《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)》ch6 樣本及抽樣分布

1、StopStop 數(shù)理統(tǒng)計實際上是概率論的具體應(yīng)用。它數(shù)理統(tǒng)計實際上是概率論的具體應(yīng)用。它的研究范圍分成兩個方面，一個是的研究范圍分成兩個方面，一個是統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷，另一個是另一個是抽樣理論抽樣理論與與試驗設(shè)計試驗設(shè)計。本課程僅研究。本課程僅研究第一個方面的內(nèi)容。統(tǒng)計推斷主要研究第一個方面的內(nèi)容。統(tǒng)計推斷主要研究抽樣分抽樣分布布、參數(shù)估計參數(shù)估計、假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗等。等。Stop 基本概念基本概念研究對象的全體。研究對象的全體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標，通常指研究對象的某項數(shù)量指標，組成總體的單元。組成總體的單元。通常也指與通常也指與總體總體對應(yīng)的某項數(shù)量指標對應(yīng)的某項數(shù)量指標來自總體的

2、部分個體。來自總體的部分個體。n稱為樣本容量稱為樣本容量StopX f (x)X1， ，Xnn稱為樣本容量稱為樣本容量又稱其是又稱其是“簡單隨機樣本簡單隨機樣本”或簡稱為或簡稱為“隨隨機樣本機樣本”或或“樣本樣本”。滿足以下兩個條件：滿足以下兩個條件：（1）獨立性獨立性： X1， ，Xn 相互獨立；相互獨立；（2）同分布性同分布性：X1， ，Xn與總體與總體 X 同分布。同分布。來自總體來自總體 X 的隨機樣本的隨機樣本 X1， ，Xn可記為可記為)(,11xfXXXXXiidniidn或或其中其中 f (x)是是 X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。Stop 對樣本對樣本 X1， ，Xn進行觀測，進

3、行觀測，即可得一組觀測值即可得一組觀測值 x1， ，xn 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 樣本樣本 X1， ，Xn的函數(shù)的函數(shù) g(X1， ，Xn )稱稱為是總體為是總體 X 的一個的一個，若，若g(X1， ，Xn )與任何未知參數(shù)無關(guān)。與任何未知參數(shù)無關(guān)。統(tǒng)計量的觀測值統(tǒng)計量的觀測值 若樣本若樣本 X1， ，Xn的觀測值為的觀測值為x1， ，xn，則則g(x1， ，xn)稱為統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量g(X1， ，Xn )的觀測的觀測值。值。Stop 常用常用統(tǒng)計量統(tǒng)計量 niiXnX111. 樣本均值（樣本平均數(shù)）樣本均值（樣本平均數(shù)）其觀測值為其觀測值為 niixnx112. 樣本方差樣本方差 niiXXnS122

4、)(11其觀測值為其觀測值為 niixxns122)(11樣本均方差（標準差）樣本均方差（標準差）其觀測值為其觀測值為2SS 2ss Stop nikikXnA113. k 階樣本矩階樣本矩k 階原點矩階原點矩觀測值為觀測值為 nikikxna11 nikikXXnB1)(1k 階中心矩階中心矩觀測值為觀測值為 niikxxnb12)(1Stop4. 極大、極小統(tǒng)計量極大、極小統(tǒng)計量極大統(tǒng)計量極大統(tǒng)計量 X(n)=maxX1， ，Xn，其觀測值其觀測值x(n)=maxx1, ，xn極小統(tǒng)計量極小統(tǒng)計量 X(1)=minX1， ，Xn，其觀測值其觀測值x(1)=minx1， ，xnStop 抽樣

5、分布抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計中主要研究如下四個分布：數(shù)理統(tǒng)計中主要研究如下四個分布：U分布、分布、 2分布、分布、 t 分布和分布和F分布。分布。 2分布分布.)().(),1 , 0(,222121分布分布的的稱為自由度為稱為自由度為則則設(shè)設(shè) nnnXNXXniiiidn構(gòu)造構(gòu)造Stop其密度為其密度為 0, 00,)(212)2/(212/yyeyyfynnn f ( y) 2(n)0,)(01 tdxextxt!)(nn Stop則則 1 + 2 2(n1+n2 )。再生性再生性若若 1 2(n1)， 2 2(n2 )， 1， 2獨立，獨立，期望

6、與方差期望與方差若若 2(n)，則，則E( )= n，D( )=2n。;)()(,)(, 0)(2222分分位位點點的的上上側(cè)側(cè)為為則則稱稱滿滿足足 nnnPn分位點分位點設(shè)設(shè) 2(n)，若對于，若對于 ：0 45)，近似地有，近似地有其中其中z 為為N(0，1)的上側(cè)的上側(cè) 分位點。分位點。.)12(21)(22 nznStop t分布分布若若 N(0, 1), 2(n), 與與 獨立，則獨立，則).(/ntnT tntnnntfn,)1()2()21()(212構(gòu)造構(gòu)造其密度為其密度為t (n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布分布Stop密度函數(shù)密度函數(shù) f (t )的圖形與的圖形與N

7、(0, 1)的密度函數(shù)的圖的密度函數(shù)的圖形很象形很象，只是，只是 t (n)的圖的圖形兩端尾巴厚一些。形兩端尾巴厚一些?；拘再|(zhì)基本性質(zhì)(1) f (t )關(guān)于關(guān)于t =0(縱軸縱軸)對稱。對稱。 事實上，事實上，f ( t )= f (t )。(2) f (t )的極限為的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 xettftn,21)()(lim22Stop分位點分位點 設(shè)設(shè)T t(n)，若對，若對 ：0 0， 滿足滿足PT t (n)= ，則稱，則稱t (n)為為t(n)的的上側(cè)分位點上側(cè)分位點t (n)()(1ntnt Stopt /2(n) t /2(n)存在存在t /2(n)

8、0， 滿足滿足 P|T| t /2(n)= ，則稱，則稱t /2(n)為為t(n)的的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點.Stop F分布分布若若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2獨立，則獨立，則構(gòu)造構(gòu)造).,(/212211nnFnnF F(n1, n2)稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由，第二自由度為度為n2的的F分布分布。).,(1),(1221nnFFnnFF則則若若定理定理StopF分布的分位點分布的分位點 對于對于 ：0 0，滿，滿足足PF F (n1, n2)= ， 則稱則稱 F (n1, n2)為為F(n1, n2)的上側(cè)的上側(cè) 分位點；分位點； 類似地，類似地，

9、稱稱 F1 (n1,n2)為為F(n1, n2)的下側(cè)的下側(cè) 分位點。分位點?？梢宰C明：可以證明：),(1),(12211nnFnnF Stop 正態(tài)總體的抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布,),(,221的樣本的樣本的容量為的容量為為取自為取自若若nNXXXn 則有則有.)(11,11221 niiniiXXnSXnX),()1(2nNX );1 , 0( NnX 即即);1()1()2(222 nSn;)3(2相互獨立相互獨立與與SX).1()4( ntnSXStop,),(,211211 NXXXiidn若若;)(11,1111212111 niiniiXXnSXnX,),(,222212 NY

10、YYiidn且兩樣本獨立且兩樣本獨立則則有有;)(11,1221222212 niiniiYYnSYnY22212121)()()1(nnYX )1 , 0( NStop);1, 1(/)2(2122222121 nnFSSF.2)1()1().2(11)()(,)3(2122221122121212221稱為混合樣本方差稱為混合樣本方差其中其中就有就有假定假定進一步地進一步地 nnSnSnSnntnnSYXTwwStop?,5 . 0,1 . 0%7 .99),(22應(yīng)應(yīng)取取多多大大樣樣本本容容量量時時試試問問在在概概率率保保證證偏偏差差的的如如果果要要以以設(shè)設(shè)總總體體nXNX .,)()(;)1, 0(),(226542321621并并指指出出其