剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法

1、剛體對軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑在第一節(jié)中已經(jīng)知道，剛體對某軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)與該點(diǎn)到z軸距離平2方的乘積的總和，即 Jzmiri O如果剛體質(zhì)量連續(xù)分布，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫成(18-11)JzMr2dm由上面的公式可見，剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體質(zhì)量的大小以及質(zhì)量分布情況，而與剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，它永遠(yuǎn)是一個(gè)正的標(biāo)量。如果不增加物體的質(zhì)量但使質(zhì)量分布離軸 遠(yuǎn)一些，就可以使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大。例如設(shè)計(jì)飛輪時(shí)把輪緣設(shè)計(jì)的厚一些，使得大部分質(zhì)量集中在輪緣上，與轉(zhuǎn)軸距離較遠(yuǎn)，從而增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。相反，某些儀器儀表中的轉(zhuǎn)動(dòng)零件，為 了提高靈敏度，要求零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盡量小一些，設(shè)計(jì)時(shí)除了采用

2、輕金屬、 塑料以減輕質(zhì)量外，還要盡量將材料多靠近轉(zhuǎn)軸。Jz工程中常把轉(zhuǎn)動(dòng)慣量寫成剛體總質(zhì)量M與某一當(dāng)量長度的平方的乘積(18-12 )z稱為剛體對于z軸的回轉(zhuǎn)半徑（或慣性半徑），它的意義是，設(shè)想剛體的質(zhì)量集中在與z軸相距為 z的點(diǎn)上，則此集中質(zhì)量對 z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與原剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同。具有規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以通過計(jì)算得到，形狀不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量往往不是由計(jì)算得出，而是根據(jù)某些力學(xué)規(guī)律用實(shí)驗(yàn)方法測得。二、簡單形狀物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1 .均質(zhì)細(xì)直桿dm Mdx如圖18-7所示，設(shè)桿長為l ,質(zhì)量為M取桿上微段dx,其質(zhì)量為l ,則此12圖 18-7桿對zc軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jzc

3、2 02 x2dm3 2M 122 2x dx Ml對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑Jzc lz一 0.2891,M 2 32 .均質(zhì)細(xì)圓環(huán)如圖18-8所示均質(zhì)細(xì)圓環(huán)半徑為 R,質(zhì)量為M任取圓環(huán)上一微段，其質(zhì)量為 對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為_ 2_ 2Jz MR dm MR對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑3.均質(zhì)薄圓盤如圖18-9所示均質(zhì)圓盤半徑為R,質(zhì)量為M在圓盤上取半徑為 r的圓環(huán),則此圓環(huán)的dm 四 2 rdr質(zhì)量為R22M _r rdrR2圖 18-9對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JzdmR2M-rR231_ 23drMR22對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑zJ4 MR.20.707R18-1或機(jī)械設(shè)常見簡單形狀的均質(zhì)物體對通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑可

4、由表計(jì)手冊中查得。表18-1均質(zhì)簡單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（m表示形體的質(zhì)量）形體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回轉(zhuǎn)半徑均質(zhì)細(xì)桿、1 2J x J zml12Jy 04與x z Qy 012Jx J v - mr y 22 Jz mr2 xy r2z r制板M1112 Jx J v - mr y 412Jz mr 21xy "2 r&z 2r,1. 2Jx mb 4,12Jv ma y 4122Jz 4m(a b )x與21 y a2Ja2 b2z2上萍,>22JxJy Jz-mr5xyzJ10 r5三、平行移軸定理機(jī)械設(shè)計(jì)手冊給出的一般都是物體對于通過質(zhì)心的軸（簡稱質(zhì)心軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而有時(shí)需要物

5、體對于與質(zhì)心軸平行的另一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。平行移軸定理闡明了同一物體對于上述兩軸的不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系。設(shè)剛體的質(zhì)心為 C,剛體對過質(zhì)心的軸 z'的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Jz,對與z'軸平行的另外一 軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz,兩軸間的距離為 d,如圖18-10所示。分別以C、。兩點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角18-10坐標(biāo)系Cx y' z'和Oxyz,由圖可見其中Jz,JzXi,2 mj imi(x,2mi (x；yiyi2 yi)y2)代入得Jzm/x,2 mi(x,2(y'iy,2)d)22d2 mi (x'i,2mi yid2 一,2y,i 2dyi d )mimi y

6、i0,又mim,所以上式簡化因質(zhì)心C是坐標(biāo)系Cx' y' z'的坐標(biāo)原點(diǎn)，故為2(18-13 )J z J z' md上式表明：物體對于任一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于物體對平行于 z軸的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上物體質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。這就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理由公式（18-13）可知，在一組平行軸中，物體對于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。圓盤質(zhì)量例18-3鐘擺簡化力學(xué)模型如圖18-11所示，已知均質(zhì)桿質(zhì)量 m、桿長l ,n2、半徑R,求鐘擺對水平軸 0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖 18-11解 擺對水平軸。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于桿1和圓盤2對軸。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即Jo J10 J 20由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行移軸定理得所以J1O J1CJ2O J2Cm2(l R)/ l 2 m1(2)1 m2 R2-1m1l2122m2。1m1l2 m2(3R2 321m1l24R)22R1例18-4如圖18-12所示均質(zhì)等厚度板，單位面積的質(zhì)量為1.m1l33 m2( R22 2RlI2)12),大圓半徑為R挖去的小圓半徑為r,兩圓心的距離OO=a。試求板對通過。點(diǎn)并垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖 18-12解 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，板對。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于（沒有挖去小圓時(shí)）整個(gè)大圓對軸 。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J大圓。