最新江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)高二上學期期中數學試題(解析版)

1、2019-2020學年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)高二上學期期中數學試題一、單選題1 .命題“ x 0, x2 2x 3 0”的否定是（）A. X 0, x2 2x 3 0B. x 0, x2 2x 3 022c. x 0, x 2x 3 0D. x 0, x 2x 3 0【答案】C【解析】 根據全稱命題的否定的性質進行求解即可.【詳解】“ x 0, x2 2x 3 0” 的否定是 x 0, x2 2x 3 0.故選：C【點睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎題2 .在等比數列 an中，a2 2, a6 8 ,則a2與a6的等比中項為（）A. 6B. 4C. 4D. 4【答案】D【解析】 根據等比中項

2、的性質進行求解即可 .【詳解】因為a2 2 , a6 8 ,所以a2與a6的等比中項為 J0214.故選：D【點睛】本題考查了等比中項的性質，考查了數學運算能力3 ."直線 l1:mx y 3 0 與 l2：（3m 2）x my 6 0 平行"是 “m 1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據兩直線平行求出 m的值，然后根據充分性和必要性的定義進行判斷即可因為直線li : mx y 3 0與l2：(3m 2)x my 6 0平行，所以有m m 1 (3m 2)且1 6 3m,解得m 1,所以直線li ： mx

3、y 3 0與12 ： (3m 2)x my 6 0平行"是“ m 1 ”的充要條件.故選：C【點睛】本題考查了充要條件的判斷，考查了兩直線平行求參數問題，考查了推理論證能力和數學運算能力.4.在等差數列an中，aa23,a2a35,則a9a10()A. 19B. 19C. 15D. 15【答案】A【解析】根據等差數列的通項公式， 結合已知，可得方程組，解方程組求出首項和公差， 最后再利用等差數列的通項公式進行求解即可【詳解】設等差數列的公差為 d ,由a1 a2 3, a2 a3 5可得：a1a1d 3a1 1a9 a10 a1 8d a1 9d 19.a1 d a12d 5 d 1

4、故選：A本題考查了等差數列的通項公式的應用，考查了數學運算能力L5.右ab 0,則下列結論不正確的是()第9頁共16頁A.aC. a2b211D). ab根據不等式的基本性質和作差比較法進行求解即可a b,故本選項正確;B：由 a b 0a b 0斗W3/b3/a3/b3/a3/b,故本選項是錯誤的;C：因為a b 0,所以a b 0,a b 0,因此2. 2,.、，.、-2. 2.ab(a b)(ab)0ab ,故本選項是正確的；1 1 b a11D：因為a b 0,所以ab 0,b a 0,因此1 1 ba 0，故本選a baba b項是正確的.故選：B【點睛】本題考查了不等式的基本性質和

5、作差比較法的應用，屬于基礎題6 .給出下列四個命題：有的質數是偶數；存在正整數x,使得x為29的約數；有的三角形三個內角成等差數列；與給定的圓只有一個公共點的直線是圓的切線.其中既是存在性命題又是真命題的個數為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 根據存在性命題的定義進行判斷即可.【詳解】：因為2既是質數又是偶數，其他偶數都不是質數，所以本命題既是存在性命題又是真命題；：因為1和29都是29的約數，其他正整數都不是 29的約數，所以本命題既是存在性命題又是真命題；：因為當三角形一個內角為60 ,則三個內角成等差數列，所以本命題既是存在性命題又是真命題；：因為任何與給定的圓只有

6、一個公共點的直線就是圓的切線，所以本命題是全稱命題不是特稱命題，也就是不是存在性命題，因此共有3個命題既是存在性命題又是真命題 .故選：C【點睛】本題考查了存在性合理的定義，考查了命題的真假判斷，屬于基礎題7 .若不等式ax2 bx c 0的解集是x|x 1或x 3,則a , b , c的值可能為()A. 1, 4, 3 B. 1,4, 3C. 1, 4, 3 D. 1, 4, 3【答案】D【解析】根據一元二次不等式的解集性質進行求解即可【詳解】因為不等式ax2 bx c 0的解集是x|x 1或x 3,所以有b1 3 b 4a,a c 3a1 3 c aA：當a 1時，符合a 0,此時b 4,

7、c 3,故本選項不符合題意;B：當a 1時，不符合a 0,故本選項不符合題意；C：當a 1時，不符合a 0,故本選項不符合題意；D：當a 1時，符合a 0,此時b4,c 3,故本選項符合題意故選：D【點睛】本題考查了已知一元二次不等式的解集求參數問題，考查了數學運算能力8.已知等差數列an的前n項和為Sn,若S80,S90,則當Sn最小時，n的值為（）A. 4B. 5C. 8D. 15【答案】A【解析】根據等差數列前n項和公式以及等差數列的下標性質進行求解即可【詳解】一、,一 一（a a。）9 _ 一 一因為S90,所以有0a1a902a5 0 a50 ,又因為2S80 ,所以有 '2

8、 *）0 a1a80a4a50Q a50 a40 ,說明等差數列的公差是正數，因此當n 4時，Sn最小.故選：A【點睛】本題考查了等差數列前 n項和公式，考查了等差數列下標的性質，屬于中檔題 9.已知數列 an是等比數列，有下列四個命題：比數列；anan 1是等比數列；an an 1是等比數列，其中正確命題的序號是A.B.C.D.【解析】 根據等比數列的性質和通項公式，結合舉特例法進行判斷即可【詳解】：當等比數列 an的公比是負數時,顯然數列 an中，存在某些項是負數，因此Jan沒有意義，故本命題是假命題;：因為數列 an是等比數列，所以有 ann 1aq ,其中q是等比數列的公比，因此111

9、nlana1q-(Ln 1,因為aq1anran 11a1(q)n1 (1)na q11 口(n 2,n N),所以一是qan等比數列，故本命題是真命題;：顯然數列an ( 1)n是以1為首項，公比為1的等比數列，但是anan 10,因此數列 an an 1不能成為等比數列，故本命題是假命題；an an 1 an 1 q an qan 1 anan 1 an：因為數列 an是等比數列，所以有 an a1qn1 ,其中q是等比數列的公比，因此2 ,q (n 2,n N),因此數列a0&1是等比數列，故本命題是真命題 故選：A【點睛】 本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列通項公式的應用

10、，屬于中檔題“今有蒲生一日,10 .我國古代數學典籍九章算術第七章“盈不足”中有一問題: 長三尺.莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”翻譯為現(xiàn)代漢語：今有蒲草第一天長高 3尺，莞草第一天長高1尺.以后蒲草每天增長的長度是前一天增長的一半；而莞草每天增長的長度是前一天增長的兩倍，問多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的時刻約在()A.第1天B.第2天C.第3天D.第4天【答案】C【解析】根據題意，結合等比數列的前 n項和公式進行求解即可.【詳解】設第n天，蒲草、莞草高度相等，由題意可知：1 c31 (1)nTT-21 (1 ； )(2n)2 7 2n 6 02n6

11、 或 2n 1,解得n log26或n 0(不符合題意，舍去)，因為2 log 2 4 log 2 6 logz8 3 ,所以2 n 3,由題意可知：蒲草、莞草高度相等的時刻約在第 故選：C 【點睛】本題考查了數學閱讀能力，考查了等比數列的前 n項和公式的應用，考查了數學運算能力.二、多選題甜.對于b a 0, m 0,下列不等式正確的有:A. abB.a bmb amD.a bmb amAC根據題意，可以得到一個不等式，根據這個不等式所反應的事實對四個選項逐判斷即可.由題意可知，可以得到不等式，若b a 0, m 0,a是正確的；由該不等式反應的性質可得：一ba amb am則有-ba bm

12、b am,因此選項C是正確的;a a m對于選項B：假設a -成立，例如：當b b mb 3,a1,m 4時，顯然不成立，故選項B不是正確的;對于選項D:假設a a bm 成立，例如：當bb b am13,a 1,m 1時，顯然 3不成立，故選項D不是正確的.11 .已知b克糖水中有a克糖b a 0 ,若再添加m克糖 m 0 ,則糖水變得更故選：AC本題考查了數學閱讀能力，考查了數學建模能力，考查了數學知識遷移能力，屬于中檔1 112.已知實數x, y滿足x 2y 1,則一 一可能的值為（）x yA. 0B. 3C. 6D. 9【答案】CD11 一 一 -, 一，一，一，一【解析】 根據一 一

13、的特征和已知x 2y 1,運用基本不等式求出當 x, y為正實數 x y,11 ,一小 ，人，時，一 一的取值范圍，然后對四個選項逐一判斷即可x y【詳解】,11 一、工 八一一 11八對于式子一 一而言，x, y都不能為零，所以 一 一不能為零，選項 A不符合題意； x yx y11 x2yx2y- 2yxec 2yxec 匚當 x,y為正實數時， 3 3 3 - - 3 2 f- - 3 2V2x y x y x y x y（當且僅當 2y 個時取等號，即x J2y時，取等號），顯然6 3 2j2,9 3 2J2 , x y故選項C、D符合題意；11x 2vx 2V 2vx因為x,y都不能

14、為零，所以一一yy3 一0不成立，故選項x y x yx yB不符合題意.故選：CD【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了數學運算能力，屬于中檔題13.對于數列 an ,若存在正整數k k 2 ,使得ak ak 1, ak a,則稱ak是數.9c列an的“谷值，k是數列an的“谷值點”，在數列為中，若an n 8 ,則 n數列an的“谷值點”為（）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】AD【解析】由數列的通項公式求出前七項各項的值，然后根據題意進行求解即可，因為anal2, a22,a32, a47, a546,a6512,a77, n N，nan8 ,此時數列單調遞增,a2al, a2

15、a3,a7a6,a7a8 ，所以數列an的“谷值點”為2,7.【答案】m 5第11頁共16頁故選：AD本題考查了數學閱讀能力，考查了數學運算能力，考查了數列的單調性，屬于中檔題三、填空題x2 314.已知不等式 3 1的解集為M ,若1 M ,則實數m的取值范圍為 x m3< m 1根據集合與元素的關系,結合分式不等式的解法進行求解即可因為1-2- 1 01 mm 303 m 1.1 m故答案為： 3<m 1本題考查了集合與元素的關系,考查了分式不等式的解法，考查了數學運算能力15.在等比數列an中，若al1,a3a54( a41), 則 a7【解析】因為a3a54 a4,所以2a

16、4 4(a4 1) a42 q32a7a4q32 2 4.16.已知命題“若x2 4x 30，則mx 4 0”為真命題，則實數m的取值范圍為【解析】先求出不等式x2 4x 3 0的解集，然后對mx 4 0進行常變量分離,構造函數,求出函數的值域，然后根據題意進行求解即可2x 4x201 x 3, x mx0 mx44Q1 x 3 m x -, x設 f (x)4-(1 x 3),函數在1 x2時單調遞減,在2 x 3時單調遞增，所以有13 ,f (1) 5, f (2) 4, f (3) 一,因此函數 3.4f (x) x 4(1 xx 3)的值域為4,5),因為“若 x2 4x 3 0,則

17、x2 mx 40”為真命題，所以有 m 5.故答案為：m 5本題考查了已知命題是真命題求參數的取值范圍,考查了構造法，考查了數學運算能力.17.已知x, y為正實數，定義x y22x y , 、一-.對于正實數xyy (2y)xx取最小值時，一 y因為x根據定義，由xy 1,所以有1,通過換元法,次方程求出x一的值;y22x yxy1,因為x,y為正實數，所以x令一 t(t 0),因此有 y1 t2 t1.50, t ；2x y (2y) x2yxy22(2y)2 x22yx2y22xy2 5xy2xyx等號，此時一2.第15頁共16頁故答案為：1一5- ；22【點睛】本題考查了數學閱讀能力，

18、考查了解一元二次方程，考查了重要不等式的應用，考查了 數學運算能力.四、解答題18.在等差數列 an中，已知：a13, 11a5 5a8.(1)求數列an的公差.(2)求數列 an的前n項和Sn的最小值，并指出此時正整數n的值.【答案】(1) 2； (2) Sn最小值為 4,此時正整數n的值為2.【解析】(1)根據等差數列的通項公式，結合等式11a5 5a8進行求解即可;(2)由(1),結合等差數列的前n項和公式，求出Sn的表達式，然后應用配方法進行求解即可.【詳解】(1)設等差數列的公差為 d,由11a5 5a811(a1 4d) 5(a1 7d)Qa13, d 2 ,所以等差數列的公差為

19、2;122(2)因為 a13,d 2,所以 Sn na1 一 n(n 1)d n 4n (n 2)4,當2n 2時，Sn有最小值 4,此時正整數n的值為2.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式的應用，考查了等差數列前 n項和最小值問題，考查了數學運算能力.19.已知 f(x) x2 a(6 a)x 6, a R.(1)解關于a的不等式f 10；(2)若不等式f (x) 7x b的解集為(1)U(3,),求實數a, b的值.【答案】(1) 1 a 5; (2)【解析】(1)根據函數的解析式，結合解一元二次不等式的方法進行求解即可;(2)根據一元二次不等式的解集性質，結合根與系數進行求解即可【詳解

20、】22(1) f 101a(6 a) 1 6 0 a 6a 5 01 a 5；(2) f(x) 7x b2x a(6 a)x 6 7x b2_2_x (6a a 7)x b 6 0,1)U(3,),因此有:由題意可知：不等式 f (x) 7x b的解集為(21 3(6a a 7)1 3 b 6【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了已知一元二次不等式的解集求參數的值，考查了數學運算能力.20 .已知等比數列 an的前n項和Sn3n 1 ,其中 為實數.(1)求實數的值，并求出數列an的通項公式；(2)求數列 an的前n項的積Tn a1 a2L an.n 1n(n 1)【答案】(1)1,

21、an 2 3 ； (2) 2n 3.【解析】(1)根據Sn3n 1,求出a1，a2,a3 ,利用等比數列的性質，以及結合Sn,an之間的關系進行求解即可；(2)根據等比數列的通項公式，結合等差數列前n項的和公式進行求解即可.【詳解】(1)因為Sn3n 1 ,所以可得a&31,a2s2S 6 ,a3S3S218 ，由等比數列的性質可知：22a2a包(6 )(31) (18 )1或 0(不符合題意舍去，所以1 ,因此 Sn 3n 1,當 n 2(n N)時，nn 1n 1an Sn Sn 1 3 1 (31) 2 3 ，顯然當 n 1 時，a1§ 2也適合，因此 an 2 3n

22、1 ； n(n 1)(2)Tna1a2Lan2 (231)(2 32) K (2 3n 1) 2n312 3 L (n 1)2n3 2 .【點睛】本題考查了已知等比數列前n項的和求通項公式，考查了等差數列前n項的和公式，考查了數學運算能力21 .已知數列an的前n項和為Sn,且Sn2c*(n 1)an 2, n N .(1)令bn 2an 1an,證明：數列 0為常數數列，并求出an的通項公式;11,(2)若 Cn Lanan 11一，求數列a2nCn的最大項的值.【答案】（1）證明見詳解,an 2n【解析】（1）根據遞推公式Sn(n1)2an 2,求出a1，a2, a3的值，再對遞推公式再遞

23、推一步，兩個等式相減，再結合bn2 an 1 an ,可以證明出數列bn為常數數列，也就能求出 an的通項公式;（2）判斷數列的單調性，根據數列的單調性進行求解即可2(1)因為Sn(n 1)an 2,所以可求出a1 1,a23, a35,由 Sn (n1)22an 2(1),可得 Sn1(n 2)an 12，(2) (1)得:2an 1 an2n3(3),可得：當 n 2(n N)時，2an an 12n 1(4),因為bn2an1 an,所以(4)得：2bn 4 1,而 1bl0'因此有an 1an2 ,即說明數列an是公差為2等差數列，因此an 2n 1 ；(2)因為CnanLan

24、 1a2n所以有Cn 1Cn 1因為an 1an 1a2na2n 11-,因此 a2n 2a2n 1a2n 2an14n 116n 74n 3 2n 1(4n 1)(4n 3)(2n 1)'N，所以Cn 1cn0Cn 1Cn,因此數列Cn是單調遞減數列，所以當數列Cn有最大項，其值為C1ala2本題考查了由遞推關系求數列的通項公式,考查了數列的單調性， 考查了等差數列的定義，考查了數學運算能力第12頁共16頁22.如圖，一幅壁畫的最高點A處離地面4米，最低點B處離地面2米.正對壁畫的是一條坡度為1: 2的甬道（坡度指斜坡與水平面所成角的正切值），若從離斜坡地面1.5米的C處觀賞它.第2

25、0頁共16頁（1）若C對墻的投影（即過 C作AB的垂線垂足為投影）恰在線段 AB （包括端點） 上，求點C離墻的水平距離的范圍;（2）在（1）的條件下，當點 C離墻的水平距離為多少時，視角 （ACB）最大?【答案】（1）點C離墻的水平距離的范圍為:1m5m; （2）當點C離墻的水平距離為1m時，視角 （ACB ）最大.【解析】（1）如圖所示：設BF x（0 x2）,CF y ,利用平行線成比例定理，結合銳角三角函數正切的定義進行求解即可;（2）利用兩角和的正切公式、結合正切的定義,求出 tan的表達式,利用換元法、基本不等式進行求解即可(1)如圖所示：設BF x(0 x 2),CFy ,顯然有

26、tan FGD,11tan 一，因2此有FGtan FGD2(2 x),由 GE/DF，可得:CEDFCG 1.52(2 x) yGF 2 x 2(2 x),化簡得：y 2x 1,因為0x 2,所以1 y 5,即點C離墻的水平距離的范圍為:1m5m ;(2)tantan BCF tan ACF tan( BCF ACF )1 tan BCF tan ACF2y2 c2y 2x x因為y 12x 1,所以有x -，代入上式化簡得:2tan2yy2 2x x22y2 -2因為5y4 （當且僅當5y也時取等號，即 yy 1時，取等號），因此有0 tan2,因此當點C離墻的水平距離為1m時，視角(ACB )最大.本題考查兩角和的正切公式的應用,考查了基本不等式的應用,考查了平行線成比例定理，考查了數學建模能力，考查了數學運算能力23.若正整數數列anbn滿足：對任意aibia2b2 Lanbnan 1bn 1 3恒成立,則稱數列anbn為“友好數列”(1)已知數列 anbn的通項公式分別為an2nn 1,_1, bn 2 ,求證：數列anbn為“友好數列”(2)已知數列anbn為“友好數列”，且aibi1 ,求證：“數列an是等差數列”是“數列