函數(shù)問題的題型與方法

1、函數(shù)問題的題型與方法 湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽縣一中 馬中平一函數(shù)的概念型問題例1下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（ ） 分析：處理本題有多種思路分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^程太繁瑣從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請讀者自己一試此題作為選擇題還可采用估算的方法對于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(21)，也可能x=-1(-1-1)依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)于是決定本題選D說明：不論采取什

2、么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題例2、已知，函數(shù)y=g(x)圖象與y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求g(11)的值。解題思路分析：利用數(shù)形對應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函數(shù)，從而化g(x)問題為已知f(x)。 y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1 y=f-1(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1 g(11)=f(11)-1=評(píng)注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)

3、時(shí)，若b=f(a)，則a=f-1(b)。例3、已知g(x)=-x2-3，f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x-1，2時(shí)，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)為奇函數(shù)，求f(x)解析式。解題思路分析：用待定系數(shù)法求f(x)解析式設(shè)f(x)=ax2+bx+c（a0）則f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)為奇函數(shù) f(x)=x2+bx+3下面通過確定f(x)在-1，2上何時(shí)取最小值來確定b，分類討論。 ，對稱軸（1） 當(dāng)2，b-4時(shí)，f(x)在-1，2上為減函數(shù) 2b+7=1 b=3（舍）（2） 當(dāng)（-1，2），-4<b<2時(shí) （舍負(fù)）（3） 當(dāng)-1，b2時(shí)，

4、f(x)在-1，2上為增函數(shù) (f(x)min=f(1)=4-b 4-b=1 b=3 ，或評(píng)注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下，仍需討論何時(shí)取得最小值。二函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。方程思想是：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。函數(shù)和多元方程

5、沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所

6、給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。例4已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x). () 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；() 證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.解 ()由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2.設(shè)f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y

7、=x的交點(diǎn)分別為A(,)，B(,)由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+.() （證法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點(diǎn),開口向下的拋物線.因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解.又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+，當(dāng)a>3時(shí),. f3(2)f2(2)= a2+8>0,當(dāng)a>3時(shí),在第一象限

8、f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f(2)在f2(x)圖象的上方.f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.因此,方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.（證法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(xa)(x+a)=0,得方程的一個(gè)解x1=a.方程x+a=0化為ax2+a2x8=0,由a>3,=a4+32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, x1 x2,且x2 x3.若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,x1 x3.故原方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.例5方

9、程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了實(shí)際上這是要比較與2的大小當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選C說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷例6已知函數(shù)f(x)=lo

10、gm(1)若f(x)的定義域?yàn)椋?），判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；(2)當(dāng)0m1時(shí)，使f(x)的值域?yàn)閘ogmm(1)，logmm(1)的定義域區(qū)間為,(0)是否存在？請說明理由.命題意圖：本題重在考查函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：函數(shù)單調(diào)性的定義判斷法；單調(diào)性的應(yīng)用；方程根的分布；解不等式組.錯(cuò)解分析：第(1)問中考生易忽視“3”這一關(guān)鍵隱性條件；第(2)問中轉(zhuǎn)化出的方程，不能認(rèn)清其根的實(shí)質(zhì)特點(diǎn)，為兩大于3的根.技巧與方法：本題巧就巧在采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，借助函數(shù)方程思想，巧妙解題.解：（1）x3或x3.f(x)定義域?yàn)?3設(shè)x1x2，有當(dāng)0m1時(shí)，f(

11、x)為減函數(shù)，當(dāng)m1時(shí)，f(x)為增函數(shù).（2）若f(x)在,上的值域?yàn)閘ogmm(1),logmm(1)0m1, f(x)為減函數(shù).即即,為方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的兩個(gè)根 0m故當(dāng)0m時(shí)，滿足題意條件的m存在.三復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是

12、單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= fg(x)是偶函數(shù)例7若y=log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：使log(2-ax)有意義，即a0且a1，2

13、-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a1；0，1必須是y=log(2-ax)定義域的子集解法一：因?yàn)閒(x)在0，1上是x的減函數(shù)，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由對數(shù)概念顯然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a1，排除A，C，再令故排除D，選B說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確四函數(shù)的圖象題1會(huì)識(shí)圖，從試題給出的函數(shù)圖象提取信息。例8（遼寧卷12）一

14、給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是11yxO11yxO11yxO11yxO（）（）（）（）【答案】A【解答】由，得，即，而是圖中正方形的對角線，由知曲線應(yīng)在正方形的對角線的上方。從圖象知故選A 【點(diǎn)撥】分析清楚函數(shù)值與自變量的關(guān)系，即可判斷.2會(huì)畫函數(shù)草圖，借助函數(shù)草圖解題。例9（北京理工科13）對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論：； 當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .【答案】【詳解】對于可以用直接驗(yàn)證即可滿足題意對于如右圖所示：對于圖象上任意不同兩點(diǎn)顯然成立（可以用）故正確再有AB中點(diǎn)C（過C作軸交于D（D在上有：故不正確【名師指津】本題主要考查

15、了函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及直線斜率應(yīng)用,題目較綜合.例10（遼寧卷10）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)，若，則（）（）（）（）yxOyxO圖圖【答案】A【解答】數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)，如圖所示，有，當(dāng)時(shí)，如圖所示，有，故選A【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合解決定比分點(diǎn)問題例11（湖南理15）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在a,b上的面積。圖1圖2解析：本題是一道很好的理性思維信息開放性定義型題，能很好地考查學(xué)生分析思維能力.如圖1，由題設(shè)可知： ，類似地可得：例11如圖2等于與直線y=1圍成的半個(gè)周長的面積與矩形的面積之和，由第一問知與直線y=1圍成的半個(gè)周長的面積為，矩形的

16、面積為，從而知為： 3會(huì)借助函數(shù)圖象平移、伸縮變換及互反函數(shù)圖象的對稱性解題。圖2例12（廣東卷( 9 ) ）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對稱現(xiàn)將圖像沿x軸向左平移個(gè)單位，再沿y軸向上平移個(gè)單位，所得的圖像是由兩條線段組成的折線（如圖所示），則函數(shù)的表達(dá)式為ABCD【答案】A解：將圖象沿y軸向下平移個(gè)單位，再沿軸向右平移個(gè)單位得下圖A，從而可以得到的圖象，故，圖A函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對稱，故選A(也可以用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)獲得答案)例13（天津理工科8）、要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的A、橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度B、橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（

17、縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度C、橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度D、橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度分析： 的周期是的周期的2倍，從周期的變化上知道橫坐標(biāo)應(yīng)該伸長。排除A、B。的橫坐標(biāo)伸長2倍后變成了，將化成正弦形式為，根據(jù)口訣“左加由減”得由向右移動(dòng)。本題答案選C例14（山東理工科（2）函數(shù)的反函數(shù)圖像大致是（A） （B） （C） （D） 答案 B思路 本題考查反函數(shù)的概念及函數(shù)的圖象。，解得反函數(shù),它的圖象是將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的 .五函數(shù)綜合應(yīng)用例15(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(

18、m)0，f(n)0，則對于任意x(m，n)都有f(x)0，試證明之；(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，則ab+bc+ca-1分析：問題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正，則對于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手(1)證明：當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是增函數(shù)，mxn，f(x)f(m)0；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是減函數(shù)，mxn，f(x)f(n)0所以對于任意x(m，n)都有f(x)0成

19、立(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1則f(a)=(b+c)a+bc+1當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1因?yàn)閨c|1，所以f(a)=-c2+10當(dāng)b+c0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)因?yàn)閨b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0由問題(1)對于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”把證明ab+bc+ca-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+10， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|1，|b|1，|c|1的條件下證明f(a)0(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)0)。例16定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立