知識點三復(fù)數(shù)考點精講

1、知識點三 復(fù)數(shù)【知識回顧】1、 復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位i（1） 它的平方等于，即；（2） 實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘法運算仍然成立，即滿足交換律與結(jié)合律（3） i的乘方：.2. 復(fù)數(shù)的定義形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，單個復(fù)數(shù)常常用字母z表示把復(fù)數(shù)z表示成時，記作，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式分別叫做復(fù)數(shù)的實部與虛部，記作注意復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)3. 復(fù)數(shù)相等如果兩個復(fù)數(shù)和的實部和虛部分別相等，即，那么這兩個復(fù)數(shù)相等，記作一般的，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小4. 共軛復(fù)數(shù)當兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，也稱這兩個復(fù)數(shù)互相共軛復(fù)數(shù)z的共

2、軛復(fù)數(shù)用，也就是當時，2、 復(fù)數(shù)的分類 正、負整數(shù)有理數(shù) 零（） 實數(shù)R：（） 分數(shù)復(fù)數(shù)C 無理數(shù) 純虛數(shù)（） 虛數(shù)（） 非純虛數(shù)（）是實數(shù)是純虛數(shù)3、 復(fù)平面及復(fù)數(shù)的坐標表示1. 復(fù)平面在直角坐標系里，點z的橫坐標是，縱坐標是，復(fù)數(shù)可用點來表示，這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸為實軸，y軸出去原點的部分稱為虛軸2. 復(fù)數(shù)的坐標表示一個復(fù)數(shù)對應(yīng)了一個有序?qū)崝?shù)對；反之一個有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)了一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的我們常把復(fù)數(shù)看作點在復(fù)平面上所處的象限的位置是唯一確定的（第一、二、三、四象限或x軸、y軸。）3. 復(fù)數(shù)的向量表示在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與點是一一對

3、應(yīng)的，而點與向量（O為原點）又成一一對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)與向量也是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)可由向量表示，并且規(guī)定相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)我們也把復(fù)數(shù)看作向量4. 復(fù)數(shù)的模在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點，點Z到原點的距離叫做復(fù)數(shù)z的模，記作由定義知，特別地，如果，則就是一個實數(shù)，它的模就等于，故模是實數(shù)中絕對值概念在復(fù)數(shù)中的推廣4、 復(fù)數(shù)的運算1. 加法（1） 法則復(fù)數(shù)的加法按照一下規(guī)定的法則進行：設(shè)，是任意兩個復(fù)數(shù)，則它們的和是（2） 性質(zhì) 交換律： 結(jié)合律：（3） 幾何意義設(shè)對應(yīng)向量，對應(yīng)向量，則對應(yīng)的向量為因此復(fù)數(shù)的和可以在復(fù)平面上用平行四邊形法則解釋2. 減法（1） 法則復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算設(shè)，是任意兩

4、個復(fù)數(shù)，則它們的差是（2） 幾何意義設(shè)對應(yīng)向量，對應(yīng)向量，則對應(yīng)的向量為表示、兩點之間的距離，也等于向量的模3. 乘法（1） 法則復(fù)數(shù)的乘法規(guī)定為：（2） 性質(zhì) 交換律： 結(jié)合律： 分配律：4. 乘方（1） 法則復(fù)數(shù)的乘方運算是指幾個相同復(fù)數(shù)相乘（2） 性質(zhì)5. 除法復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，即復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商是指滿足的復(fù)數(shù)，記作一般通過“分母實數(shù)化”進行除法運算，即6. 復(fù)數(shù)運算的常用結(jié)論（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，（6）（7） ，5、 復(fù)數(shù)的平方根與立方根1. 平方根如果復(fù)數(shù)和滿足，則稱是的一個平方根，也是的平方根-1的平方根是2. 立方根如果復(fù)數(shù)、滿足，則稱是的立方根（1） 1的立方根：，（2） 的立方根：6、 復(fù)數(shù)方程1. 常見圖形的復(fù)數(shù)方程（1） 圓：（其中，為常數(shù)），表示以對應(yīng)的點為圓心，為半徑的圓（2） 線段的中垂線：（其中分別對應(yīng)點）（3） 橢圓：（其中且），表示以對應(yīng)的點為焦點，長軸長為的橢圓（4） 雙曲線：（其中且），表示以對應(yīng)的點為焦點，實軸長為的雙曲線2. 復(fù)系數(shù)方程問題常見類型（1） 已知方程的實根，求方程的復(fù)系數(shù)解法：設(shè)，將方程的實根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求解得到（2） 求解復(fù)系數(shù)方程的根解法：設(shè)方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等