2020-2021北京中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題

1、2020-2021北京中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題一、平行四邊形1.在四邊形 ABCD中， B D 180 ,對角線 AC平分 BAD.（1）如圖1,若 DAB 120 ,且 B 90 ,試探究邊 AD、AB與對角線AC的數(shù)量 關(guān)系并說明理由.（2）如圖2,若將（1）中的條件“ B 90 ”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理 由.（3）如圖3,若 DAB 90 ,探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.1圖2【答案】（1） AC AD AB.證明見解析；（2）成立；（3） ad AB V2AC .理由 見解析.【解析】試題分析:1）結(jié)論:AC=AD+AB,只要證明AD= - AC,2

2、AB=1AC即可解決問題;2（2） （1）中的結(jié)論成立.以 C為頂點(diǎn)，AC為一邊作/ ACE=60 , / ACE的另一邊交 AB延 長線于點(diǎn)E,只要證明DA8 4BEC即可解決問題；（3）結(jié)論：AD+AB= J2AC.過點(diǎn)C作CEL AC交AB的延長線于點(diǎn)E,只要證明4ACE是等腰直角三角形， DA8 BEC即可解決問題；試題解析：解：（1） AC=AD+AB在四邊形 ABCD中，/ D+/ B=180° ,/ D=90 ； / DAB=120 , ° AC 平分 / DAB,Z DAC=Z BAC=60 ,° / B=90 ；1 一 一，AB=AC,同理 AD

3、= - AC.22，AC=AD+AB.(2) (1)中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作/ACE=60, / ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E, / BAC=60 ,° .AEC為等邊三角形，.AC=AE=CE / D+Z ABC=180DAB=120 ,°/ DCB=60 ；/ DCA=Z BCE, / D+Z ABC=180 , ° Z ABC+Z EBC=180, °，/D=/CBE -.CA=CE .DACABEC.AD=BE,.AC=AD+AB.(3)結(jié)論：AD+AB= &AC理由如下：過點(diǎn)C作CE! AC交AB的延長線于點(diǎn)

4、 E, / ZD+Z B=180° , Z DAB=90 ,鄴飛DCB=90 ； / ACE=90,°/ DCA=Z BCE,又 AC平分/ DAB,/ CAB=45 ,°/ E=45 .°.AC=CE又/ D+/ABC=180 , /D=/CBE.CDAACBE，AD=BE,，AD+AB=AE在 RtMCE 中，/CAB=45 ,AC .AE= J2ACcos45AD AB= 2AC.2.在圖1中，正方形 ABCD的邊長為a,等腰直角三角形 FAE的斜邊AE= 2b,且邊AD和 AE在同一直線上.操作示例當(dāng)2bva時(shí)，如圖1,在BA上選取點(diǎn)G,使BG=

5、 b,連結(jié)FG和CG,裁掉4FAG和4CGB 并分別拼接到4FEH和4CHD的位置構(gòu)成四邊形 FGCH思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將 4FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4FEH的位置，易 知EH與AD在同一直線上.連結(jié) CH,由剪拼方法可得 DH=BG,故CHgCGB,從而又可將4CGB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到4CHD的位置.這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1）,過點(diǎn)F作FMLAE于點(diǎn)M （圖略），利用 SAS公理可判斷HFMCHD,易 得FH=HC=GC=FG /FHC=90.進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.實(shí)踐探究（1）正方形FGC

6、H的面積是;（用含a, b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖 2圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個(gè)新正方形的 示意圖.聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng) bWa時(shí)，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移.當(dāng) b>a時(shí)（如圖5）,能否剪拼成一個(gè)正方形？若能，請你在圖5中畫出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡要說明理由.圖5【答案】（1） a2+b2; （2）見解析；聯(lián)想拓展：能剪拼成正方形.見解析.【解析】分析：實(shí)踐探究：根據(jù)正方形FGCH的面積=BG2+BC2進(jìn)而得出答案；應(yīng)采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠(yuǎn)等于等

7、腰直角三角形斜邊的一半.注意當(dāng) b=a時(shí)，也可直接沿正方形的對角線分割.詳解：實(shí)踐探究：正方形的面積是：BG2+BC2=a2+b2;剪拼方法如圖2-圖4;郅點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和動手操作能力；運(yùn)用類比方 法作圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長度與某條線段的比值永遠(yuǎn)相等，旋 轉(zhuǎn)的三角形，連接的點(diǎn)都應(yīng)是相同的.3.操作：如圖，邊長為 2的正方形ABCD,點(diǎn)P在射線BC上，將4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F.探究：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)， 若/BAP=30,求/AFE的度數(shù)；若點(diǎn)E 恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，

8、請通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會在線段BC的什么位置？并求出此時(shí) /AFD的度數(shù).歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與 B, C重合），/AFD的度數(shù)是否會發(fā) 生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí)，/AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試在 圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論.F囪圖二【答案】（1）45° ;BC的中點(diǎn)，45° （2）不會發(fā)生變化，證明參見解析；（3）不會發(fā)生變化，作圖參見解析 .【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質(zhì)求 出/ DAE度數(shù)，在三角形 AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；由

9、E為DF中點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG/ AD,彳導(dǎo)EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,進(jìn)而得到三角形 BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到 BP=EG=1得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B, C重合），/AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作 AG± DF于點(diǎn)G,如圖1 （a）所 示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出/1 + /2的度數(shù)，即為/FAG度數(shù)，即可求出/F度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖 2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上 時(shí)，/AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由為：作AG

10、LDE于G,得/DAG=/ EAG,設(shè)/ DAG=Z EAG= q根據(jù)/ FAE為/ BAE一半求出所求角度數(shù)即可.試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，.一/EAP=Z BAP=30,，/ DAE=90 -30 °X 2=30,° 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30°, . . / ADE=/ AED= （180 - 30 °） +2=75,° 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 °, / ADF=75 ； ZAFE=180 -60 - 75 =45 °點(diǎn) E 為 DF 的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，

11、理由如下：圖1如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG/ AD,彳導(dǎo)EG/BC,= EG/ AD,DE=EF .EG='AD=1, AB=AE, .點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，AF垂直平分線段 BE, .OB=OE） / GE/ BP,/ OBP=/ OEG, /OPB=/ OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=EG=1 即 P 為 BC 的中點(diǎn)， . / DAF=90 ,/ BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ;° ( 2) / AFD 的度數(shù)不會發(fā)生變化，作 AGLD

12、F于點(diǎn)G,如圖1 (a)所示,富 1R)在 4ADE 中，AD=AE, AG± DE, AG 平分/DAE,即 /2=/DAG,且1/1 = /BAP, . . / 1 + /2二>< 9=45 ；即 /FAG=45,° 貝U/AFD=90，45 =45； (3)如圖 2所示，/ AFE的大小不會發(fā)生變化，/ AFE=45 ,/ BAE=901+21/ FAE=/BAE=45 ° ,+忘/FAG=/ FAE/ EAG=45 在 RtAFG 中,作 AG± DE于 G,得/ DAG=Z EAG,設(shè) / DAG=Z EAG通,ZAFE=90 -

13、45 =45 :考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.折疊性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì)4.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45°角的直角三角板 ECF和一個(gè)正方形 ABCD擺放在一 起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn) C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊 CR CD上, 連接AF.取AF中點(diǎn) M, EF的中點(diǎn)N,連接 MD、MN.(1)連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：(2)在(1)的條件下，請判斷 MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1: DM、MN的數(shù)量關(guān)系是二結(jié)論2: DM、MN的位置關(guān)系是拓展與探究：(3)如圖2,將圖1中的直角三角板 ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)18

14、0°,其他條件不變，則 (2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF繼而證明出 ABE0ADF,得到AE=AF從而證明出 4AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān) 系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角 相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接 AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明

15、出1 1MN/AE, MN=*AE,利用三角形全等證出 AE=AF,而DM=，AF,從而得到 DM, MN數(shù)量相 等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān) 系得到/DMN=/DGE=90,從而得到 DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形 ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD / B=/ ADF=90 , = CEF 是等腰直角三角形， /C=90, .-.CE=CF - BC- CE=C> CF,即 BE=DF .ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等， DM、MN的位置關(guān)系是垂直；二,

16、在RtADF中DM是斜邊 AF的中線，AF=2DM, / MN是4AEF的中位線，AE=2MN, -. AE=AF, . . DM=MN ; -/ DMF=/ DAF+/ ADM ,AM=MD , / FMN=Z FAE / DAF=Z BAE,/ ADM= / DAF=Z BAE, . / DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+/FAE之 BAD=90. DM,MN ; （3） （2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接 AE,交MD于點(diǎn)G,二點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，II .MN/AE, MN=r'AE,由已知得， AB=AD=BC=CD / B=/ADF, CE=CF 又

17、. BC+CE=CD+C F 即 BE=DF /. AABEAADF, ，AE=AF,在 RtADF 中，點(diǎn) M 為 AF 的 111中點(diǎn)，DM=AF,DM=MN , / AABE AADF, ，/1 = /2, -. AB/ DF, ，/1 = /3,同理可證：Z2=Z4, .l. Z3=Z4, 1 DM=AM , ，/MAD=/5,Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+ Z 3=90 ,° / MN / AE, . . / DMN= / DGE=90 . DM，MN .所 以（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立.考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.

18、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).5 .已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，。為對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線EF分別交AD, BC于E, F兩點(diǎn)，連結(jié) BE, DF.(1)求證：ADO三BOF.(2)當(dāng)/ DOE等于多少度時(shí)，四邊形 BFDE為菱形？請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)/DOE=90。時(shí)，四邊形BFED為菱形，理由見解析試題分析：(1)利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出DOmBOF(ASA)；(2)首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED即可得出答案.試題解析：(1) :在？ABCD中，。為對角

19、線BD的中點(diǎn)，BO=DO, / EDB=Z FBQ 在AEOD和AFOB中“口口 =DO = BOQeOD = .,.DOEABOF (ASA)；(2)當(dāng)/DOE=90時(shí)，四邊形BFDE為菱形，理由：.DO三 BOF,OE=OF,又.OB=OD,二.四邊形EBFD是平行四邊形,. /EOD=90； .,.EF± BD,四邊形 BFDE為菱形.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.6 .如圖，四邊形 ABCD中，/BCD=/D=90°, E是邊AB的中點(diǎn).已知AD=1, AB=2.(1)設(shè)BC=x, CD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)

20、當(dāng)/B=70°時(shí)，求/AEC的度數(shù)；(3)當(dāng)4ACE為直角三角形時(shí)，求邊 BC的長./ / CB【答案】(1) y J x2 2x 30 x 3 ； (2) /AEC=105° ( 3)邊 BC 的長為2或？.【解析】試題分析：(1)過A作AH, BC于H,得到四邊形 ADCH為矩形.在4BAH中，由勾股定 理即可得出結(jié)論.(2)取CD中點(diǎn)T,連接TE,則TE是梯形中位線，得 ET/ AD, ET±CD,ZAET=ZB=70 :又 AD=AE=1,得到 Z AED=Z ADE=Z DET=35°.由 ET 垂直平分 CD,得 / CET= / DET=3

21、5°,即 可得到結(jié)論.(3)分兩種情況討論：當(dāng)/ AEO90 °時(shí)，易知 CBE CAE CAD,得/ BCE=30 °,解4ABH即可得到結(jié)論. 當(dāng)/CAE=90°時(shí)，易知CDABCA,由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1)過A作AHLBC于H.由/D=/BCD=90°,得四邊形 ADCH為矩形.在4BAH 中，AB=2, Z BHA=90°, AH=y, HB= x 1 ,22 y2 x 12,則 y x2 2x 30 x3(2)取CD中點(diǎn)T,聯(lián)結(jié)TE,則TE是梯形中位線，得 ET/ AD, ET±C

22、D,/ AET=Z B=70 :又 AD=AE=1,Z AED=Z ADE=Z DET=35°.由 ET垂直平分 CD,得 / CET=/DET=35°,/ AEC=70 +35 =105 :(3)分兩種情況討論：當(dāng)/ AEO90 °時(shí)，易知 CBE CAE CAD,得/ BCE=30 °,則在 4ABH 中，/B=60°, /AHB=90°, AB=2,得 BH=1,于是 BC=2. 當(dāng)/CAE=90 °時(shí)，易知 CDABCA,又 AC JBC_AB2 &_4皿 AD CA 1x2 4117 ,i、則 X - （舍

23、負(fù)）AC CB , x2 4 x2易知/ACM90。，所以邊BC的長為1 折.2綜上所述：邊BC的長為2或1 而.2點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題.考查了梯形中位線，相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵 是掌握梯形中常見的輔助線作法.7.如圖，在菱形 ABCD中，AB=4, ZBAD=120°, AAEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC, CD 上.(1)證明：BE=CF(2)當(dāng)點(diǎn)E, F分別在邊BC, CD上移動時(shí)(4AEF保持為正三角形)，請?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化？若不變,求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值.(3)在(2)的情況下，請?zhí)骄?4CEF的面積是否發(fā)生變化？若不

24、變，求出這個(gè)定值；如【解析】試題分析：(1)先求證 AB=AC,進(jìn)而求證 ABC 4ACD為等邊三角形，得 / 4=60°,AC=AB進(jìn)而求證 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根據(jù)AB®4ACF可得Saabe=Sacf,故卞|據(jù)S四邊形AECfESjA. aec+Sa acf=Sa aec+Sa abe=Sa ABC 即可解題；(3)當(dāng)正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊 AE最短.4AEF的面積會隨著 AE的變化 而變化，且當(dāng) AE最短時(shí)，正三角形 AEF的面積會最小，又根據(jù) S/xce產(chǎn)S四邊形aecfSxaef,則 CEF的面積就會最大.試題解析：(1)證

25、明：連接AC,Z 1 + Z2=60 , Z 3+7 2=60 ,Z 1 = Z3, Z BAD=120 ,Z ABC=Z ADC=60 °四邊形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AQ.ABG AACD為等邊三角形Z 4=60 , AC=AB,在 AABE和 AACF 中，rZl=Z3' AB=AC ,ZABC=Z 4. .AB / MCF. (ASA).BE=CE(2)解：由(1)得ABEACF,則 SaabSaacf.故 S 四邊形 AECF=SLAE>SAACF=SAAEC*"SlABf SLABC,是定值.作AHLBC于H點(diǎn)，貝U BH=2,S 四邊

26、用 AECkSl ABC得既 Wab,Wh?= W3；(3)解：由 垂線段最短”可知，當(dāng)正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊 AE最短.故4AEF的面積會隨著 AE的變化而變化，且當(dāng) AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會最小，又SacefS四邊形aecl Saaef,則ZCEF的面積就會最大.由(2)得，SacefSraw aecf- Saaef= 4V3-yX2Vs x卜2a)2T炳 f /點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證ABEACF是解題的關(guān)鍵.8.如圖，在平行四邊形 ABCD中，A

27、D± DB,垂足為點(diǎn)D,將平行四邊形 ABCD折疊，使點(diǎn) B落在點(diǎn)D的位置，點(diǎn)C落在點(diǎn)G的位置，折痕為 EF, EF交對角線BD于點(diǎn)P.(1)連結(jié)CG,請判斷四邊形 DBCG的形狀，并說明理由；(2)若AE= BD,求/EDF的度數(shù).A E B【答案】(1)四邊形BCGD是矩形，理由詳見解析；(2) ZEDF= 120°.【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可.【詳解】解：(1)四邊形BCGD是矩形，理由如下，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BCGD是平行四邊形,

28、 .ADXBD, / CBD 90 ； 四邊形BCGD是矩形；(2)由折疊可知：EF垂直平分BD, BDXEF, DP= BP, .ADXBD), .EF/ AD/ BC,AE PD / 1BE BP .AE= BE,.DE是RtA ADB斜邊上的中線，,-.de=ae= be,.AE= BD,.DE=BD= BE,.DBE是等邊三角形，/ EDB= / DBE= 60 °,1. AB/ DC,/ DBC= ZDBE= 60 ；/ EDF= 120 :【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用 定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有

29、一定的難度PR PC,9.已知AD是4ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、D重合)，連接E、F、G、H分別是AB、AC、PR PC的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M； BPE 面,推出即可得出(1)如圖1,當(dāng)AB= AC時(shí)，求證：四邊形 EGHF是矩形；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與積相等的三角形(不包括 4BPE本身).【答案】(1)見解析；(2) AAPE. APF、CPF PGH.【解析】【分析】1 1(1)由二角形中位線定理得出EG/ AP, EF/ BC, EFBC, GH/ BC, GH=- B'2 2EF/ GH, EF=GH證

30、得四邊形EGHF是平行四邊形，證得 EF± AP,推出EF± EG,結(jié)論；(2)由4APE與4BPE的底AE=BE又等高，得出 國apefSa bpe,由4APE與4APF的底EP=FP又等高，得出 SaapefSaapf：,由4APF與4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Scpf,證得4PGH底邊GH上的高等于 4AEF底邊EF上高的一半，推出1SapghF Sae產(chǎn)Szxapf,即可得出結(jié)果.2【詳解】(1)證明： B F、G、H分別是 AB、AC PR PC的中點(diǎn)， .EG/ AP, EF/ BC, EF= 1 BC, GH/ BC, GH= 1 BC,22

31、 .EF/ GH, EF= GH, 四邊形EGHF是平行四邊形， .AB= AC, ADXBC,EF± AP,1) EG/ AP,EF± EG,平行四邊形EGHF是矩形；2) ) PE是 APB 的中線， .APE與4BPE的底AE= BE,又等高，Saape= Sabpe,.AP是AAEF的中線， .APE與APF的底.EP= FP,又等高，Sa ape= Sa apf,Saapf= Sabpe,.PF是APC的中線， .APF與CPF的底 AF= 'CF,又等高， S/APF= S/XCPF,Sa cpf= Sa bpe,EF/ GH/ BC, E、F、G、H

32、分別是 AB AC PB、PC的中點(diǎn)，.AEF底邊EF上的高等于ABC底邊BC上高的一半， PGH底邊GH上的高等于 PBC底邊BC上高的一半，.PGH底邊GH上的高等于 4AEF底邊EF上高的一半， .GH= EF, 1 c Sa pgh= Sa aef= Sa apf,2綜上所述，與 ABPE面積相等的三角形為：APE、AAPR ACPF PGH.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵.10.如圖，四邊形ABCD是知形，AB 1,BC 2,點(diǎn)E是線段BC上一動點(diǎn)(不與 B,C重合

33、)，點(diǎn)F是線段BA延長線上一動點(diǎn)，連接 DE, EF,DF, EF交AD于點(diǎn)G .設(shè) BE x,AF y ,已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖 所示.圖圖(i)求圖中y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求證：de DF;(3)是否存在x的值，使得 4DEG是等腰三角形 領(lǐng)口果存在，求出x的值;如果不存在, 說明理由【答案】(1) y= - 2x+4 (0vxv2); ( 2)見解析；(3)存在，x=?；? 疾或3 .422【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法可得 y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)證明CDa4ADF,得/ADF=/CDE,可得結(jié)論；(3)分三種情況： 若 DE= DG,貝U / DGE= / DEG,

34、若DE=EG,如圖，作EH/ CD,交AD于H, 若 DG= EG,貝U / GDE= / GED,分別列方程計(jì)算可得結(jié)論.(1)設(shè) y= kx+b,由圖象得：當(dāng)x=1時(shí)，y=2,當(dāng)x=。時(shí)，y=4, 代入得: .y= - 2x+4 (0vxv2)；(2) BE= x, BC= 2CE= 2 - x,CE 2 x 1 CD 1 ,AF 4 2x 2 AD 2CE CD一 一,AF AD四邊形ABCD是矩形，. . / C= / DAF= 90 ;. .CDaMDF,/ ADF= / CDE / ADF+ / EDG= / CDE+ / EDG= 90 °,DEXDF；(3)假設(shè)存在x

35、的值，使得4DEG是等腰三角形， 若 DE= DG,貝U / DGE= / DEG,四邊形ABCD是矩形， .AD/BC, ZB=90 °,/ DGE= / GEB,/ DEG= / BEG,在 DEF和4BEF中，F(xiàn)DE BDEF BEF,EF EF.DEFABEF (AA§ ,.DE=BE= x, CE= 2-x,在RtCDE中，由勾股定理得：1+ (2-x) 2=x2,5x=，4若DE=EG,如圖，作EH/ CD,交AD于H,B吟. AD/BC, EH/ CD,四邊形CDHE是平行四邊形，Z C= 90 °,四邊形CDHE是矩形，,-.EH=CD= 1 ,

36、DH = CE= 2-x, EH± DG,-.HG=DH= 2- x,.AG=2x-2,1. EH/ CD, DC/ AB,.EH/ AF,.EHG"AG, EH HG , AF AG 12 x,4 2x 2x 2.5、55.5,金、x1 , x2 (告)22 若 DG= EG,貝U / GDE= / GED,. AD/ BC,/ GDE= / DEC/ GED= / DEC. / C= / EDF= 90 ;.,.CDEADFE,CE DE二,CD DFCD 1AD 21213-/CDEAADF, DE DF CE CD2-x= , x=一,綜上，x=5或5-Y5或3.【

37、點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等 的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識，運(yùn)用相似三 角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 DE交x軸于點(diǎn)E (30, 0),交y軸于點(diǎn)D (0,、140 ,直線 AB: y=-x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,交直線 DE于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作3EF± x軸交直線 AB于點(diǎn)F,以EF為一邊向右作正方形 EFGH (1)求邊EF的長；(2)將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒 Ji0個(gè)單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移過程中邊 F

38、1G1始終與y軸垂直，設(shè)平移的時(shí)間為 t秒(t>0).當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時(shí)，求t的值； 當(dāng)G1, H1兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動到直線 DE上時(shí)，請直接寫出此時(shí)正方形日F1G1H1與4APE重疊部分的面積.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根據(jù)已知點(diǎn)E (30, 0),點(diǎn)D (0, 40),求出直線 DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40,可3求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出 F點(diǎn)坐標(biāo)即可； 易求B (0, 5),當(dāng)點(diǎn)R移動到點(diǎn)B時(shí)，t=10 J10 W10 =10；RDMH'中，-MH-EM 3 'F點(diǎn)移動到F'的距離是 而 t, F垂直x軸

39、方向移動的距離是 t,當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時(shí)，在 RtF'NF 中，-NF=- , EM=NG'=15-F'N=15-3t,在NF 3t=4, s=1 x(12+45)x 11”23 ;當(dāng)點(diǎn) G 運(yùn)動到直線 DE上時(shí)，在 RtF'PK中，-PK-=- 248F K 3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【詳解】(1)設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)=kx+b,將點(diǎn) E (30, 0),點(diǎn) D (0, 40),30k b 0b 4043，401 .

40、y = - - x+40,3直線AB與直線DE的交點(diǎn)P (21, 12),由題意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5),2 .BF=10，1Q ,，當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時(shí)，t=10J10 J10 = 10;當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時(shí),F點(diǎn)移動到F'的距離是T10t, 人 NF 1在 RtF'NF 中，=-,NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4 ,EM 3 t 4 - -,15 3t 3. .t =4,.EM =

41、3, MH'= 4,145.S (12 ) 11241023當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到直線DE上時(shí),F點(diǎn)移動到F'的距離是 Vw t,. PF=3 .10 , .PF'= 710t-3 710,在 RtF'PK 中,PK.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34=15 3t 931 .t = 7,2 .S= 15 x（15-7） = 120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角 形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影 部分的面積是解題的關(guān)鍵.12

42、.（感知）如圖，四邊形ABCD CEFG勻?yàn)檎叫?可知 BE=DG（拓展）如圖 ，四邊形ABCD CEFG均為菱形，且/A=/F.求證：BE=DG（應(yīng)用）如圖 ，四邊形ABCD CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在AD延長線上.若AE=2ED, ZA=ZF, EBC的面積為8,菱形CEFG的面積是.（只填結(jié)【解析】CEFG均為菱形，禾I用 SAS易證得試題分析：探究：由四邊形 ABCD四邊形 BCEDCG,貝U可得 BE=DG；應(yīng)用：由 AD/ BC, BE=DG,可得 Saabe+Sacde=Sbec=Scdg=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面積，繼而求得答案.試題解析：探

43、究：二.四邊形ABCR四邊形CEFG勻?yàn)榱庑?BC=CQ CE=CG / BCD=Z A, / ECG之 F.3 / A=Z F,/ BCD=Z ECG4 / BCD-/ ECD=Z ECGjECD即 / BCE玄 DCG.在ABCE和ADCG中，BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS , BE=DG.應(yīng)用：二.四邊形ABCD為菱形,5 .AD/ BC,6 BE=DG,Saabe+Sacde=Sbec=Sacdg=8 ,7 .AE=3ED,Sa cde= 82 ,4Sa ecG=Sa cde+Sa cdG=10二. S 菱形 cefg=2Sa ecg=20.13.

44、4ABC為等邊三角形， af AB. BCD BDC AEC.(1)求證：四邊形 ABDF是菱形.(2)若BD是 ABC的角平分線，連接 AD ,找出圖中所有的等腰三角形.【答案】(1)證明見解析；(2)圖中等腰三角形有 ABC, ABDC, AABD, AADF:, ADC, ADE.【解析】【分析】(1)先求證BD/AF,證明四邊形 ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；(2)先利用BD平分/ABC,得到BD垂直平分線段 AC,進(jìn)而證明 DAC是等腰三角形，根據(jù) BD±AC,AF1 AC,找到角度之間的關(guān)系，證明4DAE是等腰三角 形，進(jìn)而得到 B

45、C= BD= BA= AF= DF,即可解題，見詳解.【詳解】(1)如圖 1 中， / BCD= / BDC,BC= BD,.ABC是等邊三角形，.AB= BC, .AB= AF,.BD = AF, / BDC= / AEC,BD / AF, 四邊形ABDF是平行四邊形， .AB= AF, 四邊形ABDF是菱形.(2)解：如圖 2 中，,BA=BC, BD平分 / ABC, BD垂直平分線段 AC,.DA= DC, ADAC是等腰三角形，. AF/BD, BDXAC .AFLAC,/ EAC= 90 °, / DAC= / DCA, / DAG / DAE= 90 ； / DCA+Z

46、AEC= 90 ;/ DAE= / DEA, .DA= DE,.DAE是等腰三角形, BC= BD= BA= AF= DF, .BCD, AABD, ADF都是等腰三角形,綜上所述，圖中等腰三角形有 ABC, BDC； AABD, AADF, AADC, ADE【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，屬于中考?？碱} 型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14.已知邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn) A、C不重 合），過點(diǎn) P作PE± PB , PE交射線DC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF± AC,垂足為點(diǎn)F.（1）當(dāng)點(diǎn)E落在

47、線段CD上時(shí)（如圖），求證：PB=PE 在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變 化，試說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中， APEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由.【答案】（1）證明見解析；點(diǎn)PP在運(yùn)動過程中，PF的長度不變，值為 巨;（2）2畫圖見解析，成立；（3）能，1.【解析】 分析：（1）過點(diǎn)P作PG，BC于G,過點(diǎn)P作PHI± DC于H,如圖1.要證PB=PE只 需證到

48、PG®4PHE即可； 連接BD,如圖2.易證 ABO彥 PFE,則有BO=PF只需 求出BO的長即可.（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立.（3）可分點(diǎn)E在線段DC上和點(diǎn)E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計(jì)算就可求 出符合要求的AP的長.P作PG± BC于G,過點(diǎn)P作PHI± DC于H,如圖1.四邊形ABCD是正方形，PG± BC, PHI± DC, / GPC=Z ACB=Z ACD=Z HPC=45 ,°PG=PH, / GPH=Z PGB=Z PHE=90 .-.PE± PB 即

49、/ BPE=90,°/ BPG=90 - / GPE=Z EPH在APGB和APHE中，PGB= PHEPG=PHBPG= EPH. .PG® PHE (ASA), .PB=PE連接BD,如圖2.四邊形ABCD是正方形，Z BOP=90 . PEXPBIPZ BPE=90,Z PBO=90 - Z BPO=Z EPFEF± PC即/PFE=90Z BOP=Z PFE在 BOP和 PFE中，PBO= EPFBOP= PFEPB=PE.-.BOFAPFE(AAS), BO=PF.四邊形ABCD是正方形，.OB=OC, Z BOC=90 ,. BC=v5 OB.BC=1

50、 .1. OB=, 2點(diǎn)PP在運(yùn)動過程中,PF的長度不變，值為4223所示.(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，符合要求的圖形如圖(3)若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1 . / BPE玄 BCE=90,°/ PBC+/ PEC=180./PBC< 90；Z PEC>90 °.若APEC為等腰三角形，則 EP=EC / EPC4 ECP=45, °/ PEC=90, °與 / PEO90 矛盾，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，APEC不可能是等腰三角形. 若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，如圖 4.D若APEC是等腰三角形， / PCE=135, °.CP=ce /CPE4 CEP=22.5. °/ APB=180 - 90 - 22.5 = 67.5 . ° / PRC=90+°Z PBR=90+°Z CER / PBR玄 CER=22.5, °/ ABP=67.5 , °/ ABP=Z APB.AP=AB=1.AP的長為1.點(diǎn)睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角 平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知