數(shù)學(xué)實驗報告四

1、數(shù)學(xué)實驗報告四非線性方程的數(shù)值解2013012472生醫(yī)三 汪一凡2015/4/5一 實驗?zāi)康?. 掌握用Matlab軟件求解非線性方程額方程組的基本用法，并對結(jié)果作初步分析。2. 練習(xí)用非線性方程和方程組建立實際問題的模型并進行求解。二實驗內(nèi)容：1.1小張夫婦以按揭方式貸款買了一套價值20萬的房子，首付5萬元，每月還款1000元，15年還清。問貸款利率是多少。1.2某人欲貸款50萬元購房，他咨詢了兩家銀行。第一家開出的條件是每月還款4500元。第二家銀行開出的條件是每年還45000元，20年還清。從利率方面哪一家更優(yōu)惠？（簡單假設(shè)年利率等于月利率*12）問題分析：假定在購買發(fā)生后的第n個月（

2、有時是年，不過在本題中可以不用考慮年利率到月利率的轉(zhuǎn)換問題）貸款者還清貸款。若購買時商品價值為P0，月利率為r，首付x0，每月還款x則在n個月之后，商品價值為P0（1+r）n，在這n個月中，他所支付的錢的總價值為x0（1+r）n+x+x2+xn=x0（1+r）n+x*1-（1+r）nr由還款基本知識可知，x0（1+r）n+x*1-（1+r）nr= P01+rn（1）。在小張夫婦的那一問中，我們已知x0=5，P0=20，x=0.1，n=180，即可由（1）式求出貸款月利率。為了解答本題，首先寫出函數(shù)monthrate：function y=monthrate(p0,x0,x,n,r)y=(p0-

3、x0)*(1+r)n+x*(1+r)n-1)/r;end下面運用monthrate函數(shù)求解小張夫婦的月利率： p0=200000; x0=50000; x=1000; n=180; r0=0.001; r,fv,ef,out=fzero(monthrate,r0,p0,x0,x,n);但是這樣總是會顯示Error using fzero (line 309)Function value at starting guess must be finite and real.具體原因是什么我也不清楚，減小倍數(shù)后給出的答案竟然不相同。用inline語句檢查方程沒有問題。難道是程序自己的故障？為此我還是

4、采取運用inline語句。 f=inline(150000*r*(1+r)180/(1+r)180-1)-1000); r=fzero(f,0.001)解得r =0.00208116388946即約為0.21%。對于1.2，同樣可以采用inline語句 f1=inline(500000*r*(1+r)180/(1+r)180-1)-4500); r1=fzero(f1,0.001)r1 =0.005850792582845第二家銀行 f2=inline(500000*r*(1+r)20/(1+r)20-1)-45000);r2=fzero(f2,0.01); r2=0.063948777092

5、386 月利率=r2/12=0.51%兩者相比顯然第二家月利率較小，所以選擇第二家銀行。小結(jié)：需要注意的是，對于這樣的銀行貸款問題，實際生活中，年利率和月利率絕對不能簡單的乘以12倍了事。但是一般以年為單位的利率為相對低一些。同時雖然第二家利率低，但因為年限較長，考慮到CPI等一些通脹因素，不一定會比第一種方案更為優(yōu)惠。如果物價變化比較大，銀行也一般不會改變一份合同中的利率，但不同的經(jīng)濟情況有不同的方案，這些都是要綜合比較的。在一些情況需要考慮復(fù)利問題，那么式子就會變得稍微更加復(fù)雜。如果1.2考慮首付，由計算方法看出也不會出現(xiàn)方案一更優(yōu)惠的結(jié)論。3. 由汽缸控制關(guān)閉的門，關(guān)閉狀態(tài)的示意圖如圖。

6、門寬a，門樞在H處，與H相距b出有一門銷，通過活塞與圓柱形的汽缸相連，活塞半徑r，汽缸長l0 汽缸內(nèi)氣體的壓強p0 。當(dāng)用力F推門，使門打開一個角度時（示意圖），活塞下降的距離為c，門銷與H的水平距離b保持不變，于是汽缸內(nèi)的氣體被壓縮，對活塞的壓強增加。已知在絕熱條件下，氣體的壓強p和體積V滿足pV=C，其中 是絕熱系數(shù)，C是常數(shù)。試利用開門力矩和作用在活塞上的力矩相平衡的關(guān)系（對門樞而言），求在一定的力F作用下，門打開的角度 。設(shè)a=0.8m，b=0.25m，r=0.04m，l0 =0.5m，p0 =104Nm2，=1.4，F(xiàn)=25N。如圖，在門打開一定的角度時，由題目各個條件可得btan=

7、c，pV=C，S=r2，V0=Sl0 ，V=S(l0 c)，p=（l0 l0 C）p0 。假設(shè)推力始終與門所在平面垂直，假設(shè)此時氣缸的氣壓為p，則根據(jù)受力力矩相等，可得：Facos=pSb，結(jié)合以上各式，得到Facos=（l0 l0 btan）p0 r2b由此方程寫出函數(shù)alpfunction y=alp(x)a=0.8;b=0.25;r=0.04;l0=0.5;p0=104;gamma=1.4;F=25;y=(l0/(l0-b*tan(x)gamma*p0*pi*r2*b-F*a*cos(x)endx=fzero（alp，0.01） x2=x*180/pi; x2解之得x2 = 24.81，

8、即門打開了24.81。小結(jié)：這樣數(shù)學(xué)物理結(jié)合的問題最主要要找到其對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型與其原理。力矩這一塊我不是很熟悉了已經(jīng)，還要重新找資料。對于物理量之間的變化關(guān)系，“牽一發(fā)而動全身”也要特別注意。3 用迭代公式xk+1=axkexp(-bxk)計算序列xk分析其收斂性，其中a分別取5，11，15；b(0)任意，初值x0=1，觀察是否有混沌現(xiàn)象出現(xiàn)，并找出前幾個分岔點，觀察分岔點的極限趨勢是否符合Feigenbaum常數(shù)提示的規(guī)律。分析：非線性方程在求解過程中，可能出現(xiàn)迭代中得到的解相差甚遠的情況，這是由于其自身屬性造成的。一旦參數(shù)不在收斂域的范圍之中，得到的解釋一片混沌。在這里xk+1=axkex

9、p(-bxk)的收斂情況由方程x=axexp(-bx)決定。X1=0，x2=lna/b,若x2lna.因為a取值為5,11,15，可以取b=5.首先按照書上的程序編寫chaos.mfunction chaos(iter_fun,x0,r,n) kr=0; for rr=r(1):r(3):r(2) kr=kr+1 y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr); for i=2:n(2) y(kr,i)=fetal(iter_fun,y(kr,i-1),rr); endendplot(r(1):r(3):r(2),y(:,n(1)+1:n(2),k.); 然后編寫函數(shù)iter.mf

10、unction y=iter(x,a)y=a*x*exp(-5*x);end之后寫主程序（以a為5為例）chaos(iter,5,1,30,0.02,100,200);a=5; n=40;x(1)=1;for k=1:(n-1) x(k+1)=a*x(k)*exp(-3*x(k);endk=1:n;plot(k,x);由程序得到以下圖：由此圖看出，a=5，b=5時，函數(shù)能夠漸漸收斂趨于穩(wěn)定，收斂于0.3218867。a=11時，迭代值成周期性變化，收斂到上下兩個函數(shù)值；可以計算出它們分別收斂到0.794826和0.1643317。此時可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)已經(jīng)沒有明顯的收斂子列，不再收斂。所以混沌現(xiàn)象在

11、a=15時已經(jīng)開始出現(xiàn)下面來求分叉點：還是可以回到這張圖，利用光標功能我們會發(fā)現(xiàn)，在a在1到7.26時，只有一個極限，沒有分叉點，在x在7.26到12.42時有兩個收斂極限，開始有分叉點。在12.42到14.22左右有4個極限，有更多的分叉點，在14.22到14.66時有8個收斂極限。此后開始一片混沌。在22.26開始回歸2個極限，到23.52處有4個極限，24.24處有8個極限，然后又開始一片混沌。觀察7.26,12.42,14.22,14.66和22.26，23.52，24.24兩組數(shù)：12.42-7.2614.22-12.42=2.86714.22-12.4214.66-14.22=4.

12、09123.52-222624.24-23.52=1.78應(yīng)該說這和Feigenbaum常數(shù)還是有接近的地方，但可能因為讀數(shù)不精確，取值沒有足夠大，所以再加上本身數(shù)字精度要求很高，所以誤差比較大，但是在做到足夠多的數(shù)據(jù)之后應(yīng)該和Feigenbaum常數(shù)的4.6692會越來越接近。小結(jié)：這道題主要關(guān)注的是非線性方程中的混沌現(xiàn)象，具體從“感覺上”其實很難想象到“蝴蝶效應(yīng)”的影響之大，這更加體驗出運用matlab分析的重要意義。隨著a的不斷增大，函數(shù)圖像的分叉也越來越多。但是當(dāng)?shù)侥骋粋€點之后可能又會一下子只有兩個分叉，但是無論如何，整體的混沌趨向性是一致的。在運用程序計算時，因為舍入誤差，其實顯示的混沌圖像也許不能精確的反映實際情況，這也是