信號與系統(tǒng)奧本海姆課件(周期信號的傅里葉級數(shù)表示)第3章

1、fourier series representation of periodic signals第第3章章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示周期信號的傅里葉級數(shù)表示fourier series representation of periodic signals第第3章章 周期信號的傅周期信號的傅里葉級數(shù)表示里葉級數(shù)表示本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：. . 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析. . lti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析. . 傅立葉級數(shù)的性質(zhì)傅立葉級數(shù)的性質(zhì)3.0 引言引言 introduction 時域分析方法的基礎時域分析方法的基礎 ： 1)1)信號在時域的分解。信號在時域的分解。2)lt

2、i系統(tǒng)滿足線性、時不變性。系統(tǒng)滿足線性、時不變性。從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：必須滿足兩個要求： 1.1.本身簡單，本身簡單，lti系統(tǒng)響應能簡便得到。系統(tǒng)響應能簡便得到。 2.2.具普遍性，能用以構(gòu)成廣泛的信號。具普遍性，能用以構(gòu)成廣泛的信號。 3.1歷史的回顧歷史的回顧 （a historical perspective）任何科學理論任何科學理論, , 科學方法的建立都是經(jīng)科學方法的建立都是經(jīng)過許多人不懈的努力而來的過許多人不懈的努力而來的, , 其中有爭論其中有爭論, , 還有人為之獻出了生命。還有人為之獻出了生命。 歷史的經(jīng)驗告

3、訴歷史的經(jīng)驗告訴我們我們, , 要想在科學的領域有所建樹，必須要想在科學的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。 17681768年生于法國年生于法國 18071807年提出年提出“任何任何周期信號都可以用周期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來正弦函數(shù)的級數(shù)來表示表

4、示” 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 18221822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱的分析理論熱的分析理論” 18291829年狄里赫利第年狄里赫利第一個給出收斂條件一個給出收斂條件傅里葉生平傅里葉生平17681830傅里葉的兩個最重要的貢獻傅里葉的兩個最重要的貢獻 “周期信號都可以表示為成諧波關系周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信號的加權和的正弦信號的加權和”傅里葉的傅里葉的第一個主要論點第一個主要論點 “非周期信號都可以用正弦信號的加非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示權積分來表示”傅里葉的第二傅里葉的第二個主要論點個主要論點 復指數(shù)函數(shù)復指數(shù)函數(shù) 、 是一切是一切l(wèi)ti系統(tǒng)的特系統(tǒng)

5、的特征函數(shù)。征函數(shù)。 、 分別是分別是lti系統(tǒng)與復指系統(tǒng)與復指數(shù)信號相對應的特征值。數(shù)信號相對應的特征值。( )h s( )h zstenz( )( )sth sh t edt( )()nkhzh n z 結(jié)論：結(jié)論：3.2 lti系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應 設離散時間系統(tǒng)的單位脈沖相應是設離散時間系統(tǒng)的單位脈沖相應是hn, 它對復指數(shù)信號它對復指數(shù)信號xn=zn 的響應可的響應可按前述卷積和來就求得：按前述卷積和來就求得：zhzkhzzkhzkhknxnhnxnynkknkknk 類似地，若設連續(xù)時間系統(tǒng)的單位脈類似地，若設連續(xù)時間系統(tǒng)的單位脈沖相應是沖相應是h(t),

6、它對復指數(shù)信號它對復指數(shù)信號 x(t)=est 的響應可按卷積積分來就求得：的響應可按卷積積分來就求得：)()()()()()()()()(shedehedhedhtxthtxtystsstts 對對lti系統(tǒng)如果系統(tǒng)輸出系統(tǒng)如果系統(tǒng)輸出可表示為輸入乘以一系數(shù)，可表示為輸入乘以一系數(shù)，這時的輸入稱為系統(tǒng)的這時的輸入稱為系統(tǒng)的特征特征函數(shù)函數(shù)。該系數(shù)就是相應特征。該系數(shù)就是相應特征函數(shù)的函數(shù)的特征值特征值。v只有復指數(shù)函數(shù)才能成為一切只有復指數(shù)函數(shù)才能成為一切l(wèi)ti系統(tǒng)系統(tǒng)的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。對時域的任何一個信號對時域的任何一個信號 或或 , ,若能將其表示為下列形式：若能將其表示為下列形式

7、：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(nnnzazazanx332211tskkkkeshaty)()(利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性tststseshaeshaeshatytx321)()()()()(332211tskkkeatx)(所以有所以有即：即：nkkkzanx)(nkkkkzzhany)()(* *問題：問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數(shù)究竟有多大范圍的信號可以用復指數(shù)信號的線性組合來表示？信號的線性組合來表示？111( )s ts teh s e222()s ts teh s e333()s ts teh se由于由于一組成

8、諧波關系的周期復指數(shù)信號集一組成諧波關系的周期復指數(shù)信號集: : 1 1、連續(xù)時間情況、連續(xù)時間情況 定義：由周期復指數(shù)信號組成的集合，定義：由周期復指數(shù)信號組成的集合，該集合內(nèi)的全部信號都是周期的，且該集合內(nèi)的全部信號都是周期的，且有一個公共周期有一個公共周期 對一個復指數(shù)信號對一個復指數(shù)信號 ，要成為具有周，要成為具有周期為期為 的周期信號的必要條件：的周期信號的必要條件： ，即，即tje0t0t10tje)2, 1, 0(20kkt02tkif if 定義定義 ，則，則 即一組成諧波關系的復指數(shù)信號的集合即一組成諧波關系的復指數(shù)信號的集合就是一組其基波頻率是某一正頻率就是一組其基波頻率是

9、某一正頻率 的整數(shù)倍的周期復指數(shù)信號。記為：的整數(shù)倍的周期復指數(shù)信號。記為： 各次諧波的周期分別為各次諧波的周期分別為 ，它們，它們的公共周期是的公共周期是 。002t0k00( )jktkte,0, 1, 2k 002t02ktkfourier series representation of continuous-time periodic signals一一. . 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)成諧波關系的復指數(shù)信號集成諧波關系的復指數(shù)信號集: : 其中每個信號都是以其中每個信號都是以 為周期的，它們?yōu)橹芷诘?，它們的公共周期為的公共周期?，且該集合中所有的信，且該集合中所有的信號

10、都是彼此獨立的。號都是彼此獨立的。 0( )jktkte02k023.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，有來，有 顯然顯然 也是以也是以 為周期的。該級數(shù)就為周期的。該級數(shù)就是是傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)， 為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即期信號，即: : 連續(xù)時間周期信號可以分解成連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量。02( )x t0( )jktkkx ta e

11、ka0( )cosx tt001122jtjtee顯然該信號中，有兩個諧波分量，顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應分量的加權因子為相應分量的加權因子112a00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee在該信號中，有四個諧波分量，即在該信號中，有四個諧波分量，即, 3, 1 k時對應的諧波分量。時對應的諧波分量。傅里葉級數(shù)表明：傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)被分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分傅立葉級數(shù)被分解成無數(shù)多個復指數(shù)諧波分量的線性組合。量的線性組合。二二. .連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定如果周

12、期信號如果周期信號 可以表示為傅里葉級數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù)0( )jktkkx ta e( )x t則有則有00()( )jntj kntkkx t ea e對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有0000()00( )ttjntjkntkkx t edtaedt 0000( )tjntnx t edta t00001( )tjntnax t edtt即即 在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為因此可表示為01( )jktktax t edtt01(

13、)tax t dtt 是信號在一個周期的平均值，通常稱直是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。流分量。0a 設設x(tx(t) ) 是周期函數(shù)。周期是是周期函數(shù)。周期是t t0 0。0( )jktkkx ta e01( )tax t dtt01( )jktktax t edtt三三. .頻譜頻譜（spectral）的概念的概念 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波中的每一個信號，除了成諧波關系外，每個信號隨時間關系外，每個信號隨時間 的變化規(guī)律都是的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。一樣的，差別僅僅是頻率不同。 在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧

14、波分量）量） 間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復數(shù)）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復數(shù)）和頻率不同。因此，和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的頻率頻率。t( )kt121200001分量分量 可表示為可表示為0jte因此，當把周期信號因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數(shù)表示為傅里葉級數(shù) 時時，就可以將就可以將 表示為表示為( )x t( )x t0( )jktkkx ta e這樣繪出的圖稱這樣繪出的圖稱為為頻譜圖頻譜圖0001cos()2jtjttee 頻譜圖其實就是將頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布隨頻

15、率的分布表示出來，表示出來，即即 關系。由于關系。由于信號信號的頻譜完全代表了信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為信號的方法稱為頻域表示法頻域表示法。ka四四.傅里葉級數(shù)的其它形式傅里葉級數(shù)的其它形式 kkaa或或*kkaa 若若 是實信號是實信號, ,則有則有)()(txtx，于是，于是( )x tktjkkktjkkktjkkktjkkeaeaeaeatxtx0000*)()( 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式 傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式3

16、.4 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂 這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。以表示為傅里葉級數(shù)。一一. . 傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似傅里葉級數(shù)是對信號的最佳近似convergence of the fourier series01( )jktktax t edtt對任何周期信號對任何周期信號 代入左式都可求得傅里葉代入左式都可求得傅里葉系數(shù)系數(shù) 。某些情況下，左式的積分可能不收。某些情況下，左式的積分可能不收斂，即求得的斂，即求得的 無窮大。無

17、窮大。0( )jktkkx ta e ifif求得的全部求得的全部 都是有限值，代入左式所都是有限值，代入左式所得的無限項級數(shù)也可能不收斂于得的無限項級數(shù)也可能不收斂于 。二二. . 傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義： 是否存在是否存在? ? 級數(shù)是否收斂于級數(shù)是否收斂于 ? ?ka2.2.if周期信號周期信號 在一個周期內(nèi)具有有限的在一個周期內(nèi)具有有限的能量，能量，then 可以用傅里葉級數(shù)表示可以用傅里葉級數(shù)表示（平方可積條件）即（平方可積條件）即02( )tx tdt 1.1.對于全部連續(xù)的周期信號都有一個傅里葉對于全部連續(xù)的周期信號都有一

18、個傅里葉級數(shù)表示級數(shù)表示三組條件：三組條件：3.3.if周期信號周期信號 滿足滿足dirichlet條件，條件，then 可以用傅里葉級數(shù)表示?？梢杂酶道锶~級數(shù)表示。 dirichlet條件：條件：1 1、在任何周期內(nèi)信號絕對可積，即、在任何周期內(nèi)信號絕對可積，即2 、在任何單個周期內(nèi)，只有有限個極值點，、在任何單個周期內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。（最大值和最小值數(shù)目且極值為有限值。（最大值和最小值數(shù)目有限）有限）0( )tx tdt 0000011( )( )jktkttax t edtx t dttt 因此，信號絕對可積就保證了因此，信號絕對可積就保證了 的存在。的存在。ka3、

19、 在任何單個周期內(nèi)，只有有限個第一類在任何單個周期內(nèi)，只有有限個第一類間斷點，且在間斷點上的函數(shù)值為有限值間斷點，且在間斷點上的函數(shù)值為有限值 后兩組條件并不完全等價。它們都是傅后兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數(shù)收斂的里葉級數(shù)收斂的充分條件充分條件。相當廣泛的信號。相當廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具有相當?shù)钠毡檫m用性葉級數(shù)表示周期信號具有相當?shù)钠毡檫m用性。幾個不滿足幾個不滿足dirichlet條件的信號條件的信號三三. .gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象 滿足滿足 dirichlet 條件條件的信號，其傅里的信號，其傅里葉級

20、數(shù)是如何收斂于葉級數(shù)是如何收斂于 的。特別當?shù)?。特別當 具有間斷點時，在間斷點附近，如何收具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于斂于 ? ?( )x t( )x t( )x t1n 3n 7n 19n 100n 用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的用有限項傅里葉級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近會不可避免的出信號時，在間斷點附近會不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數(shù)的增加而減小。只是隨著項數(shù)的增項數(shù)的增加而減小。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少從而使它所占有的能量減少

21、。gibbs現(xiàn)象表明：現(xiàn)象表明：例例1 1：周期信號：周期信號)cos(cossin)(4323231ttttx)()()()()(432432333321211tjtjtjtjtjtjeeeeeejtxtjjtjjtjtjeeeeejej3243243321212112111)()()()(試確定試確定 的傅里葉級數(shù)系數(shù)。的傅里葉級數(shù)系數(shù)。解：解： 由題由題 的基波周期為的基波周期為 jjajjaa2112112112111110，kajeajeakjj，其余，0)1 (4221)1 (4221424221212501111100arctgarctgaaa，；，44212222，aa例例2

22、2：對稱周期方波信號：對稱周期方波信號1001110 100 00 02sin11tjktjkt tkttktaedtetjktkt10t0tt( )x t確定確定 的傅里葉級數(shù)系數(shù)。的傅里葉級數(shù)系數(shù)。110100211ttttdtta根據(jù)根據(jù) 可繪出可繪出 的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為占空比ka( )x t102tt0( )sa x1xsinsa( )xxx其中其中10212tt10214tt10218tt不變不變 時時0t1t 10212tt10214tt10218tt1t不變不變 時時0t 周期周期 和脈沖寬度和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化：1.1. 當當 不變，

23、改變不變，改變 時，隨時，隨 使占空比減使占空比減小，小，譜線間隔變小，幅度下降譜線間隔變小，幅度下降。但。但頻譜包頻譜包絡的形狀不變絡的形狀不變，包絡主瓣內(nèi)包含的諧波分，包絡主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。量數(shù)增加。2.2. 當當 改變，改變， 不變時，隨不變時，隨 使占空比使占空比減小，減小，譜線間隔不變，幅度下降譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的頻譜的包絡改變包絡改變，包絡，包絡主瓣變寬主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。諧波數(shù)量也增加。0t12t1t1t 0t0t 1t0t周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 離散性離散性 2. 諧波性諧波性 3.

24、 收斂性收斂性properties of continuous-time fourier series3.5 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)學習這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和學習這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進行級數(shù)展開。對信號進行級數(shù)展開。一一. . 線性：線性：若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x t( )y tt則則二二. .時移時移: :三三. .反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn): :若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tt則則02t若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tt則則四四. .尺度變換尺度變換: :若信

25、號 以 為周期，且( )x tt則則 周期為周期為 ，且，且()x at/t a令令 ,當當 在在 變化時，變化時， 在在 變化變化att0 /t a0t于是有：于是有：01( )jkkktbxedat 五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號為周期的信號( )x t( )y tt則則也即也即且且:0()1( )j k ltkllk ltllcay t edtabt六六. .共軛對稱性共軛對稱性: :若信號若信號 的周期是的周期是 且：且：( )x tt則則由此可推得，由此可推得，對實信號有對實信號有： 或或kkaakkaa七七. .parseval 定理：定理：kktadt

26、txt22)(1表明：表明：一個周期信號的平均功率就等于它一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和所有諧波分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1對實信號對實信號,當當 時，時，( )()x txtkkaa（實偶函數(shù)）（實偶函數(shù)）當當 時，時，( )()x txt kkaa （虛奇函數(shù)）（虛奇函數(shù)）例例1：如圖周期為：如圖周期為 的沖激串的沖激串kktttx)()(-t1tt0)(tx0/ 2/ 211( )tjktktat edttt01( )jktkx tet 02tt求其傅里葉級數(shù)表示。求其傅里葉級數(shù)表示。解：解：例例2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖)(tg1

27、01t1t-ttt解：將其微分后可利用例解：將其微分后可利用例1表示為表示為)()()(11ttxttxtg求其傅里葉級數(shù)系數(shù)。求其傅里葉級數(shù)系數(shù)。)(tg1t01t1t設設由時域微分性質(zhì)有由時域微分性質(zhì)有0kkbjk c由例由例1知知1/kat根據(jù)時移特性，有根據(jù)時移特性，有0 10 10 12sinjktjktkkkbaeejakt0 10 11000 12sinsin2kkbktkttcjkkttkt02/t0k 考察成諧波關系的復指數(shù)信號集考察成諧波關系的復指數(shù)信號集: : 該信號集中每一個信號都以該信號集中每一個信號都以 為周期，為周期，且該集合中只有且該集合中只有 個信號是彼此獨立

28、的。個信號是彼此獨立的。 fourier series representation of discrete-time periodic signalsn一一. .離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)（dfs） discrete-time fourier seriesn3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示 將這將這n n個獨立的信號線性組合起來，一定個獨立的信號線性組合起來，一定能表示一個以能表示一個以n n為周期的序列。即：為周期的序列。即：其中其中k k為為n n個相連的整數(shù)個相連的整數(shù)這個級數(shù)就稱為這個級數(shù)就稱為離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)(

29、(dfs)，其中其中a ak k也稱為周期信號也稱為周期信號xnxn 的頻譜。的頻譜。二二. . 傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定給給 兩邊同乘以兩邊同乘以 ，得，得2jrnne顯然顯然 仍是以仍是以 為周期的為周期的n而而 rknrkeeeenrkjrkjnnnrkjnnnrkjnn011/2)(2)(10)()(22 顯然上式滿足顯然上式滿足 即即 也是以也是以 為為周期的，或者說周期的，或者說 中只有中只有 個是獨立的個是獨立的。即即或或knkaakaka對實信號同樣有對實信號同樣有：kkaakkaarerekkaaimimkkaa nn離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)設有設

30、有周期為周期為n的的離散時間離散時間xn，那么定義：，那么定義：nnnknjkenxna/21nknknjkeanx/2kdfsnxa 記為：定義的合理性說明，在下式中帶入定義的合理性說明，在下式中帶入xn ：10/ )(211010/210/2110/2/2nxemxeemxeaeanknmnkjnnmnknknjnmnkmjnnknknjknknknjk例例1 1：考慮信號：考慮信號nnx52sin555221kkkn)(njnjeejnx525221基波周期基波周期0212111kakjaja，其余， 的頻譜圖的頻譜圖三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜112121()()

31、221jkjknjknnnnjkjkjknnneeeneee211112(1)22111jknnjnknnjknnkjknnneeaenne121knankrn 顯然顯然 的包絡具有的包絡具有 的形狀。的形狀。kasinsinxx時時1sin(21)1sinknnnkn0, 2 ,knnu 當當 不變、不變、 時，頻譜的時，頻譜的包絡形狀不變包絡形狀不變，只是只是幅度減小，譜線間隔變小幅度減小，譜線間隔變小。u 當當 改變、改變、 不變時，由于不變時，由于 的包絡具的包絡具有有 的形狀，而的形狀，而 ，可知其包絡可知其包絡形狀一定形狀一定發(fā)生變化。當發(fā)生變化。當 時，包絡的第一時，包絡的第一個

32、零點會遠離個零點會遠離原點從而使原點從而使頻譜主瓣變寬頻譜主瓣變寬。這。這一點也與連續(xù)時間周期矩形一點也與連續(xù)時間周期矩形脈沖的情況類似。脈沖的情況類似。1n1nnn kasinsinxx121n1n kkk1220nn1110nn1210nn周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜四四. . dfs的收斂的收斂 dfs 是一個有限項的級數(shù)，確定是一個有限項的級數(shù)，確定 的關系式也是有限項的和式，因而的關系式也是有限項的和式，因而不存在不存在收斂問題收斂問題，也不會產(chǎn)生，也不會產(chǎn)生gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象。ka 周期序列的頻譜也具有周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性離散性、諧波性，當在當在 區(qū)間考查

33、時區(qū)間考查時，也具有也具有收斂性收斂性。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周周期性期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷積周期卷積properties of discrete-time fourier series 3.7 dfs的性質(zhì)的性質(zhì)dfs有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。3. 時域內(nèi)插時域內(nèi)插若若 以以n為周期，為周期，則則 以以mn為周期。為周期。令令令令 ,則有則有nrm時時0 nmn0 rn4. paseval定理定理左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號的各

34、次諧波的總功率。邊是信號的各次諧波的總功率。上式表明：上式表明：一個周期信號的平均功率等于它一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。的所有諧波分量的功率之和。也表明：也表明：周期周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。域求得。3.8 傅里葉級數(shù)與傅里葉級數(shù)與lti系統(tǒng)系統(tǒng)復指數(shù)函數(shù)是復指數(shù)函數(shù)是lti的特征函數(shù)的特征函數(shù)與與x(t)=est和和xn=zn相應的特征值分別為：相應的特征值分別為：其中其中h(t)和和hn分別是連續(xù)時間和離散時間分別是連續(xù)時間和離散時間lti系系統(tǒng)的單位沖激相應。統(tǒng)的單位沖激相應。如果上面的如果上面的s和和z是一般的復數(shù)變量，則有是一般的復數(shù)變量，則有h(s)和和h(z)分別稱為分別稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)。kkszkhzhdehsh)()()(如果如果 s=j和和 z=ej,系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)h(j)和和h(ej)就稱為頻