4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用教案[001]

1、4.2.3 直線及圓的方程的應(yīng)用（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)及技能（1）理解掌握，直線及圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.（2）會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.2過程及方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.3情態(tài)及價(jià)值觀讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線及圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題及解決問題的能力.（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：直線及圓的方程的應(yīng)用.教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入你能說出兩點(diǎn)間的距離公式直線方程的四種形

2、式及圓的方程的兩種形式嗎？學(xué)生思考后作答教師再引入課題現(xiàn)在我們通過幾個(gè)例子說明直線及圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生回顧，從而引入新課.應(yīng)用舉例3閱讀并思考教科書上的例4，你將選擇什么方法解決例4的問題？例4 圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).解析：建立圖所示的直角坐標(biāo)系，使圓心在y軸上.設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0，b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2 + (y b)2 = r2.下面確定b和r的值.因?yàn)镻、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0，4)，(1

3、0，0)都滿足方程x2 + (y b)2 = r2.于是，得到方程組解得b = 10.5，r2 = 14.52所以，圓的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x = 2代入圓的方程，得(2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取(P2的縱坐標(biāo)y0平方根取正值).所以14.36 10.5=3.86(m)師：指導(dǎo)學(xué)生觀察教科書上的圖形特征，利用平面坐標(biāo)系求解.生：自學(xué)例4，并完成練習(xí)題1、2.師：分析例4并展示解題過程，啟發(fā)學(xué)生利用坐標(biāo)法求，注意給學(xué)生留有總結(jié)思考的時(shí)間.指導(dǎo)學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)過渡到數(shù)學(xué)思想方法的選擇.4你能分析一下確定一個(gè)圓的方程的要點(diǎn)嗎

4、？教師引導(dǎo)學(xué)生分析圓的方程中，若橫坐標(biāo)確定，如何求出縱坐標(biāo)的值.使學(xué)生加深對(duì)圓的方程的認(rèn)識(shí).5你能利用“坐標(biāo)法”解決例5嗎？例5 已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.師：引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.生：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，探求解決問題的方法.證明：如圖，以四邊形ABCD互直垂直的對(duì)角線CA，DB所在直線分別為x軸，y軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).過四邊形ABCD外接圓的圓心O分別作AC、BD、AD的垂線，垂足分別為M、N、E分別是

5、線段AC、BD、AD的中點(diǎn).由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得所以又所以.鞏固“坐標(biāo)法”，培養(yǎng)學(xué)生分析問題及解決問題的能力.6完成教科書第140頁(yè)的練習(xí)題2、3、4.練習(xí)2 趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程. 練習(xí)3 某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？ 練習(xí)4 等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于點(diǎn)P.求證APCP.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，并解決課本第140頁(yè)的練習(xí)題2、3、4，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生思考平面幾何問題及代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).練習(xí)2解：建立如圖所

6、示的直角坐標(biāo)系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有A(18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .設(shè)所求圓的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有解此方程組，得a = 0，b = 20.7，r = 27.9.所以這這圓拱橋的拱圓的方程是x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0y7.2)練習(xí)3解：建立如圖所示的坐標(biāo)系.依題意，有A(10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0).設(shè)所求圓的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有解此方程組，得a = 0，b = 10.5，r = 14.5.所以這

7、座圓拱橋的拱圓的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0y4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x = 5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m，33.1，所以該船可以從橋下穿過.練習(xí)4解： 以B為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，線段BC長(zhǎng)的為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則.由已知，得D(2,0)，.直線AD的方程為.直線BE的方程為.解以上兩方程聯(lián)立成的方程組，得.所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.直線PC的斜率.因?yàn)?，所以，APCP.使學(xué)生熟悉平面幾何問題及代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，加深“坐標(biāo)法”的解題步驟.練習(xí)題 直角ABC的斜邊為定長(zhǎng)m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為長(zhǎng)定長(zhǎng)n的圓，BC的延長(zhǎng)線交此圓

8、于P、Q兩點(diǎn)，求證|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2為定值.7你能說出練習(xí)題蘊(yùn)含了什么思想方法嗎？學(xué)生獨(dú)立解決練習(xí)題，教師組織學(xué)生討論交流.證明：如圖， 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線PQ為x軸，建立直角坐標(biāo)系.于是有，設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓上.AP2 + AQ2 + PQ2= =(定值)反饋學(xué)生掌握“坐標(biāo)法”解決問題的情況，鞏固所學(xué)知識(shí).歸納總結(jié)8小結(jié)：（1）利用“坐標(biāo)法”解決問題的需要準(zhǔn)備什么工作？（2）如何建立直角坐標(biāo)系，才能易于解決平面幾何問題？（3）你認(rèn)為學(xué)好“坐標(biāo)法”解決問題的關(guān)鍵是什么？（4）建立不同的平面直角坐標(biāo)系，對(duì)解決問題有什么直接的影響呢？師：指導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)題

9、.生：閱讀教科書的例3，并完成.教師引導(dǎo)學(xué)生自己歸納總結(jié)所學(xué)過的知識(shí)，組織學(xué)生討論、交流、探究.對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納概括，體會(huì)利用“坐標(biāo)法”解決實(shí)際問題的作用.課后作業(yè)布置作業(yè)習(xí)案4.2第2課時(shí)學(xué)生獨(dú)立完成鞏固所學(xué)知識(shí)備選例題例1 一圓形拱橋，現(xiàn)時(shí)的水面寬為22米，拱高為9米，一艘船高7.5米，船頂寬4米的船，能從橋下通過嗎？【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示：C(11，0 )，D(11，0)，M(0，9)可求得過C、D、M三點(diǎn)的圓的方程是故A點(diǎn)坐標(biāo)是(2，y1)，則得y18.82，(取y10)y17.5，因此船不能從橋下通過.例2 設(shè)半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)，A向東，B向北，A

10、出村后不久改變前進(jìn)方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進(jìn)，后來(lái)恰好及B相遇，設(shè)A、B兩人的速度一定，其比為3:1，問A、B兩人在何處相遇.【解析】由題意以村中心為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北為y軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B兩人的速度分別的為3vkm/h，vkm/h，設(shè)A出發(fā)ah，在P處改變方向，又經(jīng)過bh到達(dá)相遇點(diǎn)Q，則P(3av，0)Q(0，(a + b)v)，則|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v在RtOPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b設(shè)直線PQ方程為由PQ及圓x2 + y2 = 9相切，解得故A、B兩人相遇在正北方離村落中心km.例3 有一種商品，A、B兩地均有售且價(jià)格相同，但某居住地的居民從兩地往回運(yùn)時(shí)，每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B相距10km，問這個(gè)居民應(yīng)如何選擇A地或B地購(gòu)買此種商品最合算？(僅從運(yùn)費(fèi)的多少來(lái)考慮)【解析】以AB所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.|AB| = 10，所以A(5，0)