中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

1、(一一)(xfy若函數(shù)若函數(shù)滿足條件：滿足條件：1、在、在, ba上連續(xù)；上連續(xù)；2、在、在),( ba內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；3、)()(bfaf0)(f則在區(qū)間則在區(qū)間),( ba內(nèi)至少內(nèi)至少存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)使得使得函數(shù)曲線函數(shù)曲線 上至少存在一點(diǎn)使得上至少存在一點(diǎn)使得)(xfy過該點(diǎn)的切線平行過該點(diǎn)的切線平行 軸軸x0 xy12ab 它是拉格朗日定理的特殊情形，它是拉格朗日定理的特殊情形，也是證明拉格朗日定理和柯西定理也是證明拉格朗日定理和柯西定理的依據(jù)。應(yīng)明確定理的條件和結(jié)論的依據(jù)。應(yīng)明確定理的條件和結(jié)論)(xfy若函數(shù)若函數(shù)滿足條件：滿足條件：1、在、在, ba上連續(xù)；上連續(xù)；2、在、在),

2、( ba內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；則在區(qū)間則在區(qū)間),( ba內(nèi)至少內(nèi)至少存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)使得使得)()()(abfafbf函數(shù)曲線函數(shù)曲線 上至少存在一點(diǎn)使得上至少存在一點(diǎn)使得)(xfy過該點(diǎn)的切線平行于過該點(diǎn)的切線平行于)(,),(,bfbbafaa兩點(diǎn)弦兩點(diǎn)弦)(,bfbb0 xy12ab)(,afaa拉格朗日定理有以下兩個重要推論：拉格朗日定理有以下兩個重要推論：如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)任一內(nèi)任一)(xf點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，則都等于零，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是一個常數(shù)。內(nèi)是一個常數(shù)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)和和),( ba)(xg在在內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(xf它

3、們的導(dǎo)數(shù)處處它們的導(dǎo)數(shù)處處),()(xgxf相等，即相等，即則則和和)(xg相差一個常數(shù)，即相差一個常數(shù)，即)(xfcxgxf)()(對于兩個定理中的對于兩個定理中的 ，只知道其存在，只知道其存在性，除了簡單的函數(shù)外，一般情況下性，除了簡單的函數(shù)外，一般情況下不易求得不易求得 ，也無此必要，也無此必要下列函數(shù)中，在區(qū)間下列函數(shù)中，在區(qū)間 滿足羅爾滿足羅爾xya1、中值定理?xiàng)l件的是中值定理?xiàng)l件的是 xyb、21 xyc、1xyd、 1 , 1應(yīng)選應(yīng)選c,)(xxf已知函數(shù)已知函數(shù)拉格朗日公式，求出拉格朗日公式，求出 的值的值在區(qū)間在區(qū)間 上寫出上寫出4 , 1 ) 1 (f由于由于, 12)4(

4、f)(xf,21x所以拉格朗日公式為所以拉格朗日公式為21141231如果如果和和)(xg)(xf, ba在在上連續(xù)，上連續(xù)，),( ba在在內(nèi)可導(dǎo)，而且在內(nèi)可導(dǎo)，而且在),( ba內(nèi)內(nèi), 0)( xg則在區(qū)間則在區(qū)間),( ba內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得使得)()()()()()(gfagbgafbf即即23) 4 , 1 (,49 使用洛比塔法則求極限應(yīng)注意：使用洛比塔法則求極限應(yīng)注意：1、可連續(xù)使用；、可連續(xù)使用；2、每次使用都必須檢查是否為、每次使用都必須檢查是否為00型或型或. 3、洛比塔法則失效時并不說明極限、洛比塔法則失效時并不說明極限不存在，這時需要別的方法求極限。不存

5、在，這時需要別的方法求極限。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) )(xf),( ba1、若在、若在),( ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf則函數(shù)則函數(shù))(xf在在),( ba內(nèi)是單調(diào)增加的。內(nèi)是單調(diào)增加的。2、若在、若在),( ba內(nèi)內(nèi), 0)( xf則函數(shù)則函數(shù))(xf在在),( ba內(nèi)是單調(diào)減少的。內(nèi)是單調(diào)減少的。 1、確定函數(shù)、確定函數(shù))(xf的定義域的定義域fd 2、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù)).(xf令令, 0)( xf在定義在定義不存在的點(diǎn)。不存在的點(diǎn)。fd內(nèi)求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)內(nèi)求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)域域 3、列表討論、列表討論用上面的點(diǎn)把定義域用上面的點(diǎn)把定義域fd分成若分成若干個區(qū)間，判斷干

6、個區(qū)間，判斷)(xf在每個區(qū)在每個區(qū)間內(nèi)的符號，確定間內(nèi)的符號，確定)(xf在每個區(qū)間在每個區(qū)間內(nèi)的增減性。內(nèi)的增減性。 4、寫出、寫出)(xf的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。 列表如下：列表如下：)(xf)(xfxx行行區(qū)間區(qū)間)(xf行行“+”號或號或“-”號號)(xf行行xxyarctan函數(shù)函數(shù)在在 內(nèi)是內(nèi)是( ),(a、單調(diào)增加、單調(diào)增加b、單調(diào)減少、單調(diào)減少c、不單調(diào)、不單調(diào)d、不連續(xù)、不連續(xù))arctan(xxy2111x221xx0y單調(diào)增加單調(diào)增加 ， 應(yīng)選應(yīng)選axxy4函數(shù)函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間是單調(diào)減少區(qū)間是( ), 2(),2,(a、d、)2 , 0)(0 , 2(b、)2,2(c、

7、), 0(),0 ,(xxy4的定義域是的定義域是), 0() 0 ,(,412xy令令, 0 y得得2x)(xf)(xfx列表列表)2,()0 , 2()2 , 0(), 2( xxy4故函數(shù)故函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間是的單調(diào)區(qū)間是)2 , 0(),0 , 2(應(yīng)選應(yīng)選d 用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是一種用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是一種假設(shè)證明假設(shè)證明)()(dxxgxf成立。成立。1、設(shè)、設(shè))()()(xgxfxf 2、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù))(xf并根據(jù)已知條件并根據(jù)已知條件)(xf的正負(fù)。的正負(fù)。判斷判斷從而判斷從而判斷)(xf的增減性。的增減性。常用的方法。常用的方法。 3、根據(jù)已知條件及、根據(jù)已知條件

8、及)(xf的增減的增減 4、寫出結(jié)論、寫出結(jié)論0)(xf性得到性得到例例3331arctanxxx證明當(dāng)證明當(dāng) 時，時， 0 x證明：證明：)31(arctan)(3xxxxf令令 )(xf則則211x)1 (2x)(xf在在), 0(內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)。內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)。241xx0) 0( f而而)31(arctan)(3xxxxf00arctan 00 x)(xf) 0(f0即即0)31(arctan3xxx331arctanxxx證明下列不等式證明下列不等式)0( ,1)1ln(1xxxx、) 0( ,1)1ln(1222xxxxx、提示：提示：xxxxf1)1ln()(1、令、令2)1 (

9、)(xxxf00) 0(f) 0( x221)1ln(1)(xxxxxf2、令、令)11 (1)1ln()(222xxxxxxxxf21 xx22211)1ln(xxxxxx)1ln(2xx00) 0(f) 0( x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個鄰域的某個鄰域1、若對于該鄰域內(nèi)任意的、若對于該鄰域內(nèi)任意的)(0 xxx總有總有).()(0 xfxf則稱則稱)(0 xf為函數(shù)為函數(shù)的極大值，并稱點(diǎn)的極大值，并稱點(diǎn) 是是)(xf0 x)(xf的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義2、若對于該鄰域內(nèi)任意的、若對于該鄰域內(nèi)任意的)(0 xxx總有總有).()(0 xfxf則稱則稱)(0 xf

10、為函數(shù)為函數(shù)的極小值，并稱點(diǎn)的極小值，并稱點(diǎn) 是是)(xf0 x)(xf的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn) 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。若若)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處取得極值且在點(diǎn)處取得極值且在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)，則處可導(dǎo)，則0)(0 xf1、這個定理的兩個條件缺一不可、這個定理的兩個條件缺一不可在在 處有極小值處有極小值0，如：如：xy 0 x但在但在 處處 不可導(dǎo)不可導(dǎo)0 xy在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，3xy 0 x但在但在 處處0 x有無極值有無極值2、使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)0)(

11、 xf(即方程即方程的實(shí)根的實(shí)根)，)(xf的駐點(diǎn)。的駐點(diǎn)。叫做函數(shù)叫做函數(shù)若若 在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得極值且在點(diǎn)處取得極值且在點(diǎn))(xf0 x0 x的某個鄰域的某個鄰域 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)且且) 0)(,(00 xx)(0 xf可導(dǎo)可導(dǎo)(允許允許 不存在不存在)1、若當(dāng)、若當(dāng)),(00 xxx時，時，, 0)( xf),(00 xxx時，時， 則函數(shù)則函數(shù), 0)( xf)(xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得極大值處取得極大值);(0 xf2、若當(dāng)、若當(dāng)),(00 xxx時，時，, 0)( xf),(00 xxx時，時， 則函數(shù)則函數(shù), 0)( xf)(xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得極小值處取得極小值);(0 xf

12、3、若當(dāng)、若當(dāng) 和和),(00 xxx),(00 xxx在點(diǎn)在點(diǎn) 處不取得極值處不取得極值0 x時，時， 的符號相同，則函數(shù)的符號相同，則函數(shù))(xf)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有二階導(dǎo)數(shù)，處有二階導(dǎo)數(shù)，)(xf0 x且且 存在存在, 0)(0 xf)(0 xf 1、若、若 則函數(shù)則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn), 0)(0 xf)(xf0 x處取得極大值處取得極大值2、若、若 則函數(shù)則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn), 0)(0 xf)(xf0 x處取得極小值處取得極小值3、若、若 不能判斷不能判斷 是否是否, 0)(0 xf)(0 xf有極值有極值 1、確定函數(shù)、確定函數(shù))(xf的定義域，并求其的定義域，并求其)(x

13、f導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)令令 求出求出 的所有駐點(diǎn)和不的所有駐點(diǎn)和不0)( xf)(xf可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)), 2 , 1( ,ixi則利用極值的第一充分條件判定。則利用極值的第一充分條件判定。 2、若、若 在在 的的(去心去心)鄰域內(nèi)可導(dǎo)鄰域內(nèi)可導(dǎo))(xfyix3、若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 容易求，容易求，)(xf 即當(dāng)即當(dāng) 在在 的兩側(cè)異號時，的兩側(cè)異號時， 為為)(xfix)(ixf極值，極值， 為極值點(diǎn)；為極值點(diǎn)；ix若若 在在 的兩的兩)(xfix側(cè)同號時，側(cè)同號時， 為極值，為極值， 為極值點(diǎn)為極值點(diǎn)ix)(ixf且且 存在則利用極值的第二充分存在則利用極值的第二充分)(xf 條件來判定條件

14、來判定 是否為極值點(diǎn)。是否為極值點(diǎn)。ix若若 則則 為極小值，為極小值，, 0)( ixf)(ixfix為極大值，為極大值， 為極大值點(diǎn)；若為極大值點(diǎn)；若ix, 0)(ixf極值第二充分條件不能極值第二充分條件不能為極小值點(diǎn)；若為極小值點(diǎn)；若 則則, 0)(ixf)(ixf判斷判斷 是否為極值點(diǎn)，此時仍應(yīng)是否為極值點(diǎn)，此時仍應(yīng)ix改用極值的第一充分條件來判斷改用極值的第一充分條件來判斷131232)(23xxxxf求：函數(shù)求：函數(shù)的極大值和極小值的極大值和極小值 )(xf131232)(23xxxxf12662 xx) 2( 62xx令令, 0) 2( 6)(2xxxf解得：解得：2, 1xx

15、)(xf)(xfx列表如下：列表如下：) 1,(1)2 , 1(2), 2( 0極大值極大值20) 1(f0極小值極小值9) 2(f從表中可知：從表中可知：極大值為：極大值為：,20) 1(f極小值為：極小值為：9)2(f131232)(23xxxxf )(xf12662 xx )(xf612 x令令, 0) 2( 6)(2xxxf解得：解得：2, 1xx612)( xxf ) 1(f018為極大值為極大值20) 1( f ) 2(f018為極小值為極小值9)2( f函數(shù)函數(shù) 在在 處的一階導(dǎo)數(shù)處的一階導(dǎo)數(shù))(xf0 x, 0)(0 xf二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù), 0)(0 xf則則 是是 的極的極

16、值值 )(0 xf)(xf以下結(jié)論正確的是以下結(jié)論正確的是a、函數(shù)、函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一)(xf)(xf定不是定不是 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)b、若、若 為函數(shù)為函數(shù) 的駐點(diǎn)，則的駐點(diǎn)，則 必必0 x)(xf0 x 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn))(xfc、若函數(shù)、若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有極值，且處有極值，且)(xf0 x存在，則必有存在，則必有)(0 xf0)(0 xfd、若函數(shù)、若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)，則連續(xù)，則)(xf0 x)(0 xf一定存在一定存在 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上有定上有定, ba義，設(shè)義，設(shè) 若對于任意若對于任意,0bax , bax恒有恒有 或或 ，

17、則稱，則稱)()(0 xfxf)(0 xf)()(0 xfxf為函數(shù)為函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上的最大上的最大(小小)(xf, ba值。稱值。稱 為為 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上的最上的最0 x)(xf, ba大大(小小)值點(diǎn)值點(diǎn)極值是一個局部的概念。極值是一個局部的概念。 它指函數(shù)它指函數(shù)在小范圍內(nèi)的最大值或最小值。在小范圍內(nèi)的最大值或最小值。最值是一個全局的概念。最值是一個全局的概念。 它是整個它是整個定義區(qū)間上函數(shù)值中最大者或最小者定義區(qū)間上函數(shù)值中最大者或最小者 最大值和最小值是函數(shù)在定義區(qū)最大值和最小值是函數(shù)在定義區(qū) 間上所有極大值和極小值與端點(diǎn)函數(shù)間上所有極大值和極小值與端點(diǎn)函數(shù) 值比較

18、后所取的最大值和最小值。值比較后所取的最大值和最小值。 1、求函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)、求函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)2、算出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)和區(qū)間、算出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值端點(diǎn)的函數(shù)值3、比較上述函數(shù)值，其中最大、比較上述函數(shù)值，其中最大(最小最小)者就是函數(shù)者就是函數(shù)在在)(xf,ba上的最大上的最大(最小最小)值。值。在在 上的上的2 , 2a. 極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 則則 是是 ,31)(3xxxf1x)(xfb. 極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn) c. 極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn)極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn) d. 極大值點(diǎn)

19、，也是最大值點(diǎn)極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) 故故 是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn)1xxxxf331)(,2)(xxf 1)(2xxf令令 , 0)( xf1, 121xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) , 02) 1 ( f,32)2(f,32)2(f,32) 1(f32) 1 (f1x也是最小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)應(yīng)選應(yīng)選b設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在區(qū)間在區(qū)間),( ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(即即曲線曲線)(xf在每點(diǎn)處的切線存在且切線在每點(diǎn)處的切線存在且切線每一點(diǎn)處的切線都位于該曲線的下方每一點(diǎn)處的切線都位于該曲線的下方不垂直于不垂直于x軸軸)，如果曲線，如果曲線)(xfy上每上每(或上方或上方)，則曲線，則曲線)(xfy在區(qū)間在區(qū)間),

20、( ba內(nèi)是內(nèi)是凹凹(或凸或凸)的的.xy0)(xfy)(a在在),( ba內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的)(xfyxy0)(xfyab)(b在在),( ba內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的)(xfyba設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，存在，在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凹的；內(nèi)是凹的；，則曲線，則曲線)(xfy),(ba內(nèi)內(nèi)0)( xf若在若在在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)是凸的；內(nèi)是凸的；，則曲線，則曲線)(xfy),(ba內(nèi)內(nèi)0)( xf若在若在一般地，一般地，“”表示曲線是凸的；表示曲線是凸的；“”表示曲線是凹的。表示曲線是凹的。 1、確定函數(shù)、確定函數(shù))(xf的定義域的定義域fd2、求

21、導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù))(xf 令令, 0)( xf在定義域在定義域fd內(nèi)求導(dǎo)數(shù)內(nèi)求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)存在的點(diǎn))(xf)(xf x3、列表討論、列表討論4、寫出、寫出)(xf的凹凸性。的凹凸性。設(shè)設(shè) 則在區(qū)則在區(qū) , 0)(, 0)(, xfxfbxa間間 內(nèi)曲線弧內(nèi)曲線弧 的圖形（的圖形（ ）),(ba)(xfy沿沿 軸正向下降且是凹的軸正向下降且是凹的 (a)、x沿沿 軸正向下降且是凸的軸正向下降且是凸的 (b)、x沿沿 軸正向上升且是凹的軸正向上升且是凹的 (c)、x沿沿 軸正向上升且是凸的軸正向上升且是凸的 (d)、x, 0)( xf)(xf是沿是沿 軸下降的軸下降的x

22、又又0)( xf曲線曲線 是凸的是凸的 )(xf應(yīng)選應(yīng)選b若曲線若曲線)(xfy上有這樣的點(diǎn)上有這樣的點(diǎn))(,(00 xfx使得曲線在此點(diǎn)的一邊為凹，而在另使得曲線在此點(diǎn)的一邊為凹，而在另拐點(diǎn)。拐點(diǎn)。一邊為凸，則稱點(diǎn)一邊為凸，則稱點(diǎn))(,(00 xfx為曲線的為曲線的1、確定曲線的定義域、確定曲線的定義域d，及二階，及二階2、在、在d內(nèi)，求二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)內(nèi)，求二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))(xf 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 0)( xf(令令解這個方程在區(qū)間解這個方程在區(qū)間d內(nèi)的實(shí)根內(nèi)的實(shí)根)及二階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)3、列表：、列表： 用上面的點(diǎn)把用上面的點(diǎn)把d分成若干分成若干個小區(qū)間，確定二階導(dǎo)數(shù)在每個個小區(qū)間，確定二階導(dǎo)數(shù)在每個小區(qū)間的符號，若異號則該點(diǎn)為小區(qū)間的符號，若異號則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn) ；若同號則該點(diǎn)不是；若同號則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)。曲線的拐點(diǎn)。35) 1(xxy求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn) y35x) 1( x3235x3538x3235x函數(shù)的