02 梁板式結(jié)構(gòu)分析的有限條法

1、2022-1-1612 梁板式結(jié)構(gòu)分析的有限條法有限條法 (1)板條 (2)平面應(yīng)力條 (3)薄殼條 (4)連續(xù)結(jié)構(gòu)分析高級(jí)有限條樣條有限條法組合有限條法小結(jié)本章參考文獻(xiàn)1968年，cheung y.k教授創(chuàng)立了結(jié)構(gòu)有限條分析法，并成功應(yīng)用于簡(jiǎn)支板的計(jì)算powell和qgden（1968）將此法應(yīng)用到板橋的分析中，拉開了有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用的大門用有限條法分析箱梁橋，連續(xù)板、梁結(jié)構(gòu)、加肋板、振動(dòng)問題、穩(wěn)定問題等逐步發(fā)展起來，cheungy.k.教授在1976年對(duì)有限條法在橋梁工程中的應(yīng)用以及研究成果分別進(jìn)行了總結(jié)在后來的二十多年中，有限條法的應(yīng)用范圍不斷拓寬，不僅應(yīng)用到各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分

2、析中，還在非線性分析方面顯示出優(yōu)勢(shì)，有限層法、有限棱柱法和樣條有限條法也發(fā)展起來，并得到廣泛應(yīng)用。有限條法是一種混合法，它具有一般結(jié)構(gòu)法和有限元法的優(yōu)點(diǎn)。有限條單元結(jié)構(gòu)的組合單元是沿結(jié)構(gòu)縱向分布的“條”，條間縱向用接線連接，由于橋梁的縱向結(jié)構(gòu)和這種“條”式單元基本一致，故采用此法分析時(shí)十分有效。 有限條法(1)板條(a）位移函數(shù)在有限板條中，選用條帶節(jié)線中點(diǎn)的撓度（w）及x向（橋梁的橫向）的轉(zhuǎn)角 作為位移函數(shù)。圖示為一簡(jiǎn)支板式橋的典型有限條。該板條的縱向撓曲形狀可采用正弦函數(shù)模擬，而撓曲面的橫向（xx）截面可用連接若干個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)來模擬?，F(xiàn)將位移函數(shù)取為)(xw板劃分為有限條 lymxfyxw

3、mrmsin)(),(1342321)(xaxaxaaxfmlymxwlymxwlymwwlymwwjmrmjjimrmiijmrmjimrmisinsinsinsin1111常數(shù) 可用變形協(xié)調(diào)條件)4 , 3 , 2 , 1( iaiimmimmxfwfx)0(,)0(, 0jmmjmmxbfwbfbx)(,)(,得出方程jmjmimimbabaawbababaaawa24323423212132,求出lymxnwxnxnwxnyxwjmjmimimrmsin)()()()(),(43211lymnzxwimrmisin),(1(b）能量方程iiivu lxyyxbiyxyxwmywmxwm

4、u 0 22222 0 dd221 lbiyxyxwyxqv 0 0 dd),(),(典型有限條 lbitilbxyyxiyxmyxyxwywxwmmmu 0 0 22222 0 0 dd21dd221、2122222imimrmmbyxwywxw曲率向量 yknkyknkyknkyknkyknkyknkyknkyknkyknyknyknyknbmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimcos2 cos2 cos2 cos2sin sin sin sinsin sin sin sin432142322124321彎矩或扭矩 yxwdmxwdywdmywdxwdmxyxyyyxx2221222

5、21222)()( 0 00 0 11mbmxyyxxyyxddddddmmmmimimiblbtimtimrnrmiyxbdbudd21 0 0 11 yxlzmyxqnvlbttimrmidd 0 0 1sin),( （c）剛度矩陣 總勢(shì)能 iniiniinivu111最小勢(shì)能原理 0tm011iminiiminitmvuyxlymyxqnyxbdblbtimibibnilbtimdddd 0 0 1 0 0 sin),( imimnjimpk1 - - 2365154231kkkkkkkkkkkkkkkbjjtbijbijbijim對(duì)稱1224315651270136dkbldkbldb

6、kldblkmxymymx12243215215421012dbkldbkldkbldblkmxymymx1224223535420113dkldkldkbldblkmxymymx1224345651214096dbkldkbldbkldblkmxymymx1224225105840133dkldkldkbldblkmxymymx1224363015280dbkldbkldkbldblkmxymymx（d）荷載向量將各單元的節(jié)點(diǎn)荷載用正弦級(jí)數(shù)展開。該正弦級(jí)數(shù)應(yīng)在板條 方向上展開并和位移函數(shù)相似，即lyqlyqq2sinsin21yxlymyxqnmpmpplbtjmjmimimimdd 0 0

7、 sin),(單元的荷載向量 均布荷載mlqbbbbpmim022) 1(1 122122集中荷載 0004030201sin)(),(),(),(ykfxnxnxnxnpmtim局部均布荷載 mimcqbxbxbxbxbxbxxbxbxxp024324232432342343 2 43222nnnxxx12)cos(cos121ykykkcmmmm（e）其它支承條件的位移函數(shù)選取對(duì)于板條來說，選擇合適的位移函數(shù)非常重要，一般情況下板條的位移函數(shù)可寫為)(),(mmrmyynyxw1kyckyckyckycyychsh4321cossin)(兩端均簡(jiǎn)支 ykyymmsin( 兩端均固結(jié) )(c

8、ossin)(ykykykykyymmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是方程1- 的解 lkm0chcosklkl 一端簡(jiǎn)支另一端固結(jié)ykykyymmmmsh sin)(lklkmmmshsin而 是方程 的解，當(dāng) 時(shí)， lkmklklthtg5mmlkm41兩端均自由; 1, 1)(11kyy1,21)(22klzyy)ch(cosshsin)(ykykykykyymmmmmm 表達(dá)式同情況,當(dāng) 時(shí), 于情況2中的一端固結(jié)另一端自由m3mmk2mk)(cossin)(ykykykykyymmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是

9、方程 的解。當(dāng) 時(shí)， lkm0chcos1klkl10m)5 . 0( mlkm一端簡(jiǎn)支另一端自由1,)(11klyyyykykyymmmmshsin)(的表達(dá)式同情況，當(dāng) 2時(shí)， 等于情況的mmmk1mk(2) 平面應(yīng)力條（a）位移函數(shù) 假定沿板的厚度方向的應(yīng)力可略去不計(jì)，如圖所示，則應(yīng)變變形關(guān)系xvyuyvxuxyyx應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 )(pxyyxxyxzyzyyxxyxxyyxdeeeee1 0 00 0 11簡(jiǎn)支的矩形板邊界條件 0),()0 ,( , 0),()0 ,(lxxlxuxuyy位移函數(shù) ykxdxddykxcxccvummrmcos)(sin)(221022101,/101

10、0ddcclmkm利用條之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系有rmjmjmimimmmmmrmmmnvuvuykbxykbxykbxykbxvu11cos 0 cos)1 ( 0 0 sin 0 sin11mmrmb 1mmrmpbdykbykkbxykbykkbxykkbxykkbxykbykbbmmmmmmmmmmmmmcoscoscoscossinsinsinsin1 1 1 0 1 0 0 1 0 1應(yīng)力,應(yīng)變（b）剛度矩陣和荷載向量 平面應(yīng)力條的應(yīng)變能yxtuxyxyyyxxblidd)(200yxttbldd200yxbdbtmmplbtmrmtmdd2001 荷載勢(shì)能 yxqqvuyxldd -v

11、b00yxqqnyxtmbltmrmdd001yxqqnyxtmbltmrmdd001yxbdbtkmptmblmdd 002356164231 - - kkkkkkkkkktkkkkkpjjtijpijpiimp對(duì)稱剛度矩陣 xymxymelbkeblkelbkeblk122 62214211225222122 62elbkeblkelbkeblkmxymxyxymxmxymxmelkelkkelkelkk44 441613荷載向量 yxqqnpyxtmblmdd00集中力作用)cos(cos0/0/12100ykykkqbxbxpmmmxm 線荷載作用 ,)cos(cos0/0/12100

12、ykykkqbxbxpmmmxm 僅有均布載 作用在整個(gè)板條上xp mlbppxmm) 1(1 021021xqxpyxff ,(3) 薄殼條（a）剛度矩陣和荷載向量 在分析箱形梁用薄殼條，薄殼條是由板條和平面應(yīng)力條組合而成。對(duì)于兩邊簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，總勢(shì)能可寫為2111mtmrmmmtmrmpkvutjmjmjmjmimimimimmwvuwvu ,位移列向量 bjjtbijpjjtpijbijbiipijpiimkkkkkkkkk 0 0 0 0 0 0 0 0 板條 平面應(yīng)力條 tjmjmyjmxjmimimyimximmmpppmpppp,（b）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換imimimimimimimimimim

13、wuwvvwuucossinsincos 00 mmmttt1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin 0 cost坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 (4) 連續(xù)結(jié)構(gòu)分析 對(duì)于連梁板或箱梁結(jié)構(gòu)，可以先將中支承全部解除，代以未知反力 ，那么結(jié)構(gòu)是在外荷載和未知反力共同作用下的簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，跨徑為兩橋臺(tái)支點(diǎn)之距。而 應(yīng)滿足下式 jrjrjr0 2121212222111211nnnnnnnnrrr0r只要聯(lián)立有限條方程和此式進(jìn)行求解即可。此法稱為柔度法，求解連續(xù)結(jié)構(gòu)的剛度法及支點(diǎn)沉降的處理可參見文獻(xiàn)高級(jí)有限條 上節(jié)所介紹的有限條位移函數(shù)，只能使條的橫向斜率和位移在節(jié)線處（或板邊）連續(xù)，但條的曲率和彎矩不

14、能滿足連續(xù)條件，且自由邊上的彎矩也不等于零。這個(gè)問題可通過下述兩種途徑來解決：（a）增加節(jié)線上的自由度；（b）在條內(nèi)加入內(nèi)節(jié)線，此即為高級(jí)有限條。 （1） 曲率連續(xù)板條如圖所示，在板條節(jié)線處增加一個(gè)位移參數(shù)橫向曲率 ，這樣，板條的橫向曲率和彎矩均是連續(xù)的，其計(jì)算結(jié)果將更精確 曲率連續(xù)板條這種板條位移可寫為lymnnnnnnnwrmmrmmmsin,165432115431615101xxxn)3861 (4322xxxxn)(.322333150xxxxn543461510xxxn)374(4325xxxxn)(.3226250xxxxnbxx/tjmjmjmimimimmww,imimxw)

15、/(22位移函數(shù)的曲率向量 ,12222mrmmtbyxwywxw 2 2 2 2 2 2 654625242654321322212321yknkyknkyknkyknkyknkyknkyknyknyknyknkyknkyknkyknkyknkyknkyknyknyknbmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsinsinsinsincoscoscossinsinsinsinsinsinlmkm/ 彎矩向量 mrmmbdm1 剛度矩陣 3651211924111081987365241 - - - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

16、km對(duì)稱317120720710462181bdbcbbbakbdbcbbabk3519235163583465523235331563092403353bdcbbbabk2247607101434620311bdcbabkbdbcbbabk73428455440281353511306018480232246dcbbbabk37712072071023125bdbcbbbak328760731434620151bdcbabkbdbcbbabk7342845544018139bdbcbbabk351083570198019310354105210138601322411dcbbbabk7063

17、012601108833512bdcbbbabkxymymdlkbdlka242 21xmldddlkc2 2114條的荷載向量 mlqbbbbbbpmtm0323211120102120102)(,集中荷載用00060201ykpxnxnxnpmtmsin)(,),(),(2) 內(nèi)節(jié)線板條 如圖所示，在板條內(nèi)增加一條內(nèi)節(jié)線c，通?？蓪⒐?jié)線c放在板條中央，這樣，位移函數(shù)可用5次拋物線表示為內(nèi)節(jié)線板條lymnnnnnnnwrmmrmmmsin,16543211tjmjmcmcmimimmwww,54321246866231xxxxn)4121361 (4322xxxxxn)1632164323x

18、xxn)(43241640328xxxxxn543252452347xxxxn)485(4326xxxxxnbxx/72981061436512941183721 - - - - 0 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkm對(duì)稱313550921052781052783465523bdbcbbbak剛度矩陣 2223511381055921013231019bdcbabk335512105256105256634bdcbbbak22473842182186938bdcbabk3535150810522105226930131bdbcbbbak2263524270701386029bdcba

19、bkbdbcbbabk3533245245234652372285128105810583152bdcbabkbdbcbbabk76431543154115539bdbcbbabk3538126126462031031151024105512105512315128bdbcbbbakbdbcbbabk7256315128315128346532312xymymdlkbdlka242 21xmldddlkc 12滿布均布荷載向量mlqbbbbbpmtm0221160307015860307)(, 值得注意的是，此種條元在邊界上的曲率亦是不協(xié)調(diào)的，但其解的精度要高一些。因?yàn)閮?nèi)節(jié)線與其它條元無法連接

20、，在裝配總剛前可用靜力凝聚法給出內(nèi)節(jié)線 的位移參數(shù) c(3) 內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條如下圖所示，取位移函數(shù)為rmjmjmcmcmimimmmmvuvuvunnnvu1321 cos 00 sinyknyknnmimiim21231xxn2244xxn232xxnbxx/rmmmb1rmmmpmbd1 - 0 0 0 0 - 0 0 332323211121yknyknkyknyknkyknkyknyknkyknyknkyknkyknyknbmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsincoscoscossinsinsin內(nèi)節(jié)線平面應(yīng)力條剛度矩陣 7284961436511

21、841043721 - - - 0 - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkm對(duì)稱xymelbkeblk1567211xymxelkekmlk4412xymelbkeblk3034213xymxelkekmlk3314xymxmelkek lk121216xymelbkeblk606215xymeblebklk6715227xymeblebklk3430228xymelbkeblk154382110 xymeblebklk660229xymeblebklk381542211yxzyxxvveevvee1,121內(nèi)節(jié)線位移參數(shù)亦可由靜力凝聚法獲得 分析箱形梁時(shí)，可采用由高級(jí)板條和高級(jí)平面應(yīng)

22、力條組合而成的高階薄殼條 樣條有限條法(1) 樣條函數(shù)三次b樣條函數(shù) 為)(ym其它 0 333 333 612132131211231312112312323mmmmmmmmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyhyyhhyyyyyyyhyyhhyyyyyhy)()()()()()()()()( 函數(shù) 及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)曲線如圖所示，其節(jié)點(diǎn)數(shù)值可查有關(guān)表 為了用樣條函數(shù)來插值任意連續(xù)函數(shù) 可將 分解為節(jié)點(diǎn)為 的等間距段，且)(ym),()(bayyf,bamyrabmyybyaymr/ )(,00),(rom則在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 為)(ys11)()(rmmmycys其中待定系數(shù)由 下

23、式獲得)()(),()()()()(00rrmmyfysromyfysyfys則可得到求解未知系數(shù) 的線性方程組 mc)()(21),()()4(61)()(211111011rrrmmmmyfcchromyfcccyfcch11rmmyfycys)()()(為了獲得較高的精度，如將集中載作用點(diǎn)和支承點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)時(shí)，會(huì)用到變間距樣條函數(shù)，變間距三次b樣條邊數(shù)可寫為 0 0221413121212yyyyyfyyyfyyyfyyyfyyymmmmmmmmmmm)()()()()(2111112312212mmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()()(1211121312243m

24、mmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()(12212324mmmmmmmyyyyyyyyf(2)薄殼樣條有限條 由y.k.cheung和fam在1983年提出的用于板橋、加肋板橋和箱梁橋分析的薄殼樣條有限條如圖所示薄殼樣條有限條1143211111)()()()1 ()()()1 (rmjmmjmmimmimmrmjmvimimvimrmjmuimimuimnwnnwnwvyxvyxvuyxuyxu)()(yxxnwimm321231)()(yxxxnimm2221)()23(323yxxnwjmm)()(24yxxxnjmmbxx/ 有了位移函數(shù)，條剛度矩陣，荷載向量等可按

25、前述有限條法獲得條的位移組合有限條法 如圖所示的由橋面板、縱梁、橫梁和立柱組合而成的橋梁結(jié)構(gòu)，可以采用puckett和gutkowski于1983年提出的組合有限條進(jìn)行分析。組合條的剛度矩可以寫為ccttlldekkkkk 板條或薄殼條的剛度矩陣； 單條縱梁剛度矩陣； 單條橫梁剛度矩陣； dklktk 單條立柱剛度矩陣； 組合條剛度矩陣。 ckek將 裝配成總體剛度陣矩 ，其求解過程同一般有限條ekk組合有限條(1) 矩形組合條 矩形組合條如圖所示，包括板條或薄殼條、縱梁、橫梁和立柱。板條和薄殼條的剛度矩陣 已給出。 dk在組合條中，任意點(diǎn)的位移rmmmrmmmnyynnnnw114321)(

26、,tjmjmimimmww,321231xxnm)21 (22xxxnm32323xxnm)(24xxxnmbxx/)(,4321yynnnnnmm附加單元（梁、柱）的剛度矩陣分述如下 （a）縱梁的彎曲剛度矩陣縱梁的彎曲應(yīng)變能為lllflyywieu 0 22d2lrnnnrmmmllflynynywieu 0 122122d2lmntmllrmrnmyynynie 0 222211d21rmnrnflmntnk11 21444333423222413121114 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnniiekllflmn對(duì)稱 lnyyyi 0 m4dyy)()( 梁的抗彎剛度； 縱梁的彎曲

27、剛度矩陣 llieflmnk（b）縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣縱梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為yyxwjgulltld222lmtmlltlmnyyxnyxnjgk 0 22d444333423222413121115 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijgklltlmn對(duì)稱 lnmyyyyyi 0 5d)()( 縱梁的抗扭剛度； 縱梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。（c）橫梁的彎曲剛度矩陣lljgtlmnk橫梁的彎曲應(yīng)變能bttflxxwieu 0 222d2bntmttftmnxxnxniek 0 2222d 4 6- 12 2 6- 4 6 12- 6 122322323bbbbbbbbb/byyieknmttftmn

28、/對(duì)稱 橫梁的抗彎剛度； 橫梁的彎曲剛度矩陣 ttieftmnk（d）橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣橫梁的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能xyxwjgubttttd2022bntmttttmnxyxnyxnjgk 0 22d 4 3 36 3- 4 3 36- 3 6330222bbbbbbbyybjgknmttttmn對(duì)稱橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣（e）柱的軸 向 剛 度 矩陣221caacwku44433342322241312111 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyknnkknmantmaacmn對(duì)稱立柱的軸向應(yīng)變能橫梁的抗扭剛度（f）柱的彎曲剛度矩陣 立柱的彎曲應(yīng)變能由兩部分組成，分別是立柱的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)和縱向轉(zhuǎn)動(dòng)。

29、橫向轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變能221xwkucxxc44433342322241312111 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyykxnxnkknmxntmxxcmn對(duì)稱縱向轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變能221ywkucyyc44433342322241312111 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyykynynkknmyntmyycmn對(duì)稱、 立柱柱頂?shù)臋M、縱向抗轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 立柱的橫、縱向彎曲剛度矩陣 xkykycmnxcmnkk 獲得條中板和所有支承單元的剛度矩陣后，組合條單元?jiǎng)偠染仃?可寫為emnknclycmncxmnacmnntlttmnftmnnlitlmnflmnpmnemnkkkkkkkkk)()(

30、)( 條中縱梁個(gè)數(shù)； 條中橫梁個(gè)數(shù)； 條中立柱個(gè)數(shù)nlntnc(2) 矩形b樣條組合條采用薄殼樣條有限條時(shí)，縱梁、橫梁和立柱的應(yīng)變能分別為縱梁： lllllyllllyyxwjgywaeywevaeu 0 222222d21)(橫梁： bttttxtttlxyxwtgxwaeyweuaeu 0 222222d21)( 立柱： 22221xwkywkwkuxyac、 縱、橫梁重心離板重心之距。應(yīng)用位移函數(shù)，不難得到此種樣條組合條的剛度矩陣 lete 小結(jié) 有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)靜力、動(dòng)力和穩(wěn)定分析方面得到廣泛應(yīng)用，并取得良好的效果，不僅因?yàn)榇朔N方法綜合了一般結(jié)構(gòu)解析分析方法和數(shù)值分析方法的優(yōu)點(diǎn)，更重

31、要的是其所采用的單元與橋梁這種狹長(zhǎng)結(jié)構(gòu)不謀而合。 有限條法自從誕生以來，其發(fā)展速度，應(yīng)用范圍不亞于有限元法。 在眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的大量研究和實(shí)踐中，提出了有限層法、有限棱柱法、雙樣條子域法、有限條傳遞矩陣法等新方法。并擴(kuò)展應(yīng)用到斜橋、彎橋。任意形狀板橋及材料幾何非線性分析等方面。以下就常見的用有限條法分析橋梁結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行討論。（1） 有限條方法選擇（a）有限條法、有限層法和有限棱柱法有限條法：薄板結(jié)構(gòu)，其中：基本有限條法：僅關(guān)心縱向位移和應(yīng)力的精度；高級(jí)有限條法：同時(shí)關(guān)心縱、橫向位移和應(yīng)力的精度；樣條有限條法：有內(nèi)力矩突變、集中荷載作用時(shí)，精度會(huì)提高，可分析任意形狀板橋。適于因定支承、自由支撐、

32、帶有中支承橋、彎橋等。有限層法：等厚度厚板橋，如上圖所示有限層 有限棱柱法：變厚度厚板橋、空心板橋和厚壁箱形梁橋，有限棱柱空心板 厚壁箱梁（b）板條、平面應(yīng)力條和薄殼條，均適于薄板結(jié)構(gòu)，其中 板 條：板橋承受豎向荷載； 單面應(yīng)力條：是向薄殼條的過渡，在橋梁上無對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)； 薄 殼 條：薄壁箱梁橋。（2） 橋梁結(jié)構(gòu)的有限條模型建立（a）板 橋：薄板有限元，高級(jí)有限條樣條有限條（b）肋梁橋：板面板按薄板分析，按厚板分析（c）箱梁橋：厚壁箱，薄壁箱。可根據(jù)要求的精度不同，加 密或減少條的數(shù)量，但一般情況下，腹板可分 為1-3個(gè)條，翼板（在每?jī)筛拱彘g）?？煞譃?2-5個(gè)條。 薄壁箱梁分條d）節(jié)線和條的編號(hào) 編號(hào)將影響剛度矩度的半帶寬，合理的編號(hào)可減小半帶寬，從而節(jié)省計(jì)算時(shí)間，如圖所示a優(yōu)于b節(jié)線和條的編號(hào)