用二分法求方程的近似解47461

1、復(fù)習(xí)思考復(fù)習(xí)思考：1. 零點的定義零點的定義2.零點的存在性定理零點的存在性定理3.求函數(shù)零點的方法求函數(shù)零點的方法 對于函數(shù)對于函數(shù) ，我們把使，我們把使 的的實實 數(shù)數(shù) 叫作函數(shù)叫作函數(shù) 的零點。的零點。( )yf x( )0f x x( )yf x（幾何法）（幾何法）將它與函數(shù)將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系的圖象聯(lián)系起來起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點 。( )yf x( )0f x （代數(shù)法）求方程（代數(shù)法）求方程 的實數(shù)根；的實數(shù)根； 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)連續(xù)不斷一條曲線不斷一條曲線，并且有，并且有f(

2、a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi)有零點有零點。即存在。即存在c(a,b)c(a,b)，使得使得f(cf(c)=0)=0，這個，這個c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。有有12個球個球,其中有一個比別的球重其中有一個比別的球重,你用天平你用天平稱幾次可以找出這個球稱幾次可以找出這個球?次數(shù)越少越好次數(shù)越少越好 。v第一次第一次,兩端各放兩端各放6個個,低的那端有重球。低的那端有重球。v第二次第二次,兩端各放兩端各放3個個,低的那端有重球。低的那端有重球。v第三次第三次,兩端個放兩端個放1

3、個個,如果平了如果平了,剩下的那剩下的那個就是個就是,否則低的那端那個就是否則低的那端那個就是! 在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長長的線路，如何迅速查出故障所在？的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子，每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有長，大約有200多根電線桿子呢。多根電線桿子呢。 想一想，維修線路的工人師傅要怎樣工作才想一想，維修線路的工人師傅要怎樣工

4、作才能最快把故障可能發(fā)生的范圍縮小到能最快把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100m左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？f(x)=lnx+2x-62 3已知函數(shù)在區(qū)間， 內(nèi)有零點，如何求出這個零點?26f( x)lnxx求函數(shù)的零點例例1：求方程：求方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解(精確度為精確度為0.0 1)。思路：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值。所以所以x=2.53125為函數(shù)為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似內(nèi)的零點近似值，也即方程值，也即方程lnx=2x

5、6的近似解的近似解x12.53。解：函數(shù)解：函數(shù)f(x)lnx+2x6在區(qū)間（在區(qū)間（2,3）內(nèi)有零點。）內(nèi)有零點。用計算器計算得：用計算器計算得：f(2.5)0 x1(2.5,3)f(2.5)0 x1(2.5,2.5625)f(2.53125)0 x1(2.53125,2.5625)f(2.53125)0 x1(2.53125,2.546875) f(2.5)0 x1(2.5,2.625)f(2)0 x1(2,3) f(2.5)0 x1(2.5,2.75)2.53906252.531250.0781250.01f(2.53125)0 x1(2.53125,2.5390625)例例1：求方程：

6、求方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解(精確度為精確度為0.0 1)。二分法原理二分法原理: 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷上連續(xù)不斷且且f(a)f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把，通過不斷地把函數(shù)函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間的零點所在的區(qū)間一分為二一分為二，使，使區(qū)間的區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點兩個端點逐步逼近零點，進而得到，進而得到零點近似值的方法叫做零點近似值的方法叫做二分法二分法。給定精確度，用二分法求函數(shù)零點給定精確度，用二分法求函數(shù)零點x0的步驟：的步驟：v1：確定初始區(qū)間：確定初始區(qū)間a,b，驗證，驗證f(a)f(b)0v2：求區(qū)間：求區(qū)間a,b的中點的中

7、點x1v3：計算：計算：f(x1)判斷：判斷：v(1)如果如果f(x1)=0，則，則x1就是就是f(x)的零點，計算終止的零點，計算終止;v(2)如果如果f(a)f(x1)0，則令，則令a=x1(此時零點此時零點x0(x1,b)中中)v4：判斷是否達到精確度：判斷是否達到精確度：若達到，則得到零點近似值：若達到，則得到零點近似值是是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復(fù)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復(fù)24步驟。步驟。2ba 利用二分法求方程實數(shù)解的過程利用二分法求方程實數(shù)解的過程選定初始區(qū)間選定初始區(qū)間取區(qū)間的中點取區(qū)間的中點中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0 找出新的端點異號區(qū)間找出新的端點異號區(qū)間n n結(jié)束結(jié)

8、束是是否否是是1.1.初始區(qū)間是一個兩端初始區(qū)間是一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間，函數(shù)值符號相反的區(qū)間，初始區(qū)間長度盡量小初始區(qū)間長度盡量小, ,一般通過作圖來控制其一般通過作圖來控制其區(qū)間長度。區(qū)間長度。2.2.新的端點異號區(qū)間，新的端點異號區(qū)間，其中一個端點是原區(qū)其中一個端點是原區(qū)間端點，另一個端點間端點，另一個端點是原區(qū)間的中點。是原區(qū)間的中點。中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0是是是是結(jié)束結(jié)束是是n n n n n n否否3.“n”3.“n”的意思是方程的意思是方程的解滿足要求的精確度。的解滿足要求的精確度。例例2.2.求方程求方程x x2 22x2x1=01=0的一個近似解的一個近似解( (精確到精確到0.10.1）解：設(shè)解：設(shè)f(xf(x) ) x x2 22x2x1 1，先畫出函數(shù)圖象的簡圖，先畫出函數(shù)圖象的簡圖， 因為因為f(2)=-10 f(2)=-10 ，所以方程的一個解，所以方程的一個解x x1 1在（在（2,32,3）內(nèi)）內(nèi)23取2與3的平均數(shù)2.5，因為f(2.5)=0.250所以方程的解x1 （2，2.5）如此繼續(xù)下去，得：f(2.25)0 x1 (2.25,2.5)f(2.375)0 x1 (2.375,2.5)f(2.375)0 x1 (2.375,2.4375)所以此方程滿足要求