中心集中荷載下簡支斜板彎曲問題的解析解

1、 中心集中荷載下簡支斜板彎曲問題的解析解葛風(fēng)光1,彭嘉煒21河海大學(xué)土木工程系,江蘇南京(2100982黃河科技大學(xué)工學(xué)院,河南鄭州(450053E-mail:gefengguang摘要:本文利用斜坐標(biāo)系下斜板的彎曲方程及邊界條件,以及荷載與撓度的傅立葉無窮級數(shù)展開形式,導(dǎo)出了中心集中荷載作用下簡支斜板彎曲問題的解析解。這種方法求解思路清晰,數(shù)值收斂性好,結(jié)果準(zhǔn)確可靠,方法簡單實用。關(guān)鍵詞:斜板,簡支,彎曲,中心集中荷載,傅立葉級數(shù)中圖分類號:TU311.41.引言目前工程建設(shè)突飛猛進(jìn),基本結(jié)構(gòu)矩形板和圓形板已經(jīng)不能滿足現(xiàn)實工程的需要,斜板得到了廣泛的應(yīng)用。例如在建筑結(jié)構(gòu)樓蓋,剛性混凝土路面,

2、斜交板橋,飛機的機翼,船舶結(jié)構(gòu)中都有應(yīng)用,因此對斜板彎曲理論進(jìn)行分析有很大的實用價值。斜板由于缺乏矩形板的邊界正交性,因此數(shù)學(xué)處理十分困難,工程上大多采用有限元方法進(jìn)行分析計算,而有關(guān)斜板的解析解一直缺乏研究。本文在文獻(xiàn)1的研究基礎(chǔ)上,利用斜坐標(biāo)系下斜板的彎曲方程及邊界條件,將荷載與撓度采用傅立葉級數(shù)展開的形式,從而推導(dǎo)出中心集中荷載作用下簡支斜板各點的撓度及內(nèi)力,其結(jié)果與已有文獻(xiàn)比較,吻合較好,可以在實際工程中加以好好利用。2.基本方程及公式2.1 斜板彎曲控制方程由于斜板的邊界互不垂直,與直角坐標(biāo)系不能完全對應(yīng),使得斜板的邊界問題復(fù)雜化。o:為便于求解,采用圖1所示的與斜板邊界相對應(yīng)的無量

3、綱坐標(biāo)系 圖1 簡支斜板Fig.1 Skew plate simply supported其斜板彎曲方程為: 42234(,42(124as q W pcW p c W p cW p W D+=(1 其中:sin ,cos ,a s c p b=,32(/12(1D E h µ=××,D 板的彎曲剛度,E 板的彈性模量,µ材料的泊松比,斜板的斜角,h 板厚。2.2 邊界條件簡支邊:0W = (2 ; 0n M = (3,可知: AB 、CD 邊:0W = 2222(20(n DM c s W pcW p W as µ=+= (4 BC 、AD

4、邊:0W = 22222(0(n DM W pcW p c s W as µ=+= (5 2.3 齊次解,(hW 齊次解采用兩個分別沿斜坐標(biāo)、方向的單傅立葉級數(shù)展開式,由于荷載與邊界條件均關(guān)于中心對稱,因此利用對稱性,并疊加得到:224441234n 1(,(sin cos (sin cos n n h n n n n n n n n W A A A A p e P Q e R S += (6112212312412sin cos sin cos n n n n n n n n n n n n n n P e C ch C sh C sh C ch =+ 112212312412co

5、s sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n Q e C ch C sh C sh C ch =+512612712812sin cos sin cos n n n n n n n n n n n n n n R e C ch C sh C sh C ch =+ 512612712812cos sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n S e C ch C sh C sh C ch =+其中:12,n n n n n n n ch cosh sh sinh n sK cK K p =12,nn n n n n sH c

6、H H p=,1n C 8n C 均為待定常數(shù)。由于對稱性,因此只有四個獨立的邊界條件,當(dāng)截斷級數(shù)最大項數(shù)取N 時,可以產(chǎn)生8N+4個方程,聯(lián)立方程正好求解全部8N+4個獨立的待定常數(shù)。2.4 特解(,pW 中心集中力0P 可認(rèn)為是均勻分布在以點00(,為中心的微小面積22×上的局部均載(,q ,則按二重傅立葉級數(shù)展開2,可以得到:00001111(,cos cos cos cos 422mn mn mn m n m n P P P P q B m D n G m n abs abs abs abs =+1mn B = 1mn D = 1mn G =特解(,p W 取相應(yīng)二重傅立葉級

7、數(shù)形式,即: 42200000221100011(,(cos cos 32(1222(cos cos sin sin pmn mn m n mn mn m n P P P as W B m D n D absp c abs abs P G m n H m n abs =+44441mn mn B B m m =4444441mnmn D D p n p n = 422224442222440422224424422224424(2(122(12(2(12(2(12mnmnm c m n p n p G m c m n p n p Gm c m n p n p m c m n p n p +=+

8、 22222204222244244222244244(4(2(12(2(12mnmncmnp m n p G cmnp m n p H m c m n p n p m c m n p n p +=+ 所以方程(1的通解:(,(,(,hpW W W =+ (73.算例分析為便于與已有資料進(jìn)行比較,取泊松系數(shù)µ=0、邊長為2a×2b ,采用mathematica 語言編制程序進(jìn)行計算3。表1列出了各種邊長比值下?lián)隙鹊挠嬎阆禂?shù),撓度=表中數(shù)值×P 0 (2a2 /D 。表1 中心集中荷載作用下中心撓度的計算系數(shù)表Tab.1 Flexibility factor of

9、center point under central concentrated load角度項數(shù)N1/p = 1.0 1/p =1.1 1/p =1.6 1/p =2.0 1/p =3.0 N =11 0.01161 0.01268 0.01570 0.01652 0.01689 N =15 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01691N =21 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01692 N =23 0.01160 0.01267 0.01570 0.01652 0.01692 90°文獻(xiàn)40.01160 0.0

10、1265 0.01570 0.01651 0.01690N =11 0.00912 0.00994 0.01206 0.01251 0.01265N =15 0.00911 0.00993 0.01206 0.01252 0.01268 N =21 0.00909 0.00992 0.01205 0.01252 0.01270 60°N =23 0.00909 0.00992 0.01205 0.01252 0.01270角度項數(shù)N1/p = 1.0 1/p = 1.1 1/p = 1.6 1/p = 2.0 1/p =3.0N =11 0.00650 0.00707 0.00826

11、 0.00841 0.00841N =15 0.00650 0.00705 0.00826 0.00842 0.00844 N =21 0.00646 0.00703 0.00825 0.00843 0.00846 45°N =23 0.00646 0.00703 0.00825 0.00843 0.00846對于彎矩的求解,當(dāng)載荷接近集中力的情形時,彎矩的級數(shù)表達(dá)式收斂的很慢,因此對于數(shù)值計算是不適用的,但的確有較大的有限值存在,可以采用其他的計算方式來求解受載中心的彎矩。對于板內(nèi)其他的點,仍可采用本文算法進(jìn)行計算,取=0.5,=0.5處進(jìn)行計算彎矩,見表2,彎矩=表中數(shù)值

12、5;P 0: 表2 中心集中荷載作用下=0.5,=0.5處彎矩的計算系數(shù)表 Tab.2 Moment factor in =0.5,=0.5 under central concentrated load1/p=1.0 1/p1.1 1/p2.0角度項數(shù) NM xM yM xM yM xM yN 11 0.0352 0.0352 0.0413 0.0285 0.0522 -0.0080 N 15 0.0352 0.0352 0.0412 0.0285 0.0521 -0.0080N 21 0.0351 0.0351 0.0412 0.0284 0.0521 -0.0080 N 23 0.035

13、1 0.0351 0.0412 0.0284 0.0520 -0.0080 90°文獻(xiàn)30.0351 0.0351 0.0411 0.0284 0.0520 -0.0080N =11 -0.0125 0.0490 -0.0118 0.0479 -0.0038 0.0255N =15 -0.0126 0.0488 -0.0118 0.0477 -0.0039 0.0255 N =21 -0.0126 0.0487 -0.0118 0.0476 -0.0039 0.0255 60°N =23 -0.0126 0.0487 -0.0118 0.0476 -0.0039 0.025

14、5 N =11 -0.0240 0.0431 -0.0244 0.0433 -0.0141 0.0244N =15 -0.0239 0.0428 -0.0243 0.0430 -0.0141 0.0244 N =21 -0.0239 0.0426 -0.0243 0.0429 -0.0142 0.024445°N = 23 -0.0239 0.0425 -0.0243 0.0428 -0.0142 0.0244 為了更直觀地表達(dá)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,下面用圖象說明。取一組混凝土斜板,設(shè)彈性模量E=2.5×104MP a ,板厚h=200,泊松比µ=0,短邊邊長2a=300

15、0,采用本文計算數(shù)據(jù),對參數(shù)角度、邊長比p 分析如下圖2、3所示5。 中心點撓度(m 中心集中力P 0(KN中心點撓度(m 中心集中力P 0(KN圖2 斜角為60°時不同邊長比下的撓度圖 圖3 邊長比為1.6時不同斜角下的撓度圖Fig.2 Deflection curve in =60° Fig.3 Moment curve in 1/p=1.6從上面的結(jié)果來看,本文方法收斂效果較好,其中撓度收斂效果最好。計算結(jié)果與已有文獻(xiàn)中的數(shù)值吻合較好,完全能滿足工程精度要求。本文將矩形板的研究拓展到斜板,可求得各種斜角、邊長比p 、泊松比µ情況下四邊簡支斜板中心集中荷載下任

16、意一點的撓度及彎矩,有利于斜板的理論研究和工程設(shè)計。 參考文獻(xiàn)1 曹朗.中心集中荷載作用下彈性地基上自由斜板的彎曲分析J.江蘇建筑,1996,58(1:46-48.2 嚴(yán)宗達(dá).結(jié)構(gòu)力學(xué)中的富里葉級數(shù)解法M.天津:天津大學(xué)出版社,1989.9.3 丁大正.Mathematica5在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用M.北京:電子工業(yè)出版社,2006.6.4 S.鐵摩辛科,S.沃諾斯基.板殼理論M.北京:科學(xué)出版社,1977.5 葉衛(wèi)平,方安平,于本方.Origin7.0科技繪圖與數(shù)據(jù)分析M.北京:機械工業(yè)出版社,2004.Analytic Solution on Skew Plate Bending with

17、 Simply Supported under Central Concentrated LoadGe Fengguang1, Peng Jiawei21 Civil Engineering College of Hohai University, Jiangsu Nanjing (2100982 Engineering College of Huanghe S&T University, Henan Zhengzhou (450053AbstractOn this paper,using the oblique coordinates system parallel to the edge of the plate and a form of infinite Fourier series to represented the deflection and load, the article obtain the deflection and the internal force for a skew plate simply supported under