14微積分公式

1、§1. 4函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的幾何意義、極限的局部保號(hào)性、左右極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的幾何意義、水平漸近線一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量的變化趨勢(shì)：X Xqj X 沢一0， X Xq+0 , X 00 9 X » 00， X +00 函數(shù)極限的通俗定義：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值幾X)無(wú)限接 近于某一確定的常數(shù)4,那么這個(gè)確定的常數(shù)A就叫做在這一 變化過(guò)程中函數(shù)/仗)的極限.當(dāng)兀1兀0時(shí)，兀x)以A為極限記為 lim /曲或f(當(dāng) fXT兀0

2、分析：當(dāng)時(shí),Ao 當(dāng) lx-xol -» 0 時(shí)，f (x)-A I 能任意小O任給£>0,當(dāng)Lx-Xol小到某一時(shí)刻，有f(X)-A<£ o 任給 £>0,存在 5>0,使當(dāng) Lx-Xolv5 時(shí)，有 fx)-A<s.函數(shù)極限的精確定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)兀0的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對(duì)于任意 給定的正數(shù)£(不論它多么小)，總存在正數(shù)5使得對(duì)于適合不等 式OvLr-Xolv淵一切尢,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值fCx)都滿足不等式f(x)-A<£,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/'當(dāng)x->x0時(shí)的極限，記為

3、lim f(x)=Af(x) 4(當(dāng)兀->x0).XT%。lim/(x)=A<=> Vs>0, 3&O, Vx： O<lx-xol<,有f(x)-A<£ 函數(shù)極限的幾何意義:若 limf(x)=A,貝lJVs>0, 3&>0,使當(dāng)0<lx-xol<時(shí),%->x0OX舉例:例1 證明lim c=cX>兀0證明：這里f(x)-A=c-c=O,因此對(duì)于任意給定的正數(shù)£ ,任意取一正數(shù)當(dāng)O<lx-xol<時(shí)，都有f (x)-A=c-c=O<£成立，所以lim c

4、 = c.例2證明lim兀=%oX>%0證明：這里!/(%)-Al=lx-xol,因此對(duì)于任意給定的正數(shù)G總可取,當(dāng)O<lx-xol< 8=s時(shí)，能使不等式(x)-AI=lx-xol< £成立.所以lim x = x0 %->x0例 3 證明Um (2x-l)=l.x>1分析：|何_ai=|(2x-1)-11=24II,為了使金)-A® 只要lx-11 < | 即取§二| 證明：因?yàn)閂s>0, 38 =| >0,使當(dāng)0vLx-llv§時(shí)，有f(x) 11=1 (2x 1) 1 =2x 1 <&#

5、163;，所以 lim(2x-l) = lXT1X -1例4證明lim= 2.XT4 X-1分析：注意函數(shù)在兀=1是沒(méi)有定義的.但這與函數(shù)在該點(diǎn)是 否有極限并無(wú)關(guān)系.1lf(x)-2l= I 2l=Lx+l2l=lxII，要使(%)2Ivgx-1只需Lx-1|<5,即取8= s.證明：因?yàn)閂>0 , »=£>0，使當(dāng)Ov4Ilv5,有f(X)-2=x-<£ ,所以 lim= 2.XTl X-1! W !極限的局部保號(hào)性：定理1如果Hm f(x)=A,而且A>0(或A<0),那么就存在著X點(diǎn)兀。的某一去心鄰域，當(dāng)兀在該鄰域內(nèi)時(shí)，就

6、有/S)>0(或/S)vO)取 0<6<A極限的局部保號(hào)性:定理1如Slim »=A,而且4>0（或A<0）,那么就存在著X點(diǎn)旳的某一去心鄰域，當(dāng)X在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有心）>0（或心）vO）.證明：設(shè)力>0,取正數(shù)£幺，根據(jù)極限的定義，對(duì)于這個(gè) 取定的正數(shù)£,必存在著一個(gè)正數(shù)/,當(dāng)0<lx- xol<時(shí)，不等式 £ <f（X）<A+£成立.因A-s>0, 故f（x）>0極限的局部保號(hào)性:定理1如Slim »=A,而且4>0(或A<0),那么就存在著

7、X點(diǎn)旳的某一去心鄰域，當(dāng)X在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有心)>0(或心)vO).定理U 如果lim f(x)=A, (AhO)，那么就存在著點(diǎn)的某一X>兀0去心鄰域，當(dāng)兀在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有IAI.定理2如果在帀的某一去心鄰域rt»>0(g(x)<0),而且 lim f (x)=A,那么 4>0(或 A<0).證明：詢假設(shè)上述論斷不成立，即設(shè)AvO,那么 由定理1就有的某一去心鄰域，在該鄰域內(nèi)»<0,這與 的假定矛盾.所以心0.左右極限:x 勺-。表示x僅從兀0的左側(cè)趨于A：。,而x fXo+O表示兀僅從兀0 的右側(cè)趨于勺.若當(dāng)時(shí)，滄)無(wú)限接近于

8、某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù) 滄)當(dāng)xfr。時(shí)的左極限，記為lim f (x)=A 或/(/。一。匸人；XTX()-0若當(dāng)xtxo+O時(shí)，加；)無(wú)限接近于某常數(shù)4,則常數(shù)A叫做函數(shù) 滄)當(dāng)兀勺時(shí)的右極限，記為lim f(x)=A 或 f(xo+O)=A.x->xo+O結(jié)論：lim f(x) = A <=> lim /(x) = lim f(x) = A x-»x0 0x-»xo+OIV VI U A !討論：左右極限的定義如何敘述？左極限的£-5定義：若Ve>0, 3&>0, Vx： Xq- §<x<Xq,

9、有(x)-4Ivg 則稱 常數(shù)A為函數(shù)幾兀)當(dāng)兀一>%時(shí)的左極限.例6函數(shù)x-l,x<0, f (x) = v 0,兀=0,x + l,x>0. 當(dāng)兀t0時(shí)冗0的極限不存在.因?yàn)?S)的左極限lim f(x) = lim (x -1) = _1,x>-0xT-0右極限lim f(x) = lim (x +1) = 1,XT+OX>+0所以極限limfW不存在.兀tO:、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限極限的通俗定義：若當(dāng)XTOO時(shí)，才(勸無(wú)限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)4叫做函數(shù) 于(X)當(dāng)X ->00時(shí)的極限，記為lim /(x) = A 兀Too類似地有 lim

10、/(x) = A 和 lim f(x) = A.XT-00兀一>+8討論：極限lim f(x)=A> lim f(x)=A和lim久%)=4的精確定義如何XSX-»-o0XT+00敘述？三者之間的關(guān)系如何？! W !極限的精確定義：設(shè)炎兀)當(dāng)|劃大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果對(duì)于任意給定的 正數(shù)£,總存在著正數(shù)X,使得對(duì)于適合不等式Lxl>X的一切兀， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值/=)都滿足不等式f(x)-A<&,則常數(shù)4叫做函數(shù)f(x)當(dāng)X TOO時(shí)的極限.lim /(x) = A<=> Vs>0, BX >0, Vx: x>X,有 f(x)-A<£,XToO結(jié)論：lim /(x) = A<=> lim /(x) = lim f(x) = A XSx->xo+O極限lim f (x)=A的定義的幾何意義:XS例7證明1曲丄=0分析：設(shè)£是任意給定的正數(shù).要證存在正數(shù)X,當(dāng)bd>X時(shí), 不等式-0<成立.解不等式得|x|>-,故取X=1.X88證明：因?yàn)閷?duì)V6>o, 3X=,使當(dāng)Lrl>x時(shí)，有£