第三章函數(shù)的極值及其求法

1、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。值得我們作一般性的討論。一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.

2、)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)

3、取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x注注這個(gè)結(jié)論又稱為這個(gè)結(jié)論又稱為fe

4、rmat定理定理如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn)如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn)：可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問題右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問題即可得到解決。即可得到解決。(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf

5、而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0

6、)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處具具

7、有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值; ;( (2 2) )當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018

8、 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).m例例4)0(12,02 aea

9、xxxx時(shí)時(shí)證明證明證證xeaxxxf 12)(2記記xeaxxf 22)(則則（不易判明符號(hào)）（不易判明符號(hào)）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡囊灰粋€(gè)個(gè)極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)是是)(2lnxfx 而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，而且是一個(gè)最大值點(diǎn)， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時(shí)時(shí)0)0()( fxfxeaxx 122即即思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， )0()(fx