矩陣合同變換

1、矩陣的合同變換摘要:矩陣的合同變換是高等代數(shù)矩陣?yán)碚撝?，基本交換。在高等代數(shù) 里，我們僅討論簡單而直接的變換， 而矩陣的合同變換與矩陣相似變換， 二次型 等有著諸多相同性質(zhì)和聯(lián)系。關(guān)鍵詞: 定義 1: 為 A B定義 2:逆矩陣P使得B P FAp，則稱A和B相似A： B定義3:設(shè)A，B都是數(shù)域F上的n階矩陣，如果存在數(shù)域 F上的一個n階可逆矩陣 使得 PT AP B那么就說，在數(shù)域 F上B與A合同。 以上三個定義，都具有自反性、傳逆性、對稱性、定理 1:合同變換與相似變換都是等價變換 證明:僅證合同變換，相似變換完全相似 因為 P 可逆，所以 P 存在一系列初等矩陣的乘積，即 此時 P7 Q

2、mTQnT 1L Q1T 邊為一系列初等矩陣的乘積 若B PtAP QmQi iL QiTAQiL Qm則B由A經(jīng)過一系列初等變換得到。 所以A 從而知合同變換是等價變換。定理 2:合同變換與相似變換，不改變矩陣的秩 證明:由 知，合同變換與相似變換都是等價變換，所以不改變秩 定理 3:相似矩陣有相同特征多項式 證明:共 A: B B P 1AP矩陣 秩 合同 對角化如果矩陣A可以經(jīng)過一系列初等變換變成 B,則積A與B等價，記設(shè)A, B都是數(shù)域F上的n階方陣，如果存在數(shù)域F上的n階段可性。P Q1Q2 L Qm 。P，B，del| I B | det| I 又因為 I 為對稱矩陣 所以 det

3、| I P 1AP |P 1AP |P 1| I A|P|P 1| I A|P| | I A | 注合同不一定有相同特征多項式定理4:如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同特征根，則A與B相似且合同論：設(shè) A，陣， Q,P 使得B 為特征根均為1，2L n，因為A與B實對稱矩陣，所以則在n階正Q 1AQ P 1BP 從而有 Q 1AQ1L1L2nP 1BPPQ1AQP 1 B由 Q 1Q E PP1 E從而有 PQ 1QP 1 PEP 1 PP 1 E從而 (PQ 1) 1 QP 1 又由于 (QP 1)(QP 1)TQP 1(P 1)TQTQP 1 (PT)TQT QQTQQ 1QP 1 為

4、正交矩陣所以A: B且A B 定時 5：兩合同矩陣，陣則不一定有些性質(zhì)證明：A B即PtAP B，若對稱陣，則 At a BT若即 PTAP B，若A為對稱矩陣，則B 為對稱陣，而兩相似矩所以( PT AP )T PT AT P PT APBB 邊為對稱陣注：引理 6：對稱矩陣相似于對角陣相似矩陣對此結(jié)論不具有一般性，它在什么情況下成立呢A 的每一個特征根 有秩 |I A|重數(shù) .證明：任給對稱的 n階矩陣A一個特征根，以其重數(shù)以秩II A|r ，則x1X2r n s n r s I I AIMXn又因?qū)俨煌卣鞲奶卣飨蛄烤€性無關(guān)00 ，線性無關(guān)的解向量個數(shù)為M0n r 個，即 5 個n階對

5、稱陣A有n個線性無關(guān)的特征向量n 階對稱陣可對角化從定理 5，引理 6 中我們發(fā)現(xiàn)了合同在應(yīng)用中的側(cè)重點， 如對二次型應(yīng)用例 求一非線性替換，把二次型f (X1, X2, X3) 2X1X2 6X2X3 2X1X3f (X、，X2，X3)矩陣為二次型11 0330對A相同列與行初等變換，對矩陣0E,施行列初等變換0X1y1X2y2y3X3可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型2力2 2y；f（X1,X2,X3）解法（2）6yf012201202 1此時 f（X1,X2,X3） 2Z1-Z2此時非線性退化替換為6z2X1X2X312120Z1Z2Z3發(fā)現(xiàn)在注1:任意對稱陣合同的對角陣及其變換陣不是唯一確定的 特性

6、1:在合同變換中具有變換和結(jié)果的多樣性 注:在對角陣上元素相等及其它元素元素邊相等情況下又有哪些性質(zhì)呢 例3 .用可逆性變換化二次型0100f(X1,X2,X3)( 2X1 X2 X3)2 (X1 2X2 X3)2 解：f : 6x： 6x1x2 6x1x3對二次型矩陣為(Xi X22X3)26x26X2X36x2標(biāo)準(zhǔn)形fPTA注當(dāng)X12y12y2，則X2X3Bp改變兩行的位置交換后,1馬17181929212192921201212017118271827181而2Via0發(fā)現(xiàn)271817180y1y2y32:在A為對角線上元素相等, 對角陣形式不變。定理任意兩行，證明：設(shè)初等變換的對調(diào)變換

7、矩陣為其余元素也相等，則若有PtAP B，則調(diào)整J,顯然 JTJ E JtAJJAJT A于是有02B PtAP PT EAEP Pt(JtJ)A(JtJ)P (JP)t(JAt)JP (JP)t A(JP)而p與jp相比僅是行的排列順序不同， 因此任意調(diào)整P的行，所得對角陣相同。注以上為特殊條件下成立，如果在一般情況下呢2例4 .求實對稱矩陣A 202求可逆陣P使得PtAP為對角陣02010001c2r20001c3 2 c2r3 2r22011B1PT APP1我們得到 P1T APB1B 對角線上任意兩個元素 的位置得到 E，則只要調(diào)控 B中對左的兩列，可得到 P,使得P1T AF? B

8、，即P的列與B中 元素的對應(yīng)性。定理7：設(shè)pT ApB, A 對稱矩陣，B 為對角矩陣，若要調(diào)換證明：初等調(diào)換矩陣為 J,顯然JT J QB1 JTBJ JTpTApJ (pJ)TA(pJ) p11Ap1P與P相比，只是列的排列順序發(fā)生了改變P的列與B的對角線上元素具有對應(yīng)性 自己寫例定理 8：如果對角線上的元素分別擴大c1,cl, cn2得b2，則不要將p中對應(yīng)的對應(yīng)角線元素擴大 C11 ，即可得到 p2 使得 p2T Ap2B2C1證明：設(shè)初等變換的倍乘變換矩陣為J2（ J2對角線上第J個元素Cl ）形J2C2 ，則1有 B2 J2TBJ2(J2TQ B2 J2TPTPJ2 (PJ2JTA

9、PJ2) P1TAP1B2中第J個元素為B的C2倍而P，素CJ倍。J2)PJ2，且其P，中對角線J個元素是P中對角線元例：已知對稱矩陣求可逆矩陣P,使ptap且對角形式7373對單位陣E進(jìn)行相應(yīng)列初等變換得1B1 1E4則此時有P10P則有PT AP373313得 Rt ar B1而且其本身也有著變換矩陣 性與性質(zhì)的聯(lián)系中帶來許多解題更多思路與方法。綜上所述合同變換不僅與相似變換有著某千絲萬縷的聯(lián)系, 多樣多樣，和結(jié)果的不確性，在對其特主要參考文獻(xiàn)1 北大數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)第二版M2 上海交大線性代數(shù)編寫。線性代數(shù)（第三版）3 張禾瑞高等代數(shù)M4 付立志對稱矩陣對角化相似變換模型5 王曉玲矩陣三

10、種關(guān)系問聯(lián)系6 Brickell EF A Few Results in message Autheuticatio n con gress Numera ntium 1984 43 141154矩陣的合同變換及性質(zhì)定義：設(shè)A, B是數(shù)域F上兩個階矩陣，如果存在一個階可逆矩陣P使得B PtAP成立，那么 B與A合同特性：合同變換具有模型化，程序化的簡便性。引理 1 :在矩陣中，任意對角矩陣與合同 J 對角陣 證明:數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n 1時，定理顯然成立設(shè)n 1時，定理對n 1階對稱陣成立，A上階對稱囝 若A 0則A本身已為對角陣不妨設(shè) A 0(1)討論 A 的對角線上元素不全為 0 的情況，這都可

11、通過三行或列初等變換，使得Es1LE12E11 AE1 E2 L Esa 0 000 A1這里A是n 1階對稱陣,由歸納假設(shè)，存在則有 n 1 階可逆陣a1 ，使Q1T A1Q1c20現(xiàn)取 QcnQ1,PE1E2L EsQ則 PT APQTESTL E2T E1T AE1E2LESQa110a11Q1 A1Q1c20cn可通過對應(yīng)的行列初等變換，使問題歸結(jié)到 i 的01例:已知實對稱矩陣 A001000解由于AtA 且(AP)t(AP)PT A2P ，可見為使 (AP)T (AP) 為對角矩陣， 實質(zhì)上是使0,i 1,2,L ,n ，由 A 0 ，( 2)若 aii 情懷合同矩陣變換的應(yīng)用，主

12、要應(yīng)用于二次型上，而二次型主要對積矩陣，而二次型 f(Xi,X2,L Xn) xTAX化簡，一般都?xì)w結(jié)為對稱實矩陣A的合同變換在特性 1：合同變換具有模型化，程序化的簡便性定理1:若在對稱矩陣A的下六并上一個單位矩陣，作列變換，則對的行與列分別六色 以一系列的對稱，初等變換使其式為對角陣時，單位陣成為A的合同變換矩陣。特性 2:合同變換具有變換和結(jié)果的多樣性，采取不同的合同變換，不僅可以得到不同 的對角矩陣而且還可以得到相同的對角陳00T求可逆矩陣P,使(AP)t(AP)為對角矩陣100 合同于對角矩陣4A2E10001010001000054001000450001La4護4455C3095

13、00故可逆矩陣pta2p(2)當(dāng) P(AP)T(AP)PT a2p00100009若要調(diào)換 B的對角線上任意兩個 P，使得P7AP1 B1，即P的列與定理3:設(shè)PT AP B, A為對稱矩陣,B為對角矩陣， 元素的位置得到 B1，則只要調(diào)換 P中對應(yīng)兩列，可得到 的列與B具有對應(yīng)性。說明：沒妝等變換的對調(diào)多換矩陣為J,顯然jT J，QB, JiBJ, JiPAPJ, （PJJAPJ F1TAP1列的排列順序不同，因此，P的列與B的對角線上元素具P與P1 PJ1相比，有對應(yīng)性。特性3:合同變換具有變換矩陣列但是與對角線元素的對應(yīng)性。定理4:若要將B的對角線上第j個元素擴大C2得到B2，則只要得P

14、中對應(yīng)第j列擴 大c倍，即得到P2，使得P2tAF2 B,證明：設(shè)初等變換的倍乘變換矩陣為J2（ J2的對角線上第j個元素為C,其余為1）顯然 j2 j2p,1ap2qb2 j2bj2 j2papj2 (pj2)apj2B2中的第j個元素B的我們發(fā)現(xiàn) j 合同變換在對角化中有簡易行，凸現(xiàn)其方法(變換矩陣)和結(jié)果(對角陣) 的二、合同變換的本質(zhì)在n階實對稱陣A和B的正負(fù)慣性指標(biāo)都一樣，則Sa(A,B)有表示為A到B的合同變換矩車構(gòu)成的集合。引理1 :假設(shè)實對稱矩陣 A和B的正負(fù)慣性指標(biāo)都一樣，則SC(A1B)為群證明：對于任意的P Sc(AB),巳Sc (A, B)，則存在G S0(AB),C2

15、 S0(A,B)，使 得 P c1c1,P2c1c2因此P1P2(c 1c1),P2c1c2，因此P1P2(c 1c1)(c 1c2)c 1(CiC1c2)，而(CiCc?)1 A(CiC2)(c FydAcic/c?c2(c1)1 Bc1c2c2Ac2c；Ac2B ，貝UciC1 So (A, B)所以P P2 Sc (A, B)亦即有Sc(A,B)，關(guān)于矩陣乘法封閉，易知Sc(A,B)關(guān) 于矩陣乘法滿足結(jié)合律，有單位矩陣，下設(shè)每個元素都有逆遠(yuǎn)，假設(shè)P SC(A,B)存在cc11c S0 (A, B) 所以C1 (A, B)，使得 P c 1C1，所以 p 1 c 1C c 1(cc11c)，因 (cc,1)1 A(cc11c) c1(c11)c1Acc11c c1(Ci1) Bc11c c1Ac B ，