人教A版高中數(shù)學選修二項式定理教案

1、凡事豫(預)則立，不豫(預)則廢高中數(shù)學二項式定理教學設計【教學設計思想】教學設計思想現(xiàn)代教學的核心是“以學生的發(fā)展為本”，注重學生的學習狀態(tài)和情感體驗，注重教學過程中學生主體地位的體現(xiàn)和主體作用的發(fā)揮，強調尊重學生人格和個性，鼓勵發(fā)現(xiàn)、探究與質疑，鼓勵培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.二項式定理這部分內容比較枯燥， 如何發(fā)揮學生的主體作用， 使學生自己探究學習知識、 建構知識網絡，是本節(jié)課教學設計的核心.我采用啟發(fā)探究式教學方式：一是從實際應用問題引入課題。這里體現(xiàn)了新課程的數(shù)學應用意識的理念，使學生體會到數(shù)學不僅是為了學數(shù)學，還可以學以致用，用來解決現(xiàn)實生活的問題.二是從特殊到一般。面對一般問

2、題，學生會想到從特殊情況入手， 讓學生自己探究n=1, 2, 3, 4,時二項展開式的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)二項式定理的基本內容.三是采用小組合作、 探究的方式。小組內的同學共同歸納二項式定理的內容，由特殊推廣到一般.四是教師的啟發(fā)與學生的探究恰當結合。本節(jié)課的難點在于確定二項展開式中，每一項的二項式系數(shù)，對于平行班的學生，真正能獨立歸納出來，有一定的困難，教師在此時的引 導啟發(fā)，就顯得尤為重要.本節(jié)課，學生通過對 n=1, 2, 3, 4,時二項展開式的觀察，歸納、猜想到 n為任意 正整數(shù)時的二項式定理內容，并真正理解二項式系數(shù)的意義。這樣設計的目的是為了讓學生參與知識的發(fā)生、發(fā)展、深化的過程，學習

3、體會應用“觀察、歸納、猜想、證明”的科學思 維方法的過程，提高數(shù)學修養(yǎng).本節(jié)課對二項式定理特點及規(guī)律的總結和歸納，有利于學生對二項式定理的識記，同時還可以使學生體驗數(shù)學公式的對稱美、和諧美.學生情況分析學生為平行班學生， 有一定的數(shù)學基礎. 學生理解組合及組合數(shù)的概念，掌握了多項式乘法的運算法則，有一定的歸納猜想能力，能順利完成課時計劃內容.學生有過探究、交流的課堂教學的嘗試.教學流程框圖教學診斷分析在本節(jié)內容的學習中，學生容易了解的內容是二項展開式的項數(shù)、指數(shù)和系數(shù)的規(guī)律，即項數(shù)：n 1項；指數(shù)：字母a, b的指數(shù)和為n ,字母a的指數(shù)由n遞減至0,同時，字 母b的指數(shù)由0遞增至n ；二項式

4、系數(shù)：下標為 n ,上標由0遞增至n ；容易產生誤解的內容是：通項 Tr 1 C；an rbr指的是第r+1項；通項的二項式系數(shù)是_ r . .Cn ,與該項的系數(shù)是不同的概念(在第二課時會進行探討)。【教學方式及預期效果分析】本節(jié)課采用啟發(fā)探究式教學.通過學生小組合作交流、 師生對話交流等方式， 引導學生自主探究，合作交流.1 .課前準備工作為便于管理和探究，將學生隨機分組，每組3-4人左右.2 .課堂探究過程探究內容為二項式定理的內涵，包括項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)等方面的規(guī)律內容.采用小組內合作探究方式，組間交流、置疑、點評.組內探究要求有分工，有合作，有交流.并推選交流發(fā)言代表.在探究過程中，學

5、生和組內其他同學進行探討和辯論，通過不同觀點的交鋒來補充、修正或加深自己對當前問題的理解，從而完善自己的研究成果.3 .課堂交流過程(1)小組匯報小組內推選匯報交流發(fā)言代表，其他同學自由補充.(2)組間置疑小組匯報后，對不同意見或不清楚的地方，提出置疑.(3)師生點評對匯報展示與置疑的同學進行點評，及時鼓勵、表揚，保持學生學習熱情，通過交流， 學習他人的研究成果，充實自己.(4)教師引導對部分內容，如二項式系數(shù)的確定，教師適時，適度引導.4.預期效果分析：通過本節(jié)課的學習，在知識面上，期望學生能夠理解二項式定理及 其推導方法，識記二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用；在思想和能力面

6、上，期望通過教師指導下的探究活動，使學生經歷數(shù)學思維過程，熟悉理解“觀察一歸納一 猜想一證明”的思維方法，培養(yǎng)合作的意識，獲得學習和成功的體驗；通過對二項式定理內 容的研究，使學生體驗特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般到特殊指導實踐的認識事物過程，通過對二項展開式結構特點的觀察，使學生體驗數(shù)學公式的對稱美、和諧美.【教學目標與教學內容】本節(jié)課時高中數(shù)學第二冊(下 A 10. 4二項式定理第一節(jié)課.本節(jié)課的學生起點：學生已經學習了組合的基本知識，初中學習了多項式乘法.本節(jié)課是在組合和多項式乘法的基礎上，進一步研究學習二項式定理的內容.這一內容我共安排兩課時，這是第一課時.1 .教材分析：二項式定理是初中學

7、習的多項式乘法的繼續(xù)，上所研究的是一種特殊的多項式一一二項式的乘方的展開式.這一小節(jié)與很多內容都有著密切的聯(lián)系，特別是它在本章的學習中起著乘上啟下的作用.學習本小節(jié)的意義在于：二項式定理與概率理論中的三大概率分布之一 的二項分布有其內在聯(lián)系，本小節(jié)是學習概率知識及概率統(tǒng)計的準備知識；二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可以得到關于組合數(shù)的一些恒等式，從而深化對組合數(shù)的認識；基于二項展開式與多項式乘法的聯(lián)系，本小節(jié)的學習可對初中學習的多項式的變形起到復習、深化的作用；二項式定理是解決某些整除性、近似計算等問題的一種方法.教材的安排：教材中是通過 n取一些特殊值(1,2, 3, 4)的基

8、礎上，觀察歸納出二項 式定理，強調要分析清楚式子展開并進行同類項合并后有哪些項及各項系數(shù)的一些規(guī)律，教材采用的是不完全歸納法， 沒有進行嚴謹?shù)淖C明. 教材隨后安排了四道例題， 是對二項式定 理的簡單應用.重點：二項式定理的內容及應用難點：二項式定理的推導過程及內涵2 .內容分析：(a b)n Cnan Cnan1b Cnan 2b2C；an rbrC：bn (n N*)對二項式定理的理解和掌握，要從項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項等方面的特征去熟悉它的展 開式.3 .教學目標：知識技能：理解二項式定理及其推導方法，識記二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用.過程方法：通過教師指導下的探究活動，

9、經歷數(shù)學思維過程，熟悉理解“觀察一歸納一 猜想一證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學習和成功的體驗.情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理內容的研究，體驗特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般到特殊指導實踐的認識事物過程；通過對二項展開式結構特點的觀察，體驗數(shù)學公式的對稱美、和諧美.4 .教學過程一、設置情境，引入課題問題 某人投資10萬元，有兩種獲利的可能供選擇. 一種是年利率12%,按單利計算， 10年后收回本金和利息.另一種年利率 10%,按每年復利一次計算，10年后收回本金和利 息.試問，哪一種投資更有利？分析：本金10萬元，年利率12%,按單利計算，10年后的本利和是10X ( 1 + 12%X

10、 10) = 22 (萬元)本金10萬元，年利率10%,按每年復利一次計算，10年后的本利和是_1010 (1 10%)那么如何計算(1 10%)10的值呢？能否在不借助計算器的情況下，快速、準確地求出其近似值呢？這就得研究形如(a b)n的展開式.二、探索研究二項式定理的內容問題：(a b)n的展開式有什么特點？你能將它展開嗎？試一試.學生分組探究學生可能的探究方法 1:由(a b)1 a b C10a C1b(a b)2 a2 2ab b2 C2a2 C2ab C2b2(a b)3a33a2b 3ab2b3 C；a3C；a2bC；ab2 C；b34432, 23 4 八0 4c1 32 2

11、,2 八3 ,3 八4一4(a b)a4ab6ab4ab bC4aC4a b C4a bC4abC4 b學生可能通過具體的例子來展開說明，如：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3或(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4學生歸納過程可能如下：以(a b)4為例的展開式的分析過程：(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b) a4 4a 3b 6a2b2 4ab3 b4容易看到，等號右邊的積的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項都是4次式，即展開式應有下面形式的各項：a4,a3b,a2b2,ab3,b4.學生可能歸納出來：(1)每一項中字母

12、a , b的指數(shù)之間的關系(2)項的個數(shù)有n 1 項在上面4個括號中：每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C：；恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4 ；恰有2個取b的情況下有c2種，所以a2b2的系數(shù)是C2 ;恰有3個取b的情況下有c4種，所以ab3的系數(shù)是c4 ;4 一 - 444個都取b的情況下有C4種，所以b的系數(shù)是C4；因此(a b)4 C0a4 C4a3b C4a2b2 c3ab3 c4b4.歸納、猜想(a b)n ?(a b)n C：an C；an1b C：an 2b2C；an rbrC：bn (n N*)教師根據(jù)情況進行指導和引導，尤其是各項二項式

13、系數(shù)的確定，教師要從各項中a , b指數(shù)的含義如a4,a3b來引導，并要求學生說明怎么得到這些項？教師可以通過電腦演示各 形式項的形成過程，將學生的思維過程展示.學生可能的探究方法 2：(a b)n (a b)(a b)(a b) (a b),共n個(a b),依據(jù)多項式乘法，直接寫 出各項.學生成果展示，可通過具體實例：通過投影、板書或口述 問題：希望學生得到的規(guī)律(1) 項數(shù)：n 1項；(2) 指數(shù)：字母a , b的指數(shù)和為n ,字母a的指數(shù)由n遞減至0,同時，字母b的指數(shù)由0遞增至n ；(3)二項式系數(shù)是 C0,Cn，C2, ,C； ,Cn(4) 通項：Tr 1 C：an rbr板書(1

14、), (2)規(guī)律(3)得到后，板書(a b)n_an _an 1b_an rbr_bn規(guī)律(4)得到后，補全二項式定理板書教師引導中，可能用到的引導問題：(1) 將(a b)n展開，有多少項？(2) 每一項中，字母a, b的指數(shù)有什么特點？(3) 字母a , b的指數(shù)的含義是什么？是怎樣得到的？(4) 如何確定an rbr的系數(shù)？教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調：(1) 項數(shù)：n 1項；(2) 指數(shù)：字母a , b的指數(shù)和為n ,字母a的指數(shù)由n遞減至0,同時，字母b的指數(shù)由0遞增至n；(3) 二項式系數(shù)：下標為 n ,上標由0遞增至n ；(4) 通項：Tr 1 C；an rbr指

15、的是第r+1項，該項的二項式系數(shù)是 Cnr(5) 公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a b)n的二項展開式，上面的定理是用不完全歸納法得到的，將來可以用數(shù)學歸納法進行嚴格證明.、二項式定理的應用1 .解決本節(jié)課開始提出的問題.解：10(1 10%)10 10(1 0.1)1010(1 C10 0.1 C20 0.12)24.5由此可見，按年利率10%每年復利一次計算的要比年利率12%單利計算更有利，10年后多得利息2.5萬兀.備選例題一_42 .展開(1 2x)40 401 312 223 134 04解：(1 2x) C41 (2x)C41 (2x) C41 (2x)C41

16、(2x)C41 (2x)2341 8x 24 x 32x16x思考1.第三項的系數(shù)是多少？思考2.第三項的二項式系數(shù)是多少？你能得到什么結論？板書：.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同概念.思考3.若本例只求第三項的二項式系數(shù)，你還可以怎么處理？哪種方法更好？ 四、歸納小結1 .學生的學習體會與感悟；2 .教師強調：(1)主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法(2)從特殊情況入手，“觀察一一歸納一一猜想一一證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事 物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣.(3)二項式定理每一項中字母 a, b的指數(shù)和為n , a的指數(shù)從n遞減至0同時b的 指數(shù)由

17、0遞增至n,體現(xiàn)數(shù)學的對稱美、 和諧美.二項式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學們 在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn).五、作業(yè) P121習題10.4 2, 4, 5【自評反饋與反思】1 .探究與合作是本節(jié)課的亮點本節(jié)課采用探究式教學方式， 注重學生的學習狀態(tài)和情感體驗，注重教學過程中學生主體地位的體現(xiàn)和主體作用的發(fā)揮，尊重學生人格和個性，鼓勵發(fā)現(xiàn)、探究與質疑，符合“以 學生的發(fā)展為本”新課程理念.本課采用小組合作、探究的方式，學生從特殊情況入手，探究 n=1, 2, 3, 4,時二 項展開式的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)二項式定理的基本內容，再推廣到一般.(強調證明，但不要求證明)這樣，本課做到了以學生為主體，學生

18、通過自主與合作的探究學習，經歷從特殊到一般的學習過程.在接受、掌握知識的同時，學生的學習能力與思維方法得到發(fā)展，科學思維修 養(yǎng)獲得了提高，合作的意識得到加強.凡事豫（預）則立，不豫（預）則廢2 .德育滲透恰當，適時適度通過對二項式定理內容的研究，學生體驗了從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊的指導實踐的認識事物過程. 通過對二項展開式結構特點的觀察，學生體驗到數(shù)學公式的對稱美、和諧美.本課有意識的培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.新課程理念中強調“培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意 識”，本節(jié)課正是由實際問題的引入為開始，又以問題的最終解決為結局，數(shù)學的應用貫穿 整個課堂，突出了 “應用意識”的培養(yǎng)，符合新課程理念.突出數(shù)學思維方法與學習方法的指導.數(shù)學有兩類猜想，一是歸納（不完全歸納），-是類比.本節(jié)課充分體現(xiàn)數(shù)學的“觀察一一歸納一一猜想一一證明”的思維方法：首先由學 生探究n=1, 2, 3,時二項展開式