從幾個分式不等式的證明看推廣命題的由來

1、從幾個分式不等式的證明看推廣命題的由來廣東深圳市育才中學 王 揚證明不等式既是中學數(shù)學教學中的難點，也是數(shù)學競賽培訓的難點，近年也演變?yōu)楦傎惷}的熱點，因其證明不僅蘊涵了豐富的邏輯推理、非常講究的恒等和不等變形技巧，且解決此類問題也能用來檢測競賽選手對命題人深邃的思考、超人的預見及其非凡智慧的領悟程度，而分式不等式的證明更是精妙無比，合理的分拆、巧妙的組合更是耐人尋味，故學生普遍感到分式不等式難證、輔導老師也感到難講，甚至，有些競賽專家對分式不等式的證明有時侯也感到困惑，這是因為常見和常用的方法常常派不上用場，因此，有必要對分式不等式的證明方法和技巧進行總結歸納并與大家一起交流，本文試圖從幾個

2、分式不等式的證明告訴讀者此類不等式的一種證明方法，并展現(xiàn)推廣命題的由來，為讀者進一步證明某些分式不等式提供有效的方法和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學命題開拓有益的思考途徑。一命題1：（第26屆美國數(shù)學奧林匹克競賽題之一）設a、b、cR+，求證： （1）分析；最初，某刊物給出了一種通分去分母的較為復雜的證法，這里試從分析不等式的結構出發(fā)，導出該不等式的編擬過程，同時，揭示證明此類問題的真諦，并探索其推廣命題成功的可能性。思考方向：（1）的左邊較為復雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應該從左至右進行,思考方法：（1）從左至右是一個由簡單到復雜的逐步放大過程，所以，一個簡單的想法就是將各分母設法縮小，但考慮到各分母

3、結構的相似性，故只要對其中之一做恰倒好處的變形，并構造出右邊之需要即便大功告成.實施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3x2y+xy2=xy(x+y) (x、yR+) （*） 知 （1）的左端這一證明是極其簡單的，它僅依賴高中數(shù)學課本上的基礎知識，由此可見，中學課本上的知識也能用來攻克高層次的數(shù)學競賽題，看來，我們要好好守住課本這快陣地。（1）刻畫了3個變量的情形，左端的三個分式分母具有如下特征：三個字母中取兩個的三次方與這三個變量的乘積之和，那么，對于更多個變量會有怎樣的結論？以下為行文方便，記 （1）的左端為 ，表示對a、b、c輪換求和，以下其它的類似處理，不再贅述,為了搞清多個

4、變量時（1）的演變，首先從4個變量時的情形入手。推廣1：設a、b、c、dR+，求證：。 （2）分析：注意到上面的（*），要證（2），需要證 x4+y4+z4xyz(x+y+z) （*）（*）是（*）的發(fā)展，它的由來得益于證明（1）時用到的（*），這是一條有用的思維發(fā)展軌道。事實上，由高中數(shù)學課本上熟知的不等式 x2+y2+z2xy+yz+zx 易知x4+y4+z4x2y2+y2z2+z2x2xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),這樣（*）得證,從而（2）便可仿（1）不難證明，略,推廣2：設aiR+(i=1、2、3，n),求證：。 （3）有了前面

5、的推廣1的證明，這里的推廣2的證明容易多了，聯(lián)想（*），只要能證明 （這是（*）的發(fā)展）事實上，由切比雪夫不等式及算術幾何平均值不等式可知有了上式，推廣2便不難證明，略.很顯然，對于推廣2，若按（1）的最初的去分母去證明，當然是行不通的，這也表明，解決數(shù)學問題的關鍵一著就是要把握問題的實質(zhì)，不要被一些較復雜的表面現(xiàn)象所迷惑，要善于觀察，善于分析，善于總結，善于概括，善于發(fā)現(xiàn)，善于利用，盡力從表象的東西里抽象概括出本質(zhì)性的實質(zhì)性的規(guī)律，這才是學習數(shù)學的要旨。二命題2：設x、y、zR+，求證： （4）分析：這是一個并不復雜的分式不等式，但是若要通過去分母來證明，肯定會走彎路，甚至走到死胡同。思考方

6、向：（4）的左端較為復雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應該從從左至右的進行。思考方法：（1）從左至右是一個逐步縮小的過程，所以，對于本題，一個簡單的想法就是將個分母設法放大，但考慮到分母結構的相似性，故只要對其中之一進行恰倒好處的變形，并設法構造出（4）的右邊即可大功告成。實施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的的不等式： (x、yR),剛好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下證明：證明： 只要證明 ， （5）給（5）的兩邊同時加3，得到 ，這等價于，這由Cauchy不等式便知，從而（4）得證。（4）式刻畫了3個變量的情形，其特點是；左端每一個分式的分母是從3個變量中取兩個，為兩個的二次方與這

7、兩個變量之積之和，而分子則是剩下一個變量的二次方。現(xiàn)在，我們?nèi)绻驹谧兞總€數(shù)方面考慮，即再增加若干個變量，結論會怎樣？證法還靈嗎？經(jīng)過再三考慮，得到推廣1：設aiR+，(I=1,2,3,，n)求證： （6）聯(lián)想（4）的證明過程，知關鍵是對分母中的乘積項利用二元均值不等式進行放大，然后運用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的證明也只要對每一個分式中分母乘積項逆用多元算術幾何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，詳細的證明略。另外，如果一不小心，將（4）錯寫為如下形式： （7）那么，雖然（7）與（4）相比，實質(zhì)性的東西并沒有發(fā)生改變，但就其結構而言已經(jīng)發(fā)生了相當大的改變，即（7）的每

8、一個分母中連續(xù)3項依次成等比數(shù)列，而（4）的分母中就不具備這樣的性質(zhì)，繼而，（7）是否從某一方面反映某一普遍意義下的一種特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比數(shù)列的角度去審視（7），就可以探索從改變分母的指數(shù)出發(fā)去聯(lián)想，從而得到一個很好的結論，（7）的分母多項式為3項，最高指數(shù)為2，分子與分母指數(shù)相同，左邊為三個式子之和，右邊為1，試想，當分母中的多項式指數(shù)增高時，（7）應該變成什么樣子，準確點兒，當指數(shù)為n+1時，相應的結論如何？這就是推廣2：設x、y、zR+，求證： （8）分析：聯(lián)想與類比有時候是提出問題和解決問題的金鑰匙，相似問題的解決方法在很多場合往往都是十分相似的，在這一點上

9、請同學們注意領會并掌握。思考方向與思考方法基本同于（4），只是實施步驟中的不等式：2xyx2+y2 (x、yR)的右邊的指數(shù)2改為n+1時，結論會變成什么相適應的樣子？類似于（*），由高中課本上知識知（當然可從指數(shù)為3，4，5，,去探索，這里就省去探索的過程了，因為高中課本上已有指數(shù)為3、5時的結論）：xnyk+xkynxn+k+yn+k,(x、yR+，n、kN+)這是一個有意義的結論，于是xn+1+xny+xn-1y2+yn+1,即(注意到（5）)到此，推廣2獲證。實際上，通過剛才對（7）的分析知道，（7）還有從變量個數(shù)方面的推廣，例如變量個數(shù)為4，5，6，12或者小于等于23的奇數(shù)（結論成

10、立）時，結論的證明就比較復雜了，況且，也不能推廣到任意多個變量。關于這點，請讀者參考有關資料。三命題3：設x、y（0，1），求證：。 （9）分析：本題的結構看似簡單，實際上，要向前面兩個不等式那樣去設法從左至右的證明在這里就不好進行，于是，需要進行等價分析變形，這是在當前一時找不到好的證法時常用的證題方法。思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。實施步驟：一般的程序應該是配方或者分解因式。證明：由條件 x、y（0，1）知，xy（0，1）,所以，原不等式等價于 （10） （11）結合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命題獲證。這一證明看起來比較簡明，但是，真正實施起來也不是太簡單

11、，請同學們仔細領悟。到這里本題的證明已經(jīng)結束，但是，如果僅停留在這個層次上就得到的甚少，應該及時進行反思、總結、提煉，看看本題有無推廣演變的可能？即能否由此產(chǎn)生新的數(shù)學命題？觀察命題3的結構可以看出，（10）的左端可以看成是函數(shù)在兩個變量x、y處的函數(shù)值的算術平均值，右邊是兩個變量x、y在其幾何平均值處的函數(shù)值，聯(lián)想到Jensen不等式，可以很容易的將（10）推廣到多個變量時的情形，即推廣1：xi（0，1）(i=1、2、3，n),求證：。 （12）這由數(shù)學歸納法不難確認其正確，詳細證明留給感興趣的讀者。繼續(xù)觀察（11），不難看出，當x1，y1時，不等號應該反向，于是可得原命題的另一種演變的推廣

12、，即 推廣2：xi（1，+）,(i=1、2、3，n),求證： （13）繼續(xù)觀察（10），容易想到，當變量個數(shù)再增加時會有怎樣的結論？即對于三個變量若x、y、z（0，1）,可得，這三式相加得： （14）這樣我們又得到了一個新的命題。如此繼續(xù)，便得推廣3：xi（0，1）,(i=1、2、3，n),求證： （15）推廣4：xi（1，+）,(i=1、2、3，n),求證：（ xn+1=x1） （16）（15）、（16）的證明可仿照（14）的證明進行，在此就略去其詳細的證明了。從這幾個推廣命題的由來我們可以看出，很多數(shù)學命題都是在認真分析已有命題的基礎上，對原命題進行分析、歸納、總結、提煉，得到描述問題的本質(zhì)，在原有問題及其求解思路的基礎上，運用自己所掌握的數(shù)學知識通過思維的遷移加工就可得到一系列新的數(shù)學命題，這也是許多命題專家的研究心得，更是解題者應該多多注意的一個方面，也是我們輔導老師應該向?qū)W生介紹的重要一環(huán)展示知識發(fā)生、發(fā)展的全過程。研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作，有事實表明，近多年來的高