小學(xué)奧數(shù)同余問題

1、同余問題（一） 在平時解題中，我們經(jīng)常會遇到把著眼點放在余數(shù)上的問題。如：現(xiàn)在時刻是7時30分，再過52小時是幾時幾分？我們知道一天是24小時，也就是說52小時里包含兩個整天再加上4小時，這樣就在7時30分的基礎(chǔ)上加上4小時，就是11時30分。很明顯這個問題的著眼點是放在余數(shù)上了。1. 同余的表達(dá)式和特殊符號 37和44同除以7，余數(shù)都是2，把除數(shù)7稱作“模7”，37、44對于模7同余。 記作：（mod7）“”讀作同余。 一般地，兩個整數(shù)a和b，除以大于1的自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，就稱a、b對于模m同余，記作：2. 同余的性質(zhì) （1）（每個整數(shù)都與自身同余，稱為同余的反身性。） （2）若，那么

2、（這稱作同余的對稱性） （3）若，則（這稱為同余的傳遞性） （4）若，則（）（這稱為同余的可加性、可減性）（稱為同余的可乘性） （5）若，則，n為正整數(shù)，同余還有一個非常有趣的現(xiàn)象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 這是為什么呢？ k也就是的公約數(shù)，所以有 下面我們應(yīng)用同余的這些性質(zhì)解題?！纠}分析】例1. 用412、133和257除以一個相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，這個自然數(shù)最大是幾？分析與解答： 假設(shè)這個自然數(shù)是a，因為412、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以，說明a是以上三個數(shù)中任意兩數(shù)差的約數(shù)，要求最大是幾，就是求這三個差的最大公約數(shù)。 所以a最大是31。例2. 除以19，

3、余數(shù)是幾？分析與解答： 如果把三個數(shù)相乘的積求出來再除以19，就太麻煩了，利用同余思想解決就容易了。 所以 此題應(yīng)用了同余的可乘性，同余的傳遞性。例3. 有一個1997位數(shù)，它的每個數(shù)位都是2，這個數(shù)除以13，商的第100位是幾？最后余數(shù)是幾？分析與解答：這個數(shù)除以13，商是有規(guī)律的。 商是170940六個數(shù)循環(huán)，那么，即，我們從左向右數(shù)“170940”的第4個數(shù)就是我們找的那個數(shù)“9”，所以商的第100位是9。 余數(shù)是幾呢？則 所以商的個位數(shù)字應(yīng)是“170940”中的第4個，商應(yīng)是9，相應(yīng)的余數(shù)是5?！灸M試題】（答題時間：20分鐘）1. 求下列算式中的余數(shù)。 （1） （2） （3） （4）

4、2. 6254與37的積除以7，余數(shù)是幾？3. 如果某數(shù)除482，992，1094都余74，這個數(shù)是幾？同余問題（二）【例題分析】例1. 除以7，余數(shù)是幾？分析與解答：例2. 一個自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余1，這個自然數(shù)最小是幾？分析：假設(shè)這個自然數(shù)為a那么這道題考慮的困難是它們的余數(shù)不相同。如果把這道題改一下，使它們的余數(shù)相同，利用整除的知識，便容易考慮了，先看下面一道題：一個自然數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，這個自然數(shù)若減去2，便同時是3，5，7的倍數(shù)，這樣的自然數(shù)有：105，210，315，分別被3，5，7除余2的數(shù)是2，107，212，317，最小的自然數(shù)是2

5、。回過頭來看剛才的題，能不能把它也變?yōu)橛鄶?shù)相同的數(shù)呢？稍加變式，可以寫成：這樣同時是3，5，7倍數(shù)的數(shù)有105，210，315，那么同時被3，5，7余8的數(shù)有：8，113，218，323，其中最小的自然數(shù)為8。例3.在求51173526被7除的余數(shù)時，小明這樣做： 所以余數(shù)是5 劉老師說，小明的算法不僅正確，而且巧妙迅速，你知道其中的道理嗎？分析與解答： 看了下面的算式，你就會明白的。 小明用的這種方法，有比較廣泛的應(yīng)用，常稱之為“拼湊法”在解關(guān)于用幾除的余數(shù)的問題時，常常“拼湊”出顯然是幾的倍數(shù)的部分，對于這部分，簡直可以“置之不理”，這樣可以使解答過程簡化。例4. 除以3的余數(shù)是幾？為什么

6、？分析與解答： 在上式的加項中，顯然可以被3整除，因此只須計算被3除余數(shù)是幾。 由于 因此 由此可知，只須計算被3除的余數(shù)，它又等于被3除的余數(shù)。由于，所以 所以余數(shù)是1【模擬試題】1. 今天是星期日，再過天又是星期幾？2. 求除以3所得的余數(shù)。3. 某數(shù)除680，970和1521，余數(shù)相同，這個數(shù)最大是幾？4. 有一列數(shù)排成一行，其中第一個數(shù)是3，第二個數(shù)是7，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和，那么，第1997個數(shù)被3除，余數(shù)是幾？5. 若將一批貨物共千克裝入紙箱，每箱裝10千克，最后余多少千克？若每箱裝17千克，最后還余多少千克？6、1309被一個質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是21，求這個質(zhì)數(shù)。

7、7、1796被一個質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是24，求這個質(zhì)數(shù)。8、求2001×2000除以7的余數(shù)。9、求123×345+234×456除以11的余數(shù)。10、有一個大于1的整數(shù)，它除1000、1975、2001都得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少？11、有三個數(shù)1989、901和306被同一個自然數(shù)除，得到相同的余數(shù)，求這個自然數(shù)。12、兩個自然數(shù)相除，商15，余3，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是853，求被除數(shù)。8、兩數(shù)相除商40余7，被除數(shù)、除數(shù)、余數(shù)和商的和是710，求被除數(shù)。13、有一個數(shù)除以3余1，除以4余2，問這個數(shù)除以12，余數(shù)是幾？14、一個數(shù)除以5余1，除以

8、6余3，除以7余4，這個數(shù)最小是幾？15、3867×42531644351，求里的數(shù)。4937×68453379765，求里的數(shù)。16、兩個自然數(shù)相除，商8余16，被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和為265，求除數(shù)是多少？17、寫出除以8所得的商和余數(shù)（不為0）相同的所有的數(shù)。18、2002×2002-2001除以9的余數(shù)是多少？19、當(dāng)2002和1781除以某一個自然數(shù)，余數(shù)分別是2和1，那么這個數(shù)最大是多少？20、一個數(shù)除以17的余數(shù)是5，被除數(shù)擴(kuò)大2倍，余數(shù)是多少？21、有一個數(shù)，除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3 。這個數(shù)除以12，余數(shù)是多少。22、570被一個兩位數(shù)

9、除，余數(shù)是15，這個兩位數(shù)是多少？23、有一個數(shù)加上22的和被9除余3，這個數(shù)加上35的和被9被余幾？B組24、有一個整數(shù)，用它去除45，53，143得到的3個傷痕的和是20，這個數(shù)是多少？25、有一個數(shù)用它去除100，余數(shù)是1，用它去除50，余數(shù)是6，求這個數(shù)。26、把幾十個蘋果平均分成若干份，每份9個余8個，每份8個余7個每份4個余3個。這堆蘋果共有多少個？27、有一個數(shù)被5和11整除均余4，被3正好整除，這個數(shù)最小是幾？28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的兩位數(shù)。29、一個數(shù)能被3、5、7整除，若用11去除則余7，這個數(shù)最小是幾？30、小紅收數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組買奧數(shù)練習(xí)本的錢，她只記下

10、四組各交的錢，第一組6.3元，第二組7.7元，第三組6.3元，第四組9.1元，又知道每本練習(xí)本價格都超過1角，求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組共有多少人？（提示：練習(xí)本單價是總價的公約數(shù)。）31、五年級兩個班的學(xué)生一起排隊出操，如果8人排一行，多出一個人；如果11人排一行，同樣多出一個人。這兩個班最小共有多少人？（提示：如果減去一人那么人數(shù)就能被8和11整除了。）32、一個數(shù)被4除余3，被5除余4，被6除余5，這樣的數(shù)中最小的是幾？（提示：余數(shù)與除數(shù)有什么關(guān)系？）33、一筐蘋果，如果按5個一堆放，最后多出3個；如果按6個一堆放，最后多出4個；如果按7個一堆放，還多出1個；這筐蘋果至少有多少個？（提示：先滿足被7

11、除余1，再從中找出被6除余4）競賽題精選1、若2836，4582，5164，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為（ ）。（2001小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題決賽B卷）2、一個自然數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，則滿足這些條件的最小自然數(shù)是（ ）。（1996年我愛數(shù)學(xué)少年冬令營試題）3、某數(shù)除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么這個數(shù)的最小可能值是（ ）。（1998年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題預(yù)賽A卷）4、一個小于200的數(shù)，它除以11余8，除以13余10，那么這個數(shù)是（ ）。（1998年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題預(yù)賽B卷）5

12、、在一道有余數(shù)的除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)，商和余數(shù)的和是599，已知商是15，余數(shù)是12，請問，題目中的除數(shù)是多少？（廈門實小2000-2001學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)科競賽卷B組）同余問題提高訓(xùn)練1、求437×309×1993被7除的余數(shù)。2、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位數(shù)3、分別求滿足下列條件的最小自然數(shù)（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。4、有一個整數(shù),除300、262、205得到相同的余數(shù).這個整數(shù)是幾?5、今天是星期四，過14389天后是星期幾？6.試一試：糧庫有千

13、克大米，用每袋50千克的袋子裝，最后余下多少千克？7、 數(shù)2001，2232除以整數(shù)n，得到相同的余數(shù)，而且這個余數(shù)是合數(shù)，求n.8、用一個自然數(shù)去除715和903所得余數(shù)相同，且商相差4.求這個數(shù).9、若2836，4582，5146，6522四個自然數(shù)被一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為多少？10、有三個不同的三位數(shù)，它們分別除以a ，得到的余數(shù)相同而且是最大二位偶數(shù)，當(dāng)a為兩位數(shù)時，這三個數(shù)最小的和是多少？11、某年級有將近400名學(xué)生。有一次演出節(jié)目排隊時出現(xiàn)：如果每8人站成一列則多余1人；如果改為每9人站成一列則仍多余1人；結(jié)果發(fā)現(xiàn)現(xiàn)成每10人結(jié)成一列，結(jié)果還是多余1人；聰名的你知道該年級共有學(xué)生多少名嗎？12、希望小學(xué)六年級和五年級去春游，每輛車可乘36人.六年級先坐滿幾車，剩下的16人與五年級坐滿一車，五年級又坐滿若干車.到達(dá)目的地后，每一個五年級的學(xué)生和每一個六年級學(xué)生合影一張，每個膠卷可拍36張.全部學(xué)生照相完畢，最后一個膠卷還剩幾張未拍？ 13、甲、乙、丙、丁四個學(xué)校分別有69人、85人、93人、97人旅行.現(xiàn)在要把這四校學(xué)生分別進(jìn)行分組，并使每組的人數(shù)盡可能多，以便乘車參觀游覽.已