2017年高考通關(guān)講練高考數(shù)學(xué)(理科)-課標(biāo)通用-第3輯：四、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精四、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用/鐘一咅考匿考綱要求會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考的重點(diǎn) 考查內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及解決生活 中的優(yōu)化問(wèn)題，已成為近幾年高考的命題熱點(diǎn).區(qū)命題規(guī)律導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，要么直接求極值或 最值，要么利用極值或最值求參數(shù)的取值范圍，常與函數(shù)的單調(diào)性, ,函數(shù)的零點(diǎn)，不等式及實(shí)際問(wèn)題形成知識(shí)的交匯問(wèn)題.選擇題、填 空題往往側(cè)重于利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，一般屬于低檔 題目；解答題側(cè)重于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等知識(shí) 的綜合應(yīng)用，一般難度較大，屬于中、高檔題預(yù)測(cè) 20172017 年

2、的高考, , 不但會(huì)出現(xiàn)考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等問(wèn)題的小題，還會(huì)考 查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用大題.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a：!2a2討！，且a?a2a34,其 中n N. .(1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)2)令cn1丄記數(shù)列Cn的前n項(xiàng)積為T(mén)n,其中n N*，試比較Tn與9an的大小，并加以證明312an,即0, ,故f(x)11=,當(dāng)x 0時(shí)，f(x)故ln(x 1)在(0,)上遞減，所以f(x) f(o)所以InCn ln(1 ) ln(1an Tnqc2CnIn Tn設(shè)S222.In c lnc2Inq，則Snn2n12212223222n相減得2S1 2n1 11 12n

3、2*,n2“ 1故Sn2瞬2/.InTn2,【考點(diǎn)定位】數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用Tne29. .【技巧點(diǎn)撥】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等關(guān)系是 解決本題的巧妙之處、關(guān)鍵所在。1 xx In-1 x (1 1)求曲線y f x在點(diǎn)o, f o處的切線方程; ;3(2)(2)求證：當(dāng)X0，1時(shí), ,f x 2(x2L)；33(3)(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x) k(x亍)對(duì)x0恒成立，求k的最大值.3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精【答案】(1(1)an2n,n N*.(2.(2)Tn9，證明見(jiàn)解析?！窘馕觥?由an 12ananan 1彳得(an 1)(12an) 0,丁0, aan 12an，數(shù)列an是以

4、2為公比的等比數(shù)列。由a2a42a34得印2, ,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n, n N*。(2 2)Tn9證明如下:構(gòu)造函數(shù)f(x) In(x 1) x，則f (x)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精【答案】(1)(1)2x y 0； (2 2)證明見(jiàn)解析；(3)2.3)2.1 2【解析】(1 1)f(x) In一，X (1,1),.f (x) -r，f(O)2, f(0)0,1 X1 X線y f x在點(diǎn)0,f 0處的切線方程為2x y 0. .”33(2(2)當(dāng)x0,1時(shí)寸,f x 2(X弓),即不等式f(x) 2(x +勺 0對(duì)x (0,1)33恒成立,設(shè)F(x)=1 + XX3X3：In x

5、2(x +3) = ln(1 + x) ln(1 x) 2(x +3),貝F (x)1X2，當(dāng)x 0 , 1時(shí)，F(xiàn) (x)0，故F(x)在(0,10,1 上為增函數(shù),X30，因此對(duì)x (0,1),f(x)2(x + )恒成立. .33彳丄3(3(3)使f x k(x -)對(duì)x 0,1恒成立，等價(jià)于F(x) = I n一k(x +牛)031 x3符合題意; ;所以F(x) F(0)(0,1)恒成立，則2)=廠?2k(1 + x )kx42 k當(dāng)k 0,2時(shí)，F(xiàn) (x)0，函數(shù)在(0(0, 1)1)上為增函數(shù),F(x) F(0)0,當(dāng)k 2時(shí)，令F(x) 0,得 X。4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精F

6、(x) F(0),顯然不成立，綜上所述可知：k的最大值為 2 2【名師點(diǎn)睛】 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函考數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，本題第一步為基礎(chǔ)，第二、三步屬于中等略偏 點(diǎn) 難問(wèn)題，首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點(diǎn)坐定位】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，含 參問(wèn)題討論。J 某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y（單位: 千克）與銷(xiāo)售價(jià)格X X （單位：元/ /千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)-豈10 x 62，X 3其中3 x 6，a為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為 5 5 元/ /千克時(shí)，每日可售 出該商品1111 千克.2f x 10 x 62x3x630 x4x6令f

7、 x 0得x= 4(v3 x 0 0，且xMl時(shí)，f(x)皿k，求k的取值范圍.x 1 x8 8.已知函數(shù)f(x) 2(x a)ln x x22ax 2a2a，其中a 0. .1x125B B.y2x12533x1256 6.設(shè)函數(shù)fC C.y3y x1252x乜sinnx若存在f x的極值點(diǎn)X。滿足冷2f x。1x5m2，貝UmC C ，2 U 2,+7 7 已知函數(shù)f(x)a In xbx 1x(1(1 設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精(2 2)證明：存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1,+ )上恒成立且f(x) 0在(1,+ )上有

8、唯一解。參考答案1.1.A A【解析】由題意可知不等式為exf(x) ex 50, ,設(shè)g(x) = exf (x) -ex-5,則 g (x) = exf (x)+exfr(x) ex二ex f (x)+ f (x)T 0. .所以函數(shù)g x在定義域上單調(diào)遞增，又因?yàn)間 0 0，所以g x 0的 解集為x 0. .2.2.D D【解析】設(shè)g(x)= =ex(2x 1), ,y ax a, ,由題知存在唯一的整數(shù)x，使得g(xJ在直線y axa的下方。因?yàn)間(x) ex(2x 1)，所以當(dāng)x 2時(shí)，g (x)V 0 0，當(dāng)x1時(shí), ,g (x) 0 0，所以當(dāng)X 2時(shí)，g(x)min= =2e

9、2，當(dāng)x 0時(shí)，g(0)=-1=-1，g(1) e 0，直線y ax a恒過(guò)點(diǎn)(1,(1,0 0且斜率為a，故a g(0)1，且g( 1) 3e1a a，解得孑0 0,可得h(x) 0；I x當(dāng)x( 1 1,+x)時(shí)，h(x)v 0 0,可得宀h(x) 0. .1 x從而當(dāng)x 0,0,且XMl 時(shí), ,f(x) ( -) 0,x 1 x7 7 【答案】2，故選(1)(1)3=1 1,C Cob=1 1;(2(2) ( - - 3030o【解(1)f(x)/X 1a(x(x 1)lnx)b22O由于直線x+ 2 2y- - 3 3= 0 0 的斜率為-1，且過(guò)點(diǎn)(1,1)1,1)故f (1) 1

10、1f (1)，即由知f (x)In x1x 1x?所以f(x)嚴(yán)二2ln x(k 1)(x2x1)o考慮函數(shù)h(x)2ln x(k 1)(x21)x(x(x 0),0),則h(x)1) 2xx( (i ) )設(shè)kw 0.0.由(X)2k(x 1) (x2x學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精(ii(ii ) )設(shè) O Ovkv 1 1。由于當(dāng)x( 1 1,丄) )時(shí)，(k- - 1 1) (x2+ 1 1)+ 2 2x1 k0 0,故h(x)0 0,h( (x)單調(diào)遞增。 而h(1)1)= 0,0,故當(dāng)x( 1 1, 柞)時(shí)，h(x) )0 0,可得Eh(x)o，與題設(shè)矛盾.(iii)設(shè)k 1,1,此時(shí)

11、 i(i(x) )0,0,h(x) )單調(diào)遞增，而h(1 1)= 0 0,故當(dāng)x( 1,1,+比)時(shí)，h(x) 0 0 可得丄h(x)o與題設(shè)矛盾.1 x綜上可得，k的取值范圍為(-,-,厲.8 8.【答案】(1 1)當(dāng)0 a 1時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,二),(,)上單調(diào) 遞增，在區(qū)間J；力，1；力)上單調(diào)遞減；當(dāng)a 1時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增；(2 2)詳見(jiàn)解析?！窘?1)(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),g(x) f (x)2x 2a 2lnx 2(1a),X0 0,x 所以g (x)121 c 2 2a2(x2)2(a4) 22 2x xx4時(shí)，令g (x)令g

12、(x)所以在區(qū)間(0,11.1 4a24a2x14a、/2Jp1)上單調(diào)遞增,0，得x，或0 x十在區(qū)間(坐匕少)上單調(diào)遞減;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精當(dāng)a 4時(shí)，即ao(0,1)。由(1(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增。 故當(dāng)x (1,X0)時(shí)，有f (X0) 0，從而f (X)f (X0) 0； 當(dāng)X (X0,)時(shí)，有f(X0)0，從而f (X) f (X0) 0； 所以，當(dāng)X (1,)時(shí), ,f(x) 0. .綜上所述，存在a (0,1)，使得f(x) 0在區(qū)間(1,+ )上恒成立，且f(x) 0在(1,+ )上有唯一解。(1)(1)確定函數(shù)的定義域，審清題意，確定解題方向

13、，明確出發(fā) 點(diǎn)g(x)在區(qū)間(o.)上單調(diào)遞增。由f(x)2x 2a 21 nx 2(1?) 0，解得a冷寺。X1 X令(x)2(xxi Jn x x21 xc/X 1 Inx、2(1 x1)x_x 1 In x2x 1 In x2(1 x1)1 x1。則e(e 2)2(e 2 p0(e)k，故存在X0(1,e)，使得(X。)0. .令aX。1 In X。1 X0,u(x) x 1 In x(x 1),由u(x) 1x函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增。u(x)1 X01a晉晉當(dāng)a a0時(shí)，有f (x0)0, f (xo)(Xo) 0, ,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1 1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合

14、問(wèn)題的一般步驟八、(2)(2)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行求導(dǎo)(3)(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值或最值 , ,有參數(shù)時(shí)進(jìn) 行分類(lèi)討論(4)(4)利用極值或最值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出正確結(jié)論(5)(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題過(guò)程的規(guī)范性 2 2用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x) )在 a,a,b上是增函數(shù)，則x QbQb, 則f(a) )f( (x)f(b)，對(duì)x1,x?a,b ,且x1X2，則f( (Xi) ) 11，二 2 2m- - 11)11)。類(lèi)似地，當(dāng)整數(shù)m 1時(shí)，f(x) x ln(x m)在1 m,e2mm上為連續(xù)增函數(shù)， 且f(1 m)與f(e2mm)異號(hào)，由所給的定理知，存在唯一的X2(1 m,e2mm)，使認(rèn))=0, ,故當(dāng)整數(shù)m 1時(shí)，方程f (x) = 0在emm,e2mm內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根. .【易錯(cuò)警示】對(duì)于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)，除了要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià) 性外，還要注意函數(shù)的定義域，否則，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. .數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家和物理學(xué)家坐在街頭咖啡屋里，看看人們從 街對(duì)面的一間房子走進(jìn)走出。他們先看到兩個(gè)人進(jìn)去，時(shí)光流逝，他們又看到三個(gè)人出來(lái)。物理學(xué)家：“測(cè)量不夠準(zhǔn)確?！鄙飳W(xué)家：“他們進(jìn)行了繁殖。”數(shù)