特殊群的子群,不變子群與商群

1、特殊群的子群、不變子群與商群摘 要：群是一種代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)體系，它是近世代數(shù)中比較古老且內(nèi)容豐富的重要分支，在近似代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.其中子群的相關(guān)理論中群的同態(tài)與同構(gòu)不變子群和商群尤為重要.不變子群的重要性在于它與群同態(tài)有密切的關(guān)系,而群同態(tài)的核心就是不變子群.突出了同態(tài)的重要性本篇論文主要闡述了對(duì)不變子群的判別條件進(jìn)行歸納,同時(shí)證明了諸判別條件的等價(jià)性并給出一些應(yīng)用,通過不變子群與同態(tài)的幾個(gè)關(guān)系看出不變子群和商群的重要意義,并且著重列舉出了一些特殊群的子群不變子群及商群,使我們更深入的了解特殊群的子群不變子群及商群的相關(guān)內(nèi)容.關(guān)鍵詞：子群；不變子群；判別準(zhǔn)則；陪集；商群引言 在古典代數(shù)中

2、方程論是中心課題.直到19 世紀(jì)中葉，代數(shù)仍是一門以方程式論為中心的數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)方程的求解問題依然是代數(shù)的基本問題，特別是用根式求解方程.群論也就是起源于對(duì)代數(shù)方程的研究，它是人們對(duì)代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果.伽羅瓦仔細(xì)研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項(xiàng)式方程的可解性理論，他將重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可.1799 年，魯菲尼證明了五次以上方程的預(yù)解式不可能是四次以下的，從而轉(zhuǎn)證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善.同年，德國數(shù)學(xué)家高斯開辟了一個(gè)新方法，在證明

3、代數(shù)基本理論時(shí)，他不去計(jì)算一個(gè)根，而是證明它的存在.隨后，在1801 年，* *他解決了分圓方程xp-1=0 （p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進(jìn)一步查明.隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個(gè)問題.1824年到1826年，他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴(yán)格證明如果一個(gè)方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù).并且利用這個(gè)定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解.接著他進(jìn)一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題 在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上

4、，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點(diǎn)是一個(gè)方程的全部根都是其中一個(gè)根（假設(shè)為X）的有理函數(shù)，并且任意兩個(gè)根 qi（x）與q2（x）滿足qq2（x） q2q（x）, q1，q2（x）為有理函數(shù).現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題.在此基礎(chǔ)上法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程論，主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域白理論，人們稱之為伽羅華理論.正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了 一個(gè)新的里程.群論是

5、研究也不僅僅局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在研究物理問題中群論也是重要的工具.并且用群論解決有些問題可以更加簡捷，在粒子物理等方面的應(yīng)用也是很廣泛的 .在化學(xué)中它可以應(yīng)用于基本粒子、核結(jié)構(gòu)、原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)等許多方面，分析它在分子偶極距、旋光性上的應(yīng)用能說明雜化軌道的形成過程.1群及其同態(tài)與同構(gòu)定義1.1 設(shè)G是一個(gè)非空集合，*是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件：I .結(jié)合律成立，即對(duì) G中任意元素 a,b,c都有 a b* c a*b c;n .中有元素e ,叫做G的左單位元，它對(duì) G中每個(gè)元素 a都有 ea a；11m .對(duì)G中每個(gè)兀素 a在G中都有兀素 a ,叫做a的左逆兀，使a a e ,則稱G

6、對(duì)代數(shù)運(yùn)算*做成一個(gè)群。：G G使a,b G在G上，都定義1.2設(shè)Gj和Gj|都是群 如果存在映射有（a b）（a） （b）（即保運(yùn)算）則稱是同構(gòu)映射.同時(shí)稱G與G同構(gòu)，記為G G ,也稱G是G的同構(gòu)象.性質(zhì)1.1 G G是群同構(gòu)映射，那么的逆映射1 :G G也是群的同構(gòu)映射證明 已知，.1(b)=b，且 (a)：G G必是雙射，現(xiàn)須證1能保運(yùn)算即可.事實(shí)上，注意到了=1G ,且 a , b G ,則必然存在a , b G使 (a) = a ,1 ,=a ,(b) = b .于是1 .一 二"11(a b)= ( (a) h (b) =( (a b) = (a b)1 ,二 1 一、

7、1g (a b) a b(a)(b)1 (a b)=1(a)1(b)1保運(yùn)算.即1是同構(gòu)映射.性質(zhì)1.2設(shè)1 ： G1G2和2 ： G2G3都是群同構(gòu)映射，那么1 2也是群同構(gòu)映射。證明：因?yàn)?和2,都是雙射，自然1 2也是雙射.而1,2都能保運(yùn)算，須 1 2也能保持運(yùn)算a,b Gi,2 1(ab)? 1(a) 1(b)2 1(a) 2(b)同構(gòu)映射。性質(zhì)1.3在群之間的同構(gòu)作為關(guān)系時(shí)，“ ”必是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。證明：（1）任一個(gè)群1GG ,顯然 G G，這里1g是G的恒等變換。1(2)若G|G2那么由結(jié)論1 G2 Gi122 1(3)若 GjG2，且 G2 G3,由結(jié)論 2 G1 G3由（1）

8、, （2）知，“ ”滿足發(fā)射定律，對(duì)稱律和傳遞律。所以， “ ”是等價(jià)關(guān)系。例1設(shè)群U4 = 1, 1,i, i是四次單位根群，K = e,a,b,ab是由元素a, b和關(guān)一 22系a = b = e和ab= ba所定義的群.問U4與K是否同構(gòu)，為什么？解 如果U4與K同構(gòu)， 是U4到K的同構(gòu)映射.則易知 (1) (i i)2 e,而(1) e,是單射，我們可以得到 -1=1.這是一個(gè)矛盾。從而知U 4與K不同構(gòu) 卜 定義1.3 設(shè)G,和G"都是群，如果存在映射：G G使 a,b G,都有(a b) (a)-(b),則稱是群同構(gòu)態(tài)映射；如果是滿射，則必為群滿同態(tài)映射，(注：這是重要的

9、一種同態(tài)，要特別關(guān)注)簡稱 G 與G 同態(tài),并記為GG,此時(shí)也稱G 是G的同態(tài)像.性質(zhì)1.4設(shè)是兩個(gè)代數(shù)體系A(chǔ), 到 AJ的同態(tài)滿射，若 A, 是群,那么AT,也一定是群.性質(zhì)1.5 設(shè) ：GG是群同態(tài)滿射.那么若e是G的單位元，e e,必是G的單位元.(ii)若 a (a 1)(a) 12子群的同構(gòu)與同態(tài)及陪集的基本定義和性質(zhì)定義2.1 設(shè)G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)非空子集，若 H本身對(duì)于 G的運(yùn)算下也是群，則稱 H是G的一個(gè)子群.定理2.1 設(shè)H是群G的非空子集， 則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)H滿足下列兩條件之一:1(1)對(duì)任息 a,b H , ab H 且 a H ；1(2)對(duì)任息 a,b H

10、, ab H .性質(zhì)2.1 H是群G的子群當(dāng)且僅當(dāng)其為非空集且在乘積和逆運(yùn)算下為封閉的.(封閉條件是指：任兩個(gè)在H內(nèi)兩元素 a和b, ab和a 1都為在H中).1 .性質(zhì)2.2 任兩個(gè)在 H內(nèi)的a和b , ab也在H內(nèi).若H是有限的則 H是G一個(gè) 子群當(dāng)且僅當(dāng) H在乘積下為封閉的 (在此情形下， G的每一個(gè)元素 a都會(huì)生成一個(gè) G 的有限循環(huán)子群).性質(zhì)2.3 一個(gè)子群內(nèi)的一元素的逆元素為群內(nèi)的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且 a和b為會(huì)使得ab ba eH成立的H內(nèi)的元素，則 ab ba eG.性質(zhì)2.4若S是G的子集，則存在一個(gè)包括S的最小子群，其可以由取得所有包才S的子群之交集來找出

11、；此時(shí)最小子群被標(biāo)記為<S>并稱為由S生成的子群。而G內(nèi)的一個(gè)元素在 <S>內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)其為S內(nèi)之元素的有限乘積且其逆元性質(zhì)2.5 若e為G的單位元素，則群 e會(huì)是群G的最小子群，而其最大子群則 會(huì)是群G本身.例2找出模12的剩余類加群的所有子群.解 設(shè)H是12的子群，則H的個(gè)數(shù)只能為1、2、3、4、6、12;(H) 1,HeH2,H06H3,H048(H4,H0369:H6,H0246 810y:H 12,H12例3 假設(shè)H是群G的一個(gè)非空子集，并且H的每一個(gè)元的階都有限，證明H作成子群的充要條件是：a,b H ab H證明必耍性顯然.充份性 a H ,設(shè)an e ,則

12、a 1 an 1 H ,故H作成子群.定理2.2設(shè) ：G G，則(1) N4G (N)»G(2) N <|G 1(N)<)G3不變子群的定義判別條件及不變子群與同態(tài)定義3.1 設(shè)H是群G的子群.如果 a G都有aH Ha,則稱H是G的不變子群 或正規(guī)子群，記為： H G ,稱Ha是由子群H確定的一個(gè)右陪集；而稱 aH是由H確定 的左陪集.當(dāng)H是G的不變子群時(shí)，把它的左陪集和右陪集通稱為陪集.一個(gè)不變子群N的一個(gè)左(或右)陪集統(tǒng)一叫做 N的一個(gè)陪集.注意這里右陪集的“右”的含義在于元素a是從右邊乘以子群 H,而左陪集是元素 a從左邊乘以子群H.我們看一個(gè)群 G和G的一個(gè)子群

13、H我們規(guī)定一個(gè) G的一個(gè)元中間的關(guān)系 ：ab,當(dāng)且只當(dāng)ab 1 H的時(shí)候1 .給了 a和b,我們可以唯一確定，ab是不是屬于H ,所以是一個(gè)關(guān)系.但* *1(1) aa e H ,所以 aa 11、 11(2) aaH (ab ) ba H ,所以 a b b a1. 111、1(3) abH , bc H (ab )(bc ) ac H ,所以a b, bc a c這樣，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.定義3.2 由上面的等價(jià)關(guān)系 所決定的關(guān)系叫做子群H的右陪集.包含a的右陪集用符號(hào)Ha來表小.例 4 G S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) H (1),(12)那么H(1)

14、(1),(12)H(13) (13),(123)H(23) (23),(132)我們還可以用(12), (123), (132)來作右陪集H(12),H(123),H(132),但因?yàn)?H(12) H(1),H(123) H(13),H(132) H(23)這樣，子群H把整個(gè)群分成H(1),H(13),H(23)，三個(gè)不同的右陪集.這三個(gè)不同的右陪集放 在一起顯然是G ,因此，他們的確定是一個(gè)分類.關(guān)于右陪集有如下性質(zhì):性質(zhì)3.1 設(shè)G是群，H G,則:(1) a Ha, a G ;(2) ab 1 H當(dāng)且僅當(dāng)Hap Hb當(dāng)且僅當(dāng)Ha| Hb ；(3) HejHajHb|jHc-",

15、其中e是G的單位元，e, a,b,cj"中任意兩個(gè)x, y均有x,y1 H .定義3.3設(shè)S,S2, Sm為群G的m個(gè)子集合，用記號(hào)S1S2 Sm S1S2Sm|Si Si,i 1,m稱為集合S1,S2, ,Sm的乘積.定理3.1設(shè)N是G的子群，則(1) N G; 1(2) ana N, a G, n N ;11(3) aNaN, a G；(或 a Na N, a G)1(4) aNaN, a G ；(5) N的每一個(gè)左陪集也是 N的一個(gè)右陪集. 1證明(1)(2)： an aN Na n N,s.t.an n a ana n N(2) (3):顯然111、1(3) (4)：只須證

16、N aNa : n N, a G a na N n a(a na)a ,1故 aNa N .1(4) (1)：對(duì)于G任意的一個(gè)兀a都有aNa N11aNa N Na (aNa )a aNe aN那么N是不變子群.(1) (5):顯然(5) (1)： a G,則 b G 使彳# aN Nb ,因?yàn)閍 aN Nba Na Nb Na Nb Na Nb a Na故 Na aN,即 N G.(6) 假定H是G的子群，N是G的不變子群，證明 HN是G的子群.證明hn1,h2n2 HN ,h1nlh2n2 h)(h2n1 )n2 HN(hini) 1 n1 1h| 1 h| 1n3 HN(7) 群G的任何

17、兩個(gè)正規(guī)子群的交還是G的正規(guī)子群.證明 設(shè)方與K為G的兩個(gè)正規(guī)子群，L H|K,則2為G的子群.又任給, g G,則因?yàn)?H與 氏都是 G的正規(guī)子群，所以gag 1 H,gag 1 K ,進(jìn)而， gag 1 H p K .故 H K G1 .H G,N G HK GM K G2 . M G, N G MK G正規(guī)子群不具有傳遞性，即Ni N2, N2 N3推不出N1 N3,但有傳遞性N1N2N3, N1N3 N1 N2定義3.4假定 是一個(gè)群g到另一個(gè)群g的一個(gè)同態(tài)滿射.g的單位元e在之下 的所有逆象所成的G的子集叫做同態(tài)滿射的核.定義3.5 假定 是集合A到集合A的一個(gè)滿射.S是A的一個(gè)子集

18、S在 下的象，假 如S剛好包含所有S的元在 下的象；S是其的一個(gè)子集S在 下的逆象，假如 S剛好包 含所有S的元在下的逆象.定理3.2假設(shè)G和G是兩個(gè)群，并且 G與G同態(tài)，那么在這個(gè)同態(tài)映射之下的(I) G的一個(gè)子群H的像H是G的一個(gè)子群；(n) G的一個(gè)不變子群 N的像N是G的一個(gè)子群。定理3.3假設(shè)G和G是兩個(gè)群，并且 G與G同態(tài)，那么在這個(gè)同態(tài)滿射之下的(I) G 一個(gè)子群H的逆象H是G的一個(gè)子群；(n) G 一個(gè)不變子群 N的逆象N是G的一個(gè)不變子群.4 不變子群的陪集及商群定理4.1 一個(gè)群G的不變子群N ,把N的所有陪集作成一個(gè)集合a,b,c| G S aN,bN,cN“|法則(x

19、N)(yN) (xy)N是一個(gè)S的乘法，關(guān)于該乘法 N的所有陪集能夠構(gòu)造出一個(gè)群定義4.1 設(shè)N G,令G/N aN|a G,規(guī)定(aN) (bN) (ab)N, aN,bN G/Na 1aln1N1b b1n2N則(G/N,)是一個(gè)群，稱為 G關(guān)于N的商群.a1N aN證明(1)?是G/N的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算：假設(shè)bN bN又 N GbN Nb1n3 N,st.nb1,于是(ab) 1(a1b1) b 1a 1a1b1 b 1n1 b1 b 1b1n3 n2n3 N ,從而(ab)N (a1b1)N ,所以(aN) (bN) (a1N) (tN)(2)(G/N,)為一個(gè)群：(I )封閉性：顯然；(

20、n)結(jié)合律：aN,bN,cN G/N,有(aN bN) cN (ab)N cN (ab)c)NaN (bN cN) aN(bc)N) (a(bc)N (ab)c)N(出)單位元：aN G/N, (e)N (aN) (ea) N aN (ae) N (aN) (eN)(IV)逆元： _1_111aN G/ N, a N G/N, (aN) (a N) (aa )N eN (a N) (aN)故(G/N,)為一個(gè)群.注：商群G/N中一定要求“ N G” .(否則不知道是左陪集還是右陪集之集)推論 |G / N | G : N,特別地，當(dāng) |G |時(shí)，有 |G/N | |G | /1 N |.定理4

21、.2 一個(gè)子群G同它的每一個(gè)商群 G / N同態(tài).證明規(guī)定一個(gè)法則a aN (a G)顯然該法則是 G到G / N的一個(gè)滿射.對(duì)于G的任意兩個(gè)元a和b來說，ab abN (aN)(bN)所以它是一個(gè)同態(tài)滿射定理4.3 假設(shè)G和G是兩個(gè)子群，并且 G與G同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核N是G的一個(gè)不變子群，并且 % G例7 假定G和G是兩個(gè)有限循環(huán)群，它們的階個(gè)是 m和n .證明，G與G同態(tài).當(dāng)且 僅當(dāng)n | m的時(shí)候.解 設(shè)G與G同態(tài)，那么由定理2.3, G/G,這里N是G到G的同態(tài)滿射的核.所以G/的階是n .但G/N的階等于不變子群 N在G里的指數(shù)，所以它能整除 G的階m 由此n |m.反過來設(shè)

22、n|m.令G (a), G ©.定義k -ka ah kh - k若a a ,那么.m | h k .于是n|m,得n|h k而a a這樣 是G到G的一個(gè)映射. 很容易證明， 是G到G的一個(gè)同態(tài)滿射.因此G與G同態(tài).性質(zhì)4.1 設(shè)H為G的正規(guī)子群，則e eH H為 的單位元，a 1H為aH逆元.性質(zhì)4.2 交換群的任一子群都是交換群，且其商群也是交換群.性質(zhì)4.3 循環(huán)群的任一商群也都是循環(huán)群.例8 A (1),(12), B (1),(13)是3次對(duì)稱群S3的兩個(gè)子群，但AB (1),(12),(13),(132)BA (1),(12),(13),(132)都不是S3的子群，并且.

23、BA AB例9設(shè)G (Z, ), G為加群,所以它的任一子群都是正規(guī)子群.設(shè)E為一大于1的正整數(shù)，H (m),則%)a H|a Z 0,1,|,mlZm.且a b arb與zm中的加法相同,故Z(m) zm.5常見的特殊群及相應(yīng)理論定義5.1 非空集合X的全體可逆變換關(guān)于變換的合成所構(gòu)成的群Sx稱為集合X的對(duì)稱群.Sx的任一子群稱為X的一個(gè)變換群.定理5.1 每一個(gè)群都同構(gòu)于一個(gè)變換群 .證明設(shè)G是群，a G.(1):確定非空集合 X ,取X = G(2)：構(gòu)造G的一個(gè)變換 G. 規(guī)定 a ： G G x G則1a是G的一個(gè)變換(稱為左乘變換)；2 設(shè)若 x,y G , a(x)= a(y),即 ax = ay, x = y .于是 a是單射.13 g G,可找x=a ,g G.則a(x)=ax=g.于是a是滿射.由此得 a 可逆，因此 aSg .令Gi = a a GSg下證：Gi是Sg的子群：1 a , b Gi ,x G ,(a b)(x)= a( b(x)= a(bx)= a(bx) = abx= ab(x)b = abGi1 、1(a ai )(x)= a(a x)= aa x= x,、i于是a ai= a i a為恒等變換，所以ai = ( a)，于是證明了 Gi是Sg的子群.3下面證明：G Gl令：