小學(xué)幾何五大模型

1、鳥頭模型，是平面圖形中常用的五個模型之一，其特點是通過邊與面積的關(guān)系來解決問題。對于初學(xué)者來說，最重要的是理解什么是鳥頭模型并熟記它的特征。一、鳥頭模型的相關(guān)知識1.定義：兩個三角形中有一個角相等或互補（相加等于180度），這兩個三角形就叫共角三角形。這個模型就叫鳥頭模型。其中存在的比例關(guān)系就叫做共角定理。2.核心：比例模型有：二、鳥頭模型的原理剖析三、鳥頭模型的方法運用鳥頭模型解題四部曲：第一步：觀察：圖中是否有鳥頭模型第二步：構(gòu)造：鳥頭模型第三步：假設(shè)：線段長度或圖形面積第四步：轉(zhuǎn)化：將假設(shè)的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到鳥頭模型中計算例1：如圖，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面

2、積是6平方厘米，求三角形ABC的面積?第一步：標(biāo)條件第二步：確定等角位置A小夾邊AD×AE(小夾邊指的是：小三角形夾著等角A的兩邊)大夾邊AB×AC第三步：利用鳥頭模型結(jié)論SADE：SABC=小夾邊乘積:大夾邊乘積=(2×3):(5×4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面積是3份，三角形ABC的面積是10份。第四步：先除后乘算面積三角形ADE的面積是6平方厘米，對應(yīng)3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面積是10份，2×10=20平方厘米。例2：如圖，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形AB

3、C的面積是20平方厘米，求三角形CDE的面積?第一步：標(biāo)條件第二步：確定補角位置C小夾邊CD×CE(小夾邊指的是：小三角形夾著補角C的兩邊)大夾邊CA×CB第三步：利用鳥頭模型結(jié)論SCDE：SABC=小夾邊乘積：大夾邊乘積=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面積是1份，三角形ABC的面積是5份。第四步：先除后乘算面積三角形ABC的面積是20平方厘米，對應(yīng)5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面積是1份，4×1=4平方厘米。比例模型版塊威力最大且最難掌握的就是風(fēng)箏模型！風(fēng)箏模型命題很容易拉

4、開難度，既可以出基礎(chǔ)題，也可以作為爆難的華杯賽全國總決賽題目（2013年第18屆華杯賽全國總決賽筆試二試第4題），所以箏模型是各大杯賽命題老師非常喜歡考察的知識點。觀察發(fā)現(xiàn)，可以用來算比值的都是這個“風(fēng)箏的骨架”，而能算的面積都是骨架連起來之后構(gòu)成的三角形！所以應(yīng)用風(fēng)箏模型的時候，第一步是找“風(fēng)箏的骨架”，第二步是把骨架連起來，即先找叉叉，再包叉叉。命題老師最喜歡考的是標(biāo)紅的面積比，因為這種大塊的面積比較隱蔽，適合考察同學(xué)們在圖形中的觀察能力?！绢}目】沙漏模型【小升初奧數(shù)專題】幾何之五大模型(已更新完)2015-12-12 00:00幾何五大模型一、五大模型簡介（1）等積變換模型 

5、  1、等底等高的兩個三角形面積相等；    2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖所示，Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b；    3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖所示，Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b；    4、在一組平行線之間的等積變形，如圖所示，SsubACD/sub=SsubBCD/sub；反之，如果SsubACD/sub=SsubBCD/sub，       則可知直線AB平行于CD。    

6、                                  例、如圖，三角形ABC的面積是24，D、E、F分別是BC、AC、AD的中點，求三角形DEF的面積。                       

7、0;            （2）鳥頭（共角）定理模型    1、兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫共角三角形；    2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。   如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點                     

8、;                          則有：SsubABC/sub：SsubADE/sub=（AB×AC）：（AD×AE）    我們現(xiàn)在以互補為例來簡單證明一下共角定理！                      

9、;     如圖連接BE，根據(jù)等積變化模型知，SsubADE/sub：SsubABE/sub=AD：AB、SsubABE/sub：SsubCBE/sub=AE：CE，所以SsubABE/sub：SsubABC/sub=SsubABE/sub：（SsubABE/sub+SsubCBE/sub）=AE：AC，因此SsubADE/sub：SsubABC/sub=（SsubADE/sub：SsubABE/sub）×（SsubABE/sub：SsubABC/sub）=（AD：AB）×（AE：AC）。例、如圖在ABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且A

10、B：AD=5:2，AE：EC=3:2，ADE的面積為12平方厘米，求ABC的面積。                                       （3）蝴蝶模型    1、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)      例、如圖，梯形ABCD，AB與CD平行，對角線A

11、C、BD交于點O，已知AOB、BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面積。                          2、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：           例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3，且AO=2、DO=3

12、，求CO的長度是DO長度的幾倍。                            蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。（4）相似模型    1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個三角形相似；    2、尋找相似模型的大前提是

13、平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相       交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。    3、相似三角形性質(zhì)：      相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似比；      相似三角形周長的比等于相似比；      相似三角形面積的比等于相似比的平方。    相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！

14、60;                例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的長度是多少？                        （5）燕尾模型               

15、60;               由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì)：SsubABG/sub：SsubACG/sub=SsubBGE/sub：SsubCGE/sub=BE：CESsubBGA/sub：SsubBGC/sub=SsubGAF/sub：SsubGCF/sub=AF：CFSsubAGC/sub：SsubBGC/sub=SsubAGD/sub：SsubBGD/sub=AD：BD例、如圖，E、D分別在AC、BC上，且AE：EC=2:3

16、，BD：DC=1:2，AD與BE交于點F，四邊形DFEC的面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。                        二、五大模型經(jīng)典例題詳解（1）等積變換模型例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是12，那么陰影部分的面積是多少？               

17、0;                 例2、如圖所示，Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB、CD上的點，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求陰影部分三角形PQM的面積。                                &

18、#160;      （2）鳥頭（共角）定理模型例1、如圖所示，平行四邊形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四邊形ABCD的面積為2，求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比。                                       

19、0;                          例2、如圖所示，ABC的面積為1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求FGS的面積。                              

20、60;                （3）蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1，那么陰影部分面積為多少？                                   例2、如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2

21、、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC的面積。                                                               

22、60;  例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，E為AD的中點，F(xiàn)為CE的中點，G為BF的中點，求三角形BDG的面積。                                                    

23、60;                       （4）相似模型例1、如圖，正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點，GC=1/3FC,求陰影部分的面積。                                &#

24、160;  例2、如圖，長方形ABCD，E為AD的中點，AF與BD、BE分別交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E點，交AF于O點，已知AH=5,HF=3,求AG的長。                                               

25、0;                 （5）燕尾模型例1、如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求四邊形BGHF的面積。                                例2、如圖，在ABC中，BD=2DA、

26、CE=2EB、AF=2FC，那么ABC的面積是陰影GHI面積的幾倍？                                   例3、如圖，在ABC中，點D是AC的中點，點E、F是BC的三等分點，若ABC的面積是1，求四邊形CDMF的面積。            

27、60;                                                     三、鞏固練習(xí)1、如圖，在角MON的兩邊上分別有A、C、E、B、D、F六個點，并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面積都等于1，求D

28、CF的面積。                                           2、如下圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米，求三角形CDF的面積。            

29、0;                                3、如下圖，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四邊形DGFE面積占三角形ABC的幾分之幾？                     

30、0;                       4、如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四邊形ABCD的面積。                               

31、           5、邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面積。                                             6、如圖，一個長方

32、形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積為11，三角形BCH的面積為23，求四邊形EGFH的面積。                                              7、如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米?，F(xiàn)在要把它加工成一個正方形零件，是正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？