屆高三文科數(shù)學(xué)立體幾何空間角專(zhuān)題復(fù)習(xí)

1、的角等于0(D)9B32015屆高三文科數(shù)學(xué)立體幾何空間角專(zhuān)題復(fù)習(xí)考點(diǎn)1：兩異面直線所成的角 例1.如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，AB=AD=,1 AA=2, M是棱CC的中點(diǎn)（I）求異面直線 AM和GD所成的角的正切值；（H）證明：平面ABML平面ABM例2. （2010全國(guó)卷1文數(shù)）直三棱柱ABC AB1cl中，若BAC 90 , AB AC AA1 ,則異面直線BA1與AC1所成(C(B)45(C)60(A)3090°變式訓(xùn)練:1. （2009全國(guó)卷II文）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1 =2AB , E 為 AA1 中點(diǎn)，則異面直線BE

2、與CD1所形成角的余弦值為（C ）(B)C)3 x1c10(D)2.如圖，直三棱柱 ABC AB1c1 , BCA 90 ,后分別是AB、AG的中點(diǎn),BC CACC則BD1與A所成角的余弦值是（A 30A. 一10C當(dāng) 口 .正15103. （2012年高考（陜西理）如圖，在空I可直角坐標(biāo)系中有直二棱ABCAB1C1, CA CC1 2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為2AB ,則異面直線AB與5555D.-A. C.%B. *第5題圖5. ( 2012年高考(四川文理)如圖，在正方體 ABCD A1BC1D1中，M、N分別是CD、CC1的 中點(diǎn)，則異面直線AM與DN所成角的大小是

3、.90o6. (2011年全國(guó)二文15)已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E為CiDi的中點(diǎn)，則異面直2線AE與BC所成角的余弦值為 . 237. 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，則異面直線ABi和BM所成的角的大小是 。8. (2011年上海文)已知ABCD ABCR是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高AA 2,求(1)異面直線BD與ABi所成角的余弦值； 叵 (2)四面體ABiDiC的體積.DA10考點(diǎn)2:直線與平面所成的角例3.正方體ABCD- AB1cl口中(A) 孚(B)與33例4. (2011年天津文17)如圖1 7,在四棱錐P ABCD中

4、，底面ABCD為平行四邊形， /ADC=45°, AD = AC=1,。為 AC 的中點(diǎn)，POL平面 ABCD, PO = 2, M 為 PD 的中點(diǎn). (1)證明PB/平面ACM; (2)證明ADL平面PAC;(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.圖1 7圖18【解答】(1)證明：連接BD, MO.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè) 為BD的中點(diǎn).又 M為PD的中點(diǎn)，所以 PB/ MO.因?yàn)镻B?平面ACM, MO?平面ACM, 所以PB/平面ACM.(2)證明：因?yàn)? ADC=45°,且 AD = AC=1,所以/ DAC = 90°,

5、 IP ADXAC.X PO! 平面 ABCD, AD?平面 ABCD,所以 POLAD.而 ACAPO=O,所以 AD,平面 FAC.1_ -(3)取DO中點(diǎn)N,連接MN, AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以 MN / PO,且MN=2PO =1.由POL平面 ABCD,得MN，平面ABCD,所以/ MAN是直線AM與平面ABCD所成1515的角.在 RtADAO 中，AD=1, AO=2,所以 DO = j-.從而 AN="DO= .ft RtAANM 中，tan/MAN = M1= J5=455,即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為455.4變式訓(xùn)練9. (20008福建卷理)

6、如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABGD中，AB=BC=2,AA=1,則BC與平面BBDD 所成角的正弦值為(D)AT第9題圖第10題圖第11題圖10. (2010四川文理15)如圖，二面角l的大小是60° ,線段AB .Bl,AB與l所成的角為30° .則AB與平面所成的角的正弦值是、311 .已知長(zhǎng)方體 ABCD AB1C1D1中DA 1,DC 2, DD1 3 ,求直線BB1與平面 A1BC1所成的角。12 .如圖，四棱錐P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD ,(I )求證：平面 AEC 平面PDB ；(H)當(dāng)PD AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面成的角的大小.1

7、3.12012高考天津文科17(本小題滿分13分)如圖，在四棱錐 P-ABCLfr,底面ABCD1矩形，ADL PDPC=2>/3 , PD=CD=2.(I )求異面直線PA與BC所成角的正切值；(II )證明平面PDCL平面ABCD(III )求直線PB與平面ABC所成角的正弦值?！窘馕觥?I) AD/BC PAD是PA與BC所成角點(diǎn)E在棱PB上.PDB所BC=1在 ADP 中，AD PD,AD BC 1,PD 2 tan PADPDAD異面直線PA與BC所成角的正切值為2(II ) AD PD,AD DC, PD I DC DAD 面 PDCQ AD 面 ABCD 平面 PDC(II

8、I )過(guò)點(diǎn)P作PE CD于點(diǎn)E ,連接平面ABCD BE平面PDC 平面ABCD PE 面ABCD PBE是直線PB與平面ABCD所成角C 15C. 5在 Rt BCE 中，BE VBC2 CE2 而 PB "BE2 PE2 VT3在Rt BPE中，sin PBE 比 運(yùn)PB 13得：直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為 叵1314.12012高考湖南文19(本小題滿分12分)如圖6,在四棱錐P-ABCD, PAL平面ABCD底面ABC此等腰梯形，AD/ BC AC1 BD.(I )證明：BD)± PC(H)若AD=4 BC=2直線PD與平面PAC所成的角為30°

9、; ,求四棱錐P-ABCD勺體積.【答案】【解析】(I)因?yàn)镻A 平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA BD.又AC BD, PA, AC是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以 BD 平面PAC而PC 平面PAC所以BD PC.(H)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)。，連接PQ由(I )知，BD平面PAC所以 DPO是直線PDft平面PACT成的角，從而 DPO 30o.由BD 平面PAC PO 平面PAC知BD PO.在 RtVPOD 中，由 DPO 30°,得 PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BC時(shí)等腰年$形，AC BD ,所以VAOD,VBOC均為等腰直角三角形，1 11 一一從而梯形ABCD

10、勺圖為-AD -BC - (4 2) 3,于是梯形ABCDS積 2222 在等腰二角形AOD中，OD 一, AD 2 2,2所以 PD 2OD 4.2,PA PD2 AD2 4.11故四棱錐P ABCD的體積為V - S PA - 9 4 12.33【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問(wèn)只要證明BD平面PAC即可，第二問(wèn)由(I)知，BD平面PAC所以 DPO是直線1PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的圖，由 VS PA算得體積. 315. (2011年 湖南文19)如圖15,在圓錐PO中，已知PO = V2,。的直徑AB=2, 點(diǎn)C在

11、aB上，且/CAB = 30°, D為AC的中點(diǎn).(1)證明：AC,平面POD;(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.圖15課標(biāo)文數(shù)19.G5, G112011湖南卷【解答】(1)因?yàn)镺A= OC, D是AC的中點(diǎn)，所以ACXOD.又POL底面。O, AC?底面。0,所以ACXPO.而OD, PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC,平面POD.(2)由(1)知，AC,平面POD,又AC?平面PAC, 所以平面POD，平面PAC.在平面POD中，過(guò)。作OHLPD于H,則OHL平面PAC.圖16連結(jié)CH ,則CH是OC在平面PAC上的射影，所以/ OCH是直線OC和平面PAC所

12、成的角.=2.在 RtzXODA 中，OD = OAsin30在 RtAPOD 中，1 3 . 2+4PO OD X222oh = #o2+od2在 RtzXOHC 中，sin/OCH=OH=*.OC 3故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為 字.考點(diǎn)3:二面角P ABCD 中，AB AC , PA 平面 ABCD ,P例5. 11.如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐 且PA AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(I )求證：AC PB ;(H)求證：PB 平面AEC;(m)求二面角E AC B的大小.例6. (2011浙江文20)如圖1 7,在三棱錐 ABC中，AB = AC, D為BC的中點(diǎn)，POL平

13、面ABC,垂足O落在線段AD上.(1)證明：APXBC;(2)已知 BC=8, PO=4, AO=3, OD = 2, 求二面角B AP C的大小.圖1 7課標(biāo)文數(shù)20.G112011浙江卷【解答】(1)證明：由AB=AC, D是BC中點(diǎn)，得AD XBC,又 POL平面 ABC,得 POXBC,因?yàn)镻OAAD = O,所以BCL平面PAD,故BCXAP.(2)如圖，在平面APB內(nèi)作BMLPA于M,連CM.因?yàn)锽CXFA,得FAL平面BMC,所以APXCM.故/ BMC為二面角B-AP-C的平面角.在 RtADB 中，AB2 = AD2+BD2 = 41,得 AB = M.在 RtPOD 中，P

14、D2=PO2+OD2,在 RDPDB 中，PB2=PD2+BD2,所以 PB2=PO2 + OD2+BD2 = 36,得 PB = 6.在 RtPOA 中，PA2 = AO2+OP2 = 25,得 PA=5.又 cos / BPA=PA2 PB2AB2 1從而 sin/BPA=故 BM = PBsin/2PA PB3,2 23 .BPA=4M2.同理 CM = 4，2.因?yàn)?BM2+MC2=BC2,所以/ BMC = 90°,即二面角B AP C的大小為90°.變式訓(xùn)練:16. (09陜西文)如圖，直三棱柱 ABC A1B1cl中,AB=1, AC AA1J3, /ABC=

15、60.(I )證明：AB A1C ;(H)求二面角A- ACB的正切值。17 . (07湖南文)如圖3,已知直二面角AiCA CB ,B C ，CiBAP 45 ,直線CAffi平面 所成的角為(I )證明 BC PQ ;(n)求二面角BAC P的正切值.18 .如圖,在三棱錐P ABC 中，AC BC(I )求證：PC (H)求二面角BAB ;AP C的大小;,A B1PQ2,圖3A .BACB30o.BAP BPAT A(m)求點(diǎn)C到平面APB的距離.2.如圖，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB = 2, BB>4lBC /jC證明：(1)在長(zhǎng)方體ABCD- ABGD中,連

16、結(jié)1為D1C1的中點(diǎn),EB揖、AB= 2, BB/ A=BC=/51, E為DG的中點(diǎn).DDE為等腰直角三角形，/DED=45°.同理/ CEO45°.DEC 90 ,即 DEL EC在長(zhǎng)方體ABCD- ABC1D1中，BCL平面D1DCC1,又DE 平面 D1DCC1,BC± DE 又 EC BC C, .DEL 平面 EBC平面DEB過(guò)DE,平面DEBL平面EBC鞏固與提高c1.如圖5所示，在正方體ABCD- A1B1GD中，E是棱DD的中也. ( I )求直線BE與平面ABBA1所成的角的正弦值；(H)在棱CD上是否存在一點(diǎn)F,使B1F/平面ABE?證明你的

17、結(jié)論ED, EC, EB 和 DB.(1)求證：平面 EDB,平面EBC;(2)解：如圖，過(guò)E在平面D1DCC1中作于 O.在長(zhǎng)方體 ABCQ A1B1C1D1 中，二面 ABCD_EQL DC面AiE(2)求二面角EDB C的正切值.DiDCCi ,E”面 ABCD 過(guò) O在平面 DBCHOF DB于 F,連結(jié) EF,EF± BD / EFO為二面角E- DB- C的平面角.利用平面幾何知識(shí)可得 O三二，(第18題),5又 OE= 1,所以，tan EFd 非.3 .如圖，正方體 ABCD A1B1clD1中，E是DD1的中點(diǎn).(1)求證：BD1 / 平面 AEC ; 求BC1與平

18、面ACC1A1所成的角.4 .2014湖南卷文如圖1-3所示，已知二面角o-MN-B的 為60° ,菱形ABCD在面B內(nèi)，A, B兩點(diǎn)在棱 MN上， /BAD=60° , E是AB的中點(diǎn)，DO,面 垂足為O.圖1-3(1)證明：AB，平面ODE;(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.18.解：(1)證明：如圖，因?yàn)镈O，% AB? a ,所以 DO LAB.連接BD,由題設(shè)知， ABD是正三角形，又 E /"/ 是AB的中點(diǎn)，所以DELAB.而DOADE = D,故AB，平面 ODE.(2)因?yàn)锽C/AD,所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即/AD

19、O是BC 與OD所成的角.由(1)知，ABL平面 ODE,所以 ABXOE.X DEXAB,于是/ DEO 是二面角 o-MN-0 的平面角，從而/ DEO = 60° .不妨設(shè)AB = 2,則AD = 2,易知DE = V3.。3在 RtDOE 中，DO = DEsin 60 =2.連接 AO,在 RtAAOD 中，cos/ ADO=DO = AD3232 = 4.3故異面直線BC與OD所成角的余弦值為3.5. ( 2009浙江卷文)(本題滿分14分)如圖，DC 平面ABC , EB/DC ,AC BC EB 2DC 2, ACB 120°, P,Q 分別為 AE, AB

20、 的中點(diǎn).(I)證明：PQ/平 面ACD ; (II )求AD與平面ABE所成角的正弦值.1(I )證明：連接DP,CQ , 在 ABE中，P,Q分別是AE,AB的中點(diǎn)，所以PQ/BE , 21又DCBE ,所以PQDC ,又PQ 平面ACD , DC平面ACD 所以PQ/平面ACD（H）在 ABC 中，AC BC 2, AQ BQ ,所以 CQ AB而DC 平面ABC EB/DC ,所以EB 平面ABCE而EB 平面ABE 所以平面ABE平面ABC 所以CQ 平面abery由（I）知四邊形DCQ灌平行四邊形，所以DP/CQ/Jf所以DP 平面ABE所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP, 所

21、以直線Ag平面ABE!ff成角是 DAPA在 RtAPD 中，AD VAC1_DC J22 12 J5 , DP CQ 2sin CAQ 1所以sin DAPDP 1 吏AD 5 T6. （2009湖北卷文）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S= ABCD勺底面是正方形,SD1 平面 ABCD,SD=AD- a,點(diǎn) E 是 SD上于是,DF=AD ?DEAE的點(diǎn)，且DE= a（0< 三1）.（I）求證：對(duì)任意的（0、1）,者B有AS BE:（II）若二面角C-AE-D的大小為600C,求 的值。 本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置 系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論

22、 能力和運(yùn)算求解能力。（滿分12分）（I ）證發(fā)1:連接BD由底面是正方形可得 AC BQSD 平面A B C D ,BD是BE在平面ABCOt的射影,由三垂線定理得 AC BE.（II）解法 1: SD 平面 ABCD CD 平面A BCD,SD CD.又底面ABCD是正方形，CD AD,又S D AD=D CD 平面SAD過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)彳ft DF AE于F,連接CF,貝U CF AE,故 CF皿二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60在 RQ ADE中， AD=a , DE= a , AE= a J 2 1DF在 RtzXCDF中，由 cot60 ° = CD 2 1

23、(0,1,解得.2即，3 2 3 =37. 2014天津卷文如圖1-4所示，四棱錐P - ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD =<2, AD = 2, PA=PD = J5, E, F 分別是棱 AD, PC 的中點(diǎn).(1)證明：EF/平面PAB;(2)若二面角 P-AD-B 為 60° .(i)證明：平面 PBC，平面ABCD;(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.17.解：(1)證明：如圖所示，取PB中點(diǎn)M,連接MF, AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，所以 一 一1 一MF / BC,且MF = 2BC.由已知有BC/ AD, BC = AD,又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF /AE 且MF=AE,故四邊形 AMFE為平行四邊形，所以EF/AM.又AM?平面FAB,而EF?平面 FAB,所以EF /平面PAB.(2)(i)證明：連接PE, BE.因?yàn)镻A=PD, BA=BD,而E為AD中點(diǎn)，所以PEXAD, BEXAD,所以/ PEB為二面角P - AD -B的平面角.在 PAD中，由PA=PD = M5, AD =2,可解得 PE = 2.在4ABD 中，由 BA= BD=>/2, AD=2,可解得 BE=1.在APEB 中， PE=2, BE=1, /PEB=60?,由余弦定理,可解得 PB=>/3