到限制,計(jì)算費(fèi)時(shí)。隱式差分格式每個(gè)方程有幾個(gè)未知數(shù),前面時(shí)層已知數(shù)的誤差將分?jǐn)偨o幾個(gè)未知數(shù),使每個(gè)未知數(shù)的誤差有可能減小而較易穩(wěn)定。下面給出了一種隱式、迎風(fēng)的差分格式,并證明了它是NND格式?？紤]如下一維標(biāo)量方程(4)+=0t>0-<x<+tx這里f是u的函數(shù),且f=aua=u其中a為其特征值,顯然它可以寫為:+-+a=a+aa=(a+|a|)2a-=(a-|a|)2引入:+-f=auf=au+-于

3、是:f=f+fnt將n+1uj+cnnx=0(1)、nuj-1在(n,j)點(diǎn)按泰勒級(jí)數(shù)展開,并代入(1)式,則有:2ut+cux=-u+u-uttt-2tt2xx62uxxx+6式對(duì)t求導(dǎo),再減去(2)式對(duì)x的導(dǎo)數(shù)乘c,則有:utt=cuxx+t2(2)為了消除(2)式中對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的高階項(xiàng),將(2)+o(t)+222x23-2+o(x)類似方法可得:uttt=-cuxxx+o(t,x)uttx=cuxxx+o(t,x)utxx=-cuxxx+o(t,x)2以上各式中的下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量。將utt、uttt、uttx代入(2),有ut+cux=2(1-)uxx-622(2-3+1)uxx

4、x+收稿日期:2003-12-22作者簡介:汪銀樂(1968-),女,陜西人,講師,碩士,研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解法。第5期汪銀樂:求解雙曲型方程的隱式迎風(fēng)格式的構(gòu)造31這樣(4)可表達(dá)為+-+=0txx在文獻(xiàn)2中,張涵信教授構(gòu)造了NND格式,NND格式是基于這樣的思想:保證差分方程的修正v4=-3x(a-a+14a+-14a-)24分析:(1)在連續(xù)點(diǎn)或激波上游,由于=1/2,容易驗(yàn)證:v2=0v3>0v4<0,即說明格式不僅具有二階精度,格式穩(wěn)定,而且保證無波動(dòng)。(2)在激波下游,由于=1/2,有v2=0v3<0v4<0,即說明格式也穩(wěn)定、無波動(dòng)且具有二階精度。(

5、),v2>0,即格式NND格式,且是。方程右端的三階項(xiàng)系數(shù)在激波前為正,激波后為負(fù)。根據(jù)這一原理,構(gòu)造如下差分格式:+xn+1=jx(f+)j-j-2n+1+(+)jn(f)j-(f+)n+1x-n+1=jx(f-)j+n+1j+(-)jn(f)-j+-(f-)n+1其中fj-3數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.1Burger方程的初值問題根據(jù)文獻(xiàn)(f±)j󰂚/(f±)j󰂚<3223±=20other上述差分方程的修正方程為:+-234+=v2+v3+v4+txx5x25x35x4o(x4)x(2a+-2a-+a-a+)22+-v3=-x(a

6、-6a-6a)6v2=-(2)+u=0xRt>0tx0x>圖1NND,本文的隱式、迎風(fēng)NNDu(x,0)=1x0格式的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算采用了60個(gè)空間網(wǎng)格點(diǎn)。從圖1中可以看出,隱式、迎風(fēng)NND格式是無波動(dòng)的,且具有較高的激波分辨率。圖1一階線性波動(dòng)方程的解Fig.1Solutionoffirstorderlinearwaveequation3.2激波管問題uLx<0+=0u(x,0)=txuRx>0其中:Tu=(,m,e),u,p,e分別為氣體的密度、速度、壓力及總F(u)=m,p+,(e+p)pT32南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)第26卷能量。p=(r-1)e-(2r-1)u+ar=

7、1.42U1r-122F=2r+2(r-1)u2+(u+a)2(r-1)u+Jacobian矩陣A=22+2(r-1)u-aA(U)=(r-3)22(3-r)u(u-a)2F=2r32+22(r-1)當(dāng)u>a時(shí)-(r-1)u3-3(r-1)2ruF矩陣A的特征值是:1=u,2=u+a,3=u-a式中:a=-)(3-r)2rrm32-22易知:-F=AU+F+-F對(duì)應(yīng)A,F值對(duì)應(yīng)A的負(fù)特征值。根據(jù)文獻(xiàn)3知,當(dāng)0ua時(shí)F-=0TTUL=(1,0,2.5)UR=(0.125,0,0.25)圖2給出了NND格式、本文的隱式迎風(fēng)NND格式的計(jì)算結(jié)果。圖2激波管問題的解Fig.2Solutionof

8、shocktubeproblem參考文獻(xiàn):1郭智權(quán).航天飛機(jī)無粘繞流流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算A.第五界全國計(jì)算流2張涵信.無波動(dòng)、無自由參數(shù)的耗散的差分格式J.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào),1988,(6):144-165.3馬鐵猶.計(jì)算流體力學(xué)M.北京:北京航空學(xué)院出版社,1986.體力學(xué)方法會(huì)議論文集C.北京:科學(xué)出版社,1992,167-170.AkindofimplicitandupwindschemeforsolvinghyperbolicconservationlawsWANGYin2yue(CollegeofSciences,NanjingUniversityofTechnology,Nanjing210009,China)Abstract:NNDschemeswerestudiedforinitialvaleproblemofascalarconservationlaw.Onthebasisofstudyofnu2mericalmethodsanewkindofimplic