2020-2021中考數(shù)學(xué)—平行四邊形的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)附答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)一平行四邊形的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)附答案一、平行四邊形1.（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們 解決幾何問題的途徑之一.例如：張老師給小聰提出這樣一個(gè)問題：如圖1,在4ABC中，AB=3, AD=6,問4ABC的高 AD與CE的比是多少？ 小聰?shù)挠?jì)算思路是：1 1根據(jù)題意得：Sa abc= BC?AD= AB?CE22一AD1從而得 2AD=CE,CD 1CE 2請(qǐng)運(yùn)用上述材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2,在？ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD, CD上，且AF=CE并相交于點(diǎn) O,連接BE、 BF,求證

2、：BO平分角 AOC.（2）（探究延伸）如圖3,已知直線 m/ n,點(diǎn)A、C是直線m上兩點(diǎn)，點(diǎn)B、D是直線n上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線 段CD中點(diǎn)，且/APB=90,兩平行線 m、n間的距離為4.求證：PA?PB=2AB（3）（遷移應(yīng)用）如圖4, E為AB邊上一點(diǎn)，ED± AD, CE!CB,垂足分別為 D, C, / DAB=/ B, AB=64, BC=2, AC=J26,又已知 M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接 DM、CN.求 DEM與 CEN的周長之和.圖3【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 5+J34【解析】 分析：（1）、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 4ABF和4BCE的面積

3、相等，過點(diǎn) B作OGLAF于G, OHCE于H,從而得出 AF=CE然后證明 BOG和 BOH全等，從而得出 /BOG=/ BOH,即角平分線；（2）、過點(diǎn)P作PG±n于G,交m于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)得 出4CPF和4DPG全等，延長 BP交AC于E,證明4CPE和4DPB全等，根據(jù)等積法得出 AB=APX PB從而得出答案；（3）、，延長 AD, BC交于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AF，BC于F,設(shè)CF=x,根據(jù)RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根據(jù)等積法得出 AE=2DM=2EM, ill，1，,口，V 八一八、土BE=2CN=2EN DM+CN= AB,從而得出兩個(gè)二角形的周長之

4、和.同理：EM+EN= AB2詳解：證明：（1）如圖2,二四邊形ABCD是平行四邊形,Saabif= ' Sabcd, Sa bcSabcd,& abf=Sabce;)過點(diǎn)B作OGAF于G, OH± CE于H,Sa abiAFX BGSabcCEX BHyAFX BEX B HP： AFX BG=CE X B HAF=CE ，BG=BH,在 RtBOG 和 RtBOH 中,眥BO.時(shí)二BH RtA BO8 RtA BOH,/ BOG=Z BOH, OB 平分 / AOC,(2)如圖 3,過點(diǎn) P作 PG± n 于 G,交 m 于 F, v m / n, .

5、.PFl AC,/ CFP=/ BGP=90 ,° .點(diǎn) P 是 CD 中點(diǎn)，rZCKP=ZDCP.PF=PG= FG=2,在 CPF 和 4DPG 中，4 cp = DP, .CP陣DPG,ZCPF=ZDPG延長 BP 交 AC于 E, m / n, . / ECP玄 BDP, . CP=DP在 CPE 和 4DPB 中，CP=DP ,ACPEADPB, . PE=PB./CPE =/DFB / APB=90 ,°AE=AB,Saape=Saapb,區(qū)11. Saape= AEX PF=AE=ABSaapb= APX PB .AB弓APX PB 即：PA?PB=2AB(3

6、)如圖 4,延長 AD, BC交于點(diǎn) G,/BAD=/ B, .AG=BG,過點(diǎn) A 作 AF± BC于 F,設(shè) CF=x (x>0) , . BF=BC+CF=x+2 在 RtABF 中，AB=信，根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2 - BF2=34 - (x+2) 2,在 RtACF 中，AC=/醞,根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2 - C盧=26 - x2,-J - cBGX CE=BG(DE+CE , 上 .34 - (x+2) 2=26- x2,x=- 1 (舍)或 x=1, AF=J &-工？ =5,連接 EG, ''' SLabg=2&q

7、uot;BGX AF=Seg+Sa BEG= AGX . DE+CE=AF=5 在 RtADE 中，點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，. . AE=2DM=2EM,同理：BE=2CN=2EN -.AB=AE+BE . 2DM+2CN=AB, . DM+CN=-AB,2同理：EM+EN=AB . .口£“ 與 CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN = DE+CE+ (DM+CN) + (EM+EN) =(DE+CN +ab=5+/34.-1 h J圖3YG點(diǎn)睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形的等積法，綜合性非常 強(qiáng)，難度較大.在解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是作出輔助

8、線，然后根據(jù)勾股定理和三角形全等 得出各個(gè)線段之間的關(guān)系.2.在四邊形 ABCD中， B D 180 ,對(duì)角線 AC平分 BAD.(1)如圖1,若 DAB 120 ,且 B 90 ,試探究邊 AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量 關(guān)系并說明理由.(2)如圖2,若將(1)中的條件“ B 90 ”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理 由.(3)如圖3,若 DAB 90 ,探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】(1) AC AD AB.證明見解析;2)成立；(3) AD AB J2AC .理由見解析.試題分析：(1)結(jié)論：AC=AD+AB,只要證明AD= 1 AC, AB=1 AC即可

9、解決問題;(2) (1)中的結(jié)論成立.以 C為頂點(diǎn)，AC為一邊作/ ACE=60 , / ACE的另一邊交 AB延 長線于點(diǎn)E,只要證明DA8 4BEC即可解決問題；(3)結(jié)論：AD+AB= J2AC.過點(diǎn)C作CE，AC交AB的延長線于點(diǎn)E,只要證明4ACE是等腰直角三角形， DA8 BEC即可解決問題;試題解析：解：（1） AC=AD+AB理由如下：如圖1中，D圖1在四邊形 ABCD中，/ D+Z B=180° , / B=90°,/ D=90 ； / DAB=120 , ° AC 平分 / DAB,Z DAC=Z BAC=60 ； / B=90 ,°

10、1 一 1 一 AB= AC,向理 AD= AC.22.AC=AD+AB.(2) (1)中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作/ACE=60,/ACE的另/ BAC=60 ,° .AEC為等邊三角形， .AC=AE=CE / D+Z ABC=180DAB=120 ,°/ DCB=60 ；d D DCA=Z BCE, / D+Z ABC=180 , ° Z ABC+Z EBC=180,. ./D=/CBE .CA=CE.DACABEC；.AD=BE,.AC=AD+AB.(3)結(jié)論：AD+AB=石AC.理由如下：E, ZD+Z B=180° , /

11、 DAB=90 ,過點(diǎn)C作CH AC交AB的延長線于點(diǎn)DCB=90 ,° / ACE=90,°/ DCA=Z BCE,又. AC平分A DAB,/ CAB=45 ,°/ E=45 ,°.AC=CE又,. /+/ ABC=180 , /D=/CBE .CDAACBE.AD=BE, .AD+AB=AE在 RtA ACE 中,/ CAB=45 ,AE= = /ACCOS45AD AB= 2AC.3 .在圖1中，正方形 ABCD的邊長為a,等腰直角三角形 FAE的斜邊AE= 2b,且邊AD和 AE在同一直線上.操作示例當(dāng)2bva時(shí)，如圖1,在BA上選取點(diǎn) G,使

12、BG= b,連結(jié)FG和CG,裁掉4FAG和4CGB并分別拼接到4FEH和4CHD的位置構(gòu)成四邊形 FGCH 思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將 FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4FEH的位置，易 知EH與AD在同一直線上.連結(jié) CH,由剪拼方法可得 DH=BG,故CHgCGB,從而又可將4CGB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到4CHD的位置.這樣，對(duì)于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1）,過點(diǎn)F作FMLAE于點(diǎn)M （圖略），利用 SAS公理可判斷HFMCHD,易 得FH=HC=GC=FG /FHC=90.進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.實(shí)踐探究（1）正方形F

13、GCH的面積是；（用含a, b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請(qǐng)你就圖 2圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖.聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng) bWa時(shí)，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移.當(dāng) b>a時(shí)（如圖5）,能否剪拼成一個(gè)正方形？若 能，請(qǐng)你在圖5中畫出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡要說明理由.圉5【答案】（1） a2+b2; （2）見解析；聯(lián)想拓展：能剪拼成正方形.見解析.【解析】分析：實(shí)踐探究：根據(jù)正方形FGCH的面積=BG2+BC2進(jìn)而得出答案；應(yīng)采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠(yuǎn)等

14、于等腰直角三角形斜邊的一半.注意當(dāng) b=a時(shí)，也可直接沿正方形的對(duì)角線分割.詳解：實(shí)踐探究：正方形的面積是：BG2+BC2=a2+b2;剪拼方法如圖2-圖4;圖2S3回4聯(lián)想拓展：能，剪拼方法如圖5 （圖中BG=DH=b）.圄5點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和動(dòng)手操作能力；運(yùn)用類比方 法作圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長度與某條線段的比值永遠(yuǎn)相等，旋 轉(zhuǎn)的三角形，連接的點(diǎn)都應(yīng)是相同的.4 .已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，。為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線EF分別交AD, BC于E, F兩點(diǎn)，連結(jié)BE, DF.(1)求證：ADO三BOF.(2)當(dāng)/ D

15、OE等于多少度時(shí)，四邊形 BFDE為菱形？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)/DOE=90。時(shí)，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】試題分析：(1)利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出DOmBOF(ASA)；(2)首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED即可得出答案.試題解析：(1) :在？ABCD中，。為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，BO=DO, / EDB=Z FBQ在 EOD和AFOB中上EDO = 4目FDO = B0四?？?二“OB.,.DOEABOF (ASA)；(2)當(dāng)/DOE=90時(shí)，

16、四邊形 BFDE為菱形，理由：.DO三 BOF, OE=OF,又.OB=OD,二.四邊形EBFD是平行四邊形，/EOD=90； .-.EF± BD,四邊形 BFDE為菱形.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.5.如圖，ABCD是正方形，點(diǎn) G是BC上的任意一點(diǎn)， DE，AG于E, BF/ DE,交AG于F.【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形 ABCD為正方形，可得出 /BAD為90°, AB=AD,進(jìn)而得到 Z BAG與/EAD互余， 又DE垂直于AG,得到/EAD與/ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出/ ADE=/BAF,利用AAS可得出

17、ABFDAE;利用全等三角的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BF=AE由AF-AE=EF等量代換可得證.【詳解】.ABCD是正方形，.AD=AB, Z BAD=90 °.DEXAG, / DEG=Z AED=90 ° / ADE+/ DAE=90 °又 / BAF+/ DAE=Z BAD=90 , / ADE=Z BAF.1. BF/ DE, / AFB=Z DEG=Z AED.在 ABF與 DAE中，AFB AEDADE BAF , AD AB.ABFADAE (AAS).BF=AE.AF=AE+EF .AF=BF+EF 點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩

18、形的判定與性質(zhì)，熟練掌 握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.6.如圖(1)在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AE,彳BF，AE,垂足為G 交AD于F(1)求證：AF=DE;(2)連接DG,若DG平分/EGF如圖(2),求證：點(diǎn) E是CD中點(diǎn)；(3)在(2)的條件下，連接 CG,如圖(3),求證：CG= CD.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) CG= CD,見解析.【解析】【分析】(1)證明ABAF AADE (ASA)即可解決問題.(2)過點(diǎn)D作DMGF, DNLGE,垂足分別為點(diǎn) M, N.想辦法證明 AF= DF,即可解決 問題.(3)延長AE, BC交于點(diǎn)P,由(2)知D

19、E= CD,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，只要 證明BC= CP即可.【詳解】(1)證明：如圖1中，B卻在正方形 ABCD中，AB = AD, Z BAD= Z D= 90°, / 2+/ 3=90 °又 ; BF± AE,/ AGB= 90 °/ 1 + Z 2=90 °,/ 1= / 3在 BAF與AADE中， /1 = /3 BA=AD/BAF=/ D, .BAFMDE (ASA).AF= DE.(2)證明：過點(diǎn) D作DMGF, DNGE,垂足分別為點(diǎn) M, N.B圖2由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90°, AB

20、= AD2 .BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF3 .AFGADFM (AAS),1- 1 -4 " AF = DF= DE= AD= CD22即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).(3)延長AE, BC交于點(diǎn)P,由(2)知DE= CD,凡1圖3/ ADE= / ECP= 90 °, / DEA= / CEP5 .ADEAPCE (ASA).AE= PE,又 CE/ AB,BC= PC,在 RtBGP 中， BC= PC, 1-.CG= -BP= BC,2

21、.CG= CD.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性 質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問 題，屬于中考?jí)狠S題.7. (1)如圖1,將矩形ABCD折疊，使BC落在對(duì)角線BD上，折痕為BE ,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，若/ ADB 42o，則 DBE的度數(shù)為 0.(2)小明手中有一張矩形紙片 ABCD, AB 4, AD 9.(畫一畫)如圖2,點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊 AD上，將紙片折疊，使 AB落在CE所在 直線上，折痕設(shè)為 MN (點(diǎn)M , N分別在邊AD , BC上)，利用直尺和圓規(guī)畫出折痕 MN (不寫作法，保

22、留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚)；(算一算)如圖3,點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊 BC上，將紙片折疊，使 FB落在射線FD 上，折痕為GF ,點(diǎn)A,B分別落在點(diǎn)a,b處，若AG 7,求BD的長.【答案】(1) 21； (2)畫一畫；見解析；算一算：BD 3【解析】【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；(2)【畫一畫】，如圖 2中，延長BA交CE的延長線由G,作/BGC的角平分線交 AD于M,交BC于N,直線MN即為所求；7 20 【算一算】首先求出 GD=9- ，由矩形的性質(zhì)得出 AD/ BC, BC=AD=9由平行線的33性質(zhì)得出/ DGF=Z BFG,由翻折不變性可知，

23、/ BFG=Z DFG,證出/ DFG=Z DGF,由等腰三角形的判定定理證出 DF=DG=20 ,再由勾股定理求出 CF,可得BF,再利用翻折不變性， 3可知FB' =FB由此即可解決問題.【詳解】(1)如圖1所示:DEC四邊形ABCD是矩形,.AD/ BC,/ ADB=Z DBC=42 ；由翻折的性質(zhì)可知，/DBE=/EBC/DBC=21 °2故答案為21 .(2)【畫一畫】如圖所示:【算一算】如3所示:2037 .GD=9 -3 四邊形ABCD是矩形， .AD/BC, BC=AD=9,/ DGF=Z BFG,由翻折不變性可知，/ BFG=Z DFG,/ DFG=Z DG

24、F,20DF=DG=一 ，3. CD=AB=4, /C=90；在 RtCDF中，由勾股定理得：CF=jDF2 CD2 2 2042 16，3316 . BF=BC-CF=9 311一,3由翻折不變性可知,11fb=fb L,3,20.B D=DB -311 3.3【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平 行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決 問題.8.（感知）如圖，四邊形 ABCD CEFG均為正方形.可知 BE=DG.（拓展）如圖 ，四邊形 ABCR CEFG勻?yàn)榱庑危?/A=/F.求證：BE=DG（應(yīng)

25、用）如圖 ，四邊形ABCR CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在AD延長線上.若AE=2ED, ZA=ZF, EBC的面積為8,菱形CEFG的面積是.（只填結(jié)【解析】CEFG均為菱形，禾1J用 SAS易證得試題分析：探究：由四邊形 ABCD四邊形 BCEDCG 貝U可得 BE=DG;應(yīng)用：由 AD/ BC, BE=DG 可得 Saabe+Sacde=Sbec=Scdg=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面積，繼而求得答案.試題解析：探究：二.四邊形ABCR四邊形CEFG勻?yàn)榱庑危珺C=Cq ce=cg / bcd=z A, / ECG之 F. / a=z f,/ BCD=Z ECG

26、 / BCD-/ ECD=Z ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在4BCE和4DCG中,BC=CDBCE= DCGCE=CG.,.BCEADCG (SAS , BE=DG.應(yīng)用：二.四邊形ABCD為菱形,2 .AD/ BC,3 BE=DG,Sa abe+Sa cde=Sa bec=Sa cdg=8 ,4 .AE=3ED,Sa cde= - 82 ,4Sa ecGtSa cde+Sa cdG=10二. S 菱形 cefGf2Sa ecg=20.9.如圖，現(xiàn)將平行四邊形 ABCD沿其對(duì)角線 AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.AB與CD交于 點(diǎn)E.(1)求證：AE44CEB'(2

27、)過點(diǎn)E作EH AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形 AECF的形狀并給予證明.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)由題意可得 AD=BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB；利用AAS證明全等，貝U結(jié) 論可得；(2)由AEgCEB可得AE=CE且EF±AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF Z CEF=Z AFE=Z AEF,可得 AE=AF,貝U可證四邊形 AECF是菱 形.【詳解】證明：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D;平

28、行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC.ADEAB'EC(2)四邊形AECF是菱形 .ADEAB'EC，AE=CE . AE=CE) EF± AC EF垂直平分 AC, /AEF=/CEF .AF=CF1. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE.-.AF = AE= CE= CF四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)

29、，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.10.如圖1,在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別是邊 BC, AB上的點(diǎn)，且 CE=BF連接DE, 過點(diǎn) E 作 EGJ± DE,使 EG=DE 連接 FG, FC.(1)請(qǐng)判斷：FG與CE的關(guān)系是 一；(2)如圖2,若點(diǎn)E,F分別是邊CB,BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3)如圖3,若點(diǎn)E,F分別是邊BC,AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷.和亞郅【答案】(1) FG=CE FG/ CE; (2)成立；(3)成立.【解析】試題分析：(1

30、)只要證明四邊形 CDGF是平行四邊形即可得出 FG=CE, FG/ CE;(2)構(gòu)造輔助線后證明 HGECED利用對(duì)應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出 FG=C, FG/ CE;(3)證明4CB除4DCE后，即可證明四邊形 CEGF是平行四邊形.試題解析：解：(1) FG=CE, FG/ CE;(2)過點(diǎn)G作GHCB的延長線于點(diǎn) H. -. EGl DE, / GEH+Z DEC=90 : / GEH+Z HGE=90 ；/ DEC=Z HE.在 HGE與ACED中， . /GHE=/ DOE, ZHGE=ZDEC, EG=DE, . .HG三CED (AAS) , .

31、 GH=CE, HE=CD. 1. CE=BF, ，GH=BF. . GH/BF,，四邊形 GHBF是矩形，. GF=BH, FG/ CH, .FG/ CE .四邊形 ABCD是正方形，. . CD=BC, . . HE=BC, . . HE+EB=BC+EB, . . BH=EC, . FG=EC；(3)二.四邊形 ABCD是正方形，BC=CD, / FBC=/ECD=90°.在 CBF與 ADCE中， . BF=C匕 /FBG/ECQ BC=DC, .1.ACBFADCE (SAS , . / BCF=/CDE, CF=DE. EG=DE, . . CF=EG. / DEXEG,

32、 . / DEG/CEG=90/ Z CDE+Z DEC=90 °, / CD曰/CEG,Z BCF=Z CEG, . CF/ EG,，四邊形 CEGFR亍四邊形，z. FG/ CEFG=CE11.在VABC中， ABC 900, BD為AC邊上的中線，過點(diǎn) C作CE BD于點(diǎn)E,過 點(diǎn)A作BD的平行線，交 CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取 FG BD ,連接BG, DF.1 求證：BD DF ;2求證：四邊形 BDFG為菱形；3若AG 5, CF 后,求四邊形BDFG的周長.G【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3） 8【解析】【分析】1利用平行線的T生質(zhì)得到CFA

33、90°,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，2利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用 1得結(jié)論即可得證，3設(shè)GF x,則AF 5 x,利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關(guān)系，解出x即可.【詳解】1 證明：QAG /BD , CF BD ,CF AG ,又Q D為AC的中點(diǎn)，1 -DF AC ,2 1 _又Q BD AC , 2BD DF ,2 證明：QBD/ /GF, BD FG ,四邊形BDFG為平行四邊形，又Q BD DF ,四邊形BDFG為菱形，3 解：設(shè) GF x ,則 AF 5 x , AC 2x ,在 RtVAFC

34、中，(2x)2 (77)2 (5 x)2,解得：xi 2, x216(舍去)，3GF 2,菱形BDFG的周長為8.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識(shí)，正確掌握這些 定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵.12.猜想與證明：如圖1,擺放矩形紙片 ABCD與矩形紙片ECGF使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF,若M為AF的中點(diǎn)，連接 DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你 的結(jié)論.拓展與延伸：(1)若將"猜想與證明 中的紙片換成正方形紙片 ABCD與正方形紙片ECGF其他條件不 變，則DM和ME的關(guān)系為 .(2)如圖2擺

35、放正方形紙片 ABCD與正方形紙片 ECGF使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF 的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立.【答案】猜想：DM=ME,證明見解析；（2）成立，證明見解析【解析】試題分析：延長 EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到 AD/I EF,得到 FME和 AMH全等，得到 HM=EM,根據(jù)RtHDE得到HM=DE,則可以得到答案；（1）、延長 EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到 AD/ EF,得到4FME和4AMH全等，得 到HM=EM,根據(jù)RtHDE得到HM=DE,則可以得到答案；（2）、連接AE,根據(jù)正方形 的性質(zhì)得出 /FCE=45, /FCA=

36、45,根據(jù) RTA ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根據(jù)RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME ,從而說明 DM=ME.試題解析：如圖1,延長EM交AD于點(diǎn)H,二四邊形ABCD和CEF%矩形，.AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,二 HAM在 FME 和 AAMH 中，二 AH、ZTO=ZMH.FMEAAMH (ASA).HM=EM ,在 RTA HDE 中，HM=DE,.DM=HM=ME ,.DM=ME .(1)、如圖1,延長EM交AD于點(diǎn)H,四邊形ABCD和CEF比矩形， .AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又

37、/ FME=Z AMH, FM=AM ,'NEFM 二 HAM在 FME 和 AAMH 中，二 AH 、Zm=ZMH .FMEAAMH (ASA).HM=EM , 在 RTA HDE 中，HM=EM .DM=HM=ME ,.DM=ME,(2)、如圖2,連接AE,四邊形ABCD和ECG唯正方形，/ FCE=45, ° / FCA=45 ,°.AE和EC在同一條直線上，在 RTA ADF 中，AM=MF,DM=AM=MF ,在 RTA AEF中，AM=MF,.AM=MF=ME,.DM=ME .考點(diǎn)：（1）、三角形全等的性質(zhì)；（2）、矩形的性質(zhì)13.如圖，在正方形 ABC

38、D中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上（不與點(diǎn) B,E, GF± BC于點(diǎn)F,連結(jié)AG.D重合），GE± DC于點(diǎn)（1）寫出線段AG, GE, GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;（2）若正方形ABCD的邊長為1, /AGF=105,求線段BG的長.q q3叵 f1 1) agJgW+gF2 (2)-6【解析】試題分析：(1)結(jié)論：AG2=GE2+GF2.只要證明GA=GC四邊形EGFH矩形，推出GE=CF在RtGFC中，利用勾股定理即可證明；(2)作BN± AG于N,在BN上截取一點(diǎn) M,使得 AM=BM ,設(shè)AN=x,易證 AM=BM=2x, MN=73x,在 RtABN

39、中，根據(jù) AB2=AN2+BN2,可得 1=x2+ (2x+gx) 2,解得x=-,推出BN=-,再根據(jù) BG=BN cos30即可解決問題.試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE?+gF2.理由：連接CG.四邊形ABCD是正方形，A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，點(diǎn)G在BD上,.GA=GC,. GE± DC于點(diǎn) E, GF± BC于點(diǎn) F,/ GEC=Z ECFh CFG=90 ；四邊形EGFC是矩形，.CF=GE在 RtA GFC中， CG?=gF2+CF?, .1.ag2=gF2+gE?.（2）作BN± AG于N,在BN上截取一點(diǎn) M,使得 AM=BM ,設(shè)AN=x.

40、/AGF=105,/ AGB=60 ；/ AMN=30 °,/ FBG=Z FGB=Z ABG=45 ,°.AM=BM=2x,在 RtABN 中,MN= J x, AB2=AN2+BN2,/GBN=30； / ABM=/MAB=15 ；4.BN=在上，BG=BN+ cos301=x2+ （2x+百 x） 2, 解得x二擊-近,考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)，2、矩形的判定和性質(zhì)，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性 質(zhì)14.如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E在CD上，AFL AE交CB的延長線于 F.求證：AE=AF.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得 /BAF=/ DAE,再利用正方形的性質(zhì)可得 AB=AD, ZABF=Z ADE=90,。根據(jù)A