直線與圓、圓與圓位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、經(jīng)典例題解析、近年高考題

1、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系【考綱說(shuō)明】1、能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系。2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。【知識(shí)梳理】一、 直線與圓的位置關(guān)系1、 直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離，判斷直線與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的有兩種方法（1）代數(shù)法：把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式直線與圓相交直線與圓有兩交點(diǎn)直線與圓相切直線與圓有一交點(diǎn)直線與圓相離直線與圓無(wú)交點(diǎn)（2）幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系：直線與圓相交直線與圓有兩交點(diǎn)直線與圓相切直線與圓有一交點(diǎn)直線與圓相離直線

2、與圓無(wú)交點(diǎn)2、圓的切線方程若圓的方程為，點(diǎn)P在圓上，則過(guò)P點(diǎn)且與圓相切的切線方程為.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線方程為.3、直線與圓相交直線與圓相交時(shí)，若l為弦長(zhǎng)，d為弦心距，r為半徑，則有，即，求弦長(zhǎng)或已知弦長(zhǎng)求其他量的值時(shí)，一般用此公式。二、圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。2、判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法（1）幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為，半徑為，則圓與圓相離有4條公切線圓與圓外切有3條公切線圓與圓相交有2條公切線圓與圓內(nèi)切有1條公切線圓與圓內(nèi)含有0條公切線.（2）代數(shù)法：方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解兩圓相交；有兩組相同的實(shí)數(shù)解兩圓相切；無(wú)實(shí)數(shù)解兩圓外離或內(nèi)含

3、。【經(jīng)典例題】【例1】（2012廣東文）在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相交于兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)等于（）A B C D1【答案】B【解析】 圓心到直線的距離為,所以弦的長(zhǎng)等于. 【例2】（2012重慶理）對(duì)任意的實(shí)數(shù)k, 直線與圓的位置關(guān)系一定是 （）A相離 B相切 C相交但直線不過(guò)圓心 D相交且直線過(guò)圓心【答案】C【解析】圓心到直線的距離為,且圓心不在該直線上. 法二:直線恒過(guò)定點(diǎn),而該點(diǎn)在圓內(nèi),且圓心不在該直線上,故選C. 【例3】（2012 福建）直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度等于( A B C D1【答案】B【解析】求弦長(zhǎng)有兩種方法，一、代數(shù)法：聯(lián)立方程組，解得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以弦長(zhǎng)

4、；二、幾何法：根據(jù)直線和圓的方程易知，圓心到直線的距離為，又知圓的半徑為2，所以弦長(zhǎng).【例4】（2012安徽）若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是( A B C D【答案】C【解析】圓的圓心到直線的距離為，則 .【例5】（2012 山東）圓與圓的位置關(guān)系為( A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離【答案】B【解析】?jī)蓤A的圓心分別為，半徑分別為，兩圓的圓心距離為，則，所以兩圓相交，選B.【例6】（2012 江西）過(guò)直線上點(diǎn)作圓的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_ 【答案】【解析】如圖：由題意可知,由切線性質(zhì)可知,在直角三角形中，設(shè)點(diǎn)，則，即，整理得，即,所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為法二：

5、如圖：由題意可知,由切線性質(zhì)可知,在直角三角形中，圓心到直線的距離為，所以垂直于直線， 由，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為?！纠?】（2009四川）若與相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是 .【答案】4【解析】由題知，且，又，所以有.【例8】（2011福建）已知直線：.（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問(wèn)直線與拋物線C：是否相切？說(shuō)明理由。【答案】；當(dāng)=1時(shí)，直線與拋物線C相切，當(dāng)1時(shí)，直線與拋物線C不相切.【解析】（I）由題意知(0, ,以點(diǎn)(2,0）為圓心的圓與直線相切與點(diǎn),=,解得=2

6、，圓的半徑=，所求圓的方程為；（II）直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線為，：，：，代入得，=，當(dāng)1時(shí)，0，直線與拋物線C相交；當(dāng)=1時(shí)，=0，直線與拋物線C相切；當(dāng)1時(shí)，0，直線與拋物線C相離.綜上所述，當(dāng)=1時(shí)，直線與拋物線C相切，當(dāng)1時(shí)，直線與拋物線C不相切.【例9】已知圓，圓，m為何值時(shí)，（1）圓與圓相外切；（2）圓與圓內(nèi)含.【答案】圓與圓外切；當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含.【解析】對(duì)于圓與圓的方程，配方得：；.（1）如果圓與圓外切，則有.（2）如果圓與圓內(nèi)含，則有，解得，時(shí)，圓與圓外切；當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含.【例10】（2011廣東）設(shè)圓C與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切（1）求C的圓心軌跡L的方程；（2）已知點(diǎn)

7、M(，F(xiàn)(，0，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)求|MP|FP|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】；(，【解析】（1）兩圓的圓心分別為A(，0，B(，0，半徑為2，設(shè)圓C的半徑為r.由題意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，兩式相減得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4.則C的軌跡為雙曲線，其中2a4，c，b21圓C的圓心軌跡L的方程為.（2）由（1）知F為雙曲線L的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，連MF并延長(zhǎng)交雙曲線于一點(diǎn)P，此時(shí)|PM|PF|MF|為|PM|FP|的最大值又MF的方程為即代入x24y24并整理得，解得x或x，顯然x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.即|MP|FP|的最大值

8、為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，【課堂練習(xí)】1、（2012 遼寧）將圓平分的直線是（）A B C D2（2012重慶）設(shè)為直線與圓 的兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A1 B C D23（2012 陜西）已知圓，是過(guò)點(diǎn)的直線，則（）A與相交 B與相切C與相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能4（2012 湖北）過(guò)點(diǎn)的直線，將圓形區(qū)域分成兩部分，使這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為( A B C D5（2012天津理）設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是( A BC D6.（2009遼寧理）已知圓C與直線xy=0 及xy4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為( A. B. C. D. 7.（2009重慶理）直

9、線與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B相交但直線不過(guò)圓心 C直線過(guò)圓心 D相離8.（2006陜西理）過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A. B.2 C. D.2 9（2011江西）如圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（ ）10.（2012江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 11（2012 浙江）定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離已知曲線C1： 到直線的

10、距離等于曲線C2：x 2(y4 2 2到直線的距離，則實(shí)數(shù)_ 12（2012天津文）設(shè), 若直線與軸相交于點(diǎn),與y軸相交于B，且與圓 相交所得弦的長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為 13.（2010寧夏）過(guò)點(diǎn)A(4,1的圓C與直線相切于點(diǎn)B(2,1則圓C的方程為 14.（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_15.（2008廣東理）經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線是 16.（2011江蘇）, , 若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_17.（2006廣東）以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是 18（2012 全國(guó)

11、大綱）已知拋物線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，且在點(diǎn)處兩曲線的切線為同一直線.（）求； （）設(shè)是異于且與及都相切的兩條直線，的交點(diǎn)為，求到的距離 19.（2012湖南理）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)均在圓：外，且對(duì)上任意一點(diǎn)， 到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（1）求曲線的方程； （2）設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)和.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.20.（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程； （2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得

12、的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。【課后作業(yè)】1.（2011安徽文）若直線3x + y +a = 0過(guò)圓的圓心,則a的值為（ ）A 1 B 1 C 3 D 32.（2010廣東）若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓O的方程是（ ）A BC D3.（2009重慶）圓心在軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ）A B C D4.（2009上海）過(guò)圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（ ）A 0條 B 1條 C 2條 D 3條5.直線平分圓x2+y2-8x+2

13、y-2=0的周長(zhǎng)，則（ ）A3 B5 C3 D56.由直線上的點(diǎn)向圓(x-32+(y+22=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ）A. B. C. D.7（2011江西若曲線：與曲線：有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( A(， B(，0(0，c， D(，(，+8.（2009寧夏）圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（ ）A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=19.（2009全國(guó)）若直線被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為，則的傾斜角可以是 其中正確答案的序號(hào)是 （寫出所有正確答案的序號(hào)）10.（2011湖北文）過(guò)點(diǎn)（-1，-2）的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的斜率為 11.（2010天

14、津）已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切。則圓C的方程為12.（2010山東）已知圓C過(guò)點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，則過(guò)圓心且與直線垂直的直線的方程為 13.（2010湖南）若不同兩點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（a，b），（3-b，3-a），則線段PQ的垂直平分線的斜率為 ,圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為 14.光線從點(diǎn)P（3，5）射到直線上，經(jīng)過(guò)反射，其反射光線過(guò)點(diǎn)Q（3，5），則光線從P到Q所走過(guò)的路程為 15.圓為參數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，過(guò)這個(gè)圓外一點(diǎn)P的該圓的切線方程是 16.設(shè)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)為，則a=

15、 17.（天津文）若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則a=_18.（2006江西理）設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題：中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上；對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上； 中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是 （寫出所有真命題的代號(hào)）19（2011全國(guó)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上（I）求圓C的方程； （II）若圓C與直線交于兩點(diǎn)，且求的值 20、（2009寧夏海南）已知圓，圓對(duì)稱，求圓的方程.【參考答案】【課堂練習(xí)】1-9、CDAAD BBDA10、11、12、313、14、15、16、17、18、；19、；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的坐標(biāo)為，又，則過(guò)且與