高中數(shù)學解題思想方法全部內(nèi)容

1、高中數(shù)學解題思想方法全部內(nèi)容第一章 高中數(shù)學解題基本方法一、 配方法配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方” 的技巧, 通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡。何時配方, 需要我 們適當預測,并且合理運用“裂項”與“添項” 、 “配”與“湊”的技 巧,從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法” 。最常見的配方是進行恒等變形, 使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。 它主要適 用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次 代數(shù)式的討論與求解,或者缺 xy 項的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式 (a+b =a + 2ab +b ,將這個公式靈

2、活運用,可得到各種基本配方形式,如: a +b =(a+b -2ab =(a-b +2ab ;a +ab +b =(a+b -ab =(a-b +3ab =(a+ +(b ; a +b +c +ab +bc +ca =(a+b +(b+c +(c+a a +b +c =(a+b +c -2(ab+bc +ca =(a+b -c -2(ab-bc -ca =結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì),相應有另外的一些配方形式,如:1+sin2=1+2sin cos =(sin +cos ;x +=(x+ -2=(x- +2; 等等。、再現(xiàn)性題組:1. 在正項等比數(shù)列 a中, a ?a +2a?a +a?a =25,

3、則 a +a = _。2. 方程 x +y -4kx -2y +5k =0表示圓的充要條件是 _。 A. <k<1B. k<或 k>1C. k R D. k =或 k =13. 已知 sin +cos =1,則 sin +cos 的值為 _。 A. 1B. -1C. 1或-1D. 0 4. 函數(shù) y =log (-2x +5x +3 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _。 A. (- , B. ,+ C. (-, D. ,3 5. 已知方程 x +(a-2x+a-1=0的兩根 x 、 x ,則點 P(x,x 在圓 x +y=4上,則實數(shù) a =_?！竞喗狻?1小題:利用等比數(shù)列性質(zhì) a

4、 a =a , 將已知等式左邊后 配方(a +a 易求。答案是:5。2小題:配方成圓的標準方程形式 (x-a +(y-b =r , 解 r >0即可,選 B 。3小題:已知等式經(jīng)配方成 (sin+cos -2sin cos =1, 求出 sin cos ,然后求出所求式的平方值,再開方求解。選 C 。 4小題:配方后得到對稱軸,結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單 調(diào)性求解。選 D 。5小題:答案 3-。、示范性題組:例 1. 已知長方體的全面積為 11,其 12條棱的長度之和為 24,則 這個長方體的一條對角線長為 _。A. 2B. C. 5D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式:設長方體

5、長寬高分別為 x,y,z , 則 , 而欲求對角線長 ,將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】 設長方體長寬高分別為 x,y,z , 由已知 “長方體的全面積為 11, 其 12條棱的長度之和為 24”而得:。長方體所求對角線長為:=5所以選 B 。【注】 本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表 示式, 觀察和分析三個數(shù)學式, 容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進 行聯(lián)系, 即聯(lián)系了已知和未知, 從而求解。這也是我們使用配方法的 一種解題模式。例 2. 設方程 x +kx +2=0的兩實根為 p 、 q ,若 ( +( 7成立, 求實數(shù) k 的取值范圍?！窘狻糠匠?x +kx +

6、2=0的兩實根為 p 、 q ,由韋達定理得:p +q =-k , pq =2,( +( = 7, 解得 k -或 k 。又 p 、 q 為方程 x +kx +2=0的兩實根, =k -8 0即 k 2或 k -2綜合起來, k 的取值范圍是:- k -或者 k ?！咀ⅰ?關于實系數(shù)一元二次方程問題, 總是先考慮根的判別式 “” ; 已知方程有兩根時,可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到 p +q 、 pq 后,觀察已知不等式,從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方, 表示成 p +q 與 pq 的組合式。假如本題不對“”討論,結(jié)果將出 錯,即使有些題目可能結(jié)果相同,去掉對“”的討論,但解答是不

7、嚴密、不完整的,這一點我們要尤為注意和重視。例 3. 設非零復數(shù) a 、 b 滿足 a +ab +b =0,求 ( +( ?！痉治觥?對已知式可以聯(lián)想:變形為 ( +( +1=0,則 =(為 1的立方虛根 ;或配方為 (a+b =ab 。則代入所求式即得。 【解】由 a +ab +b =0變形得:( +( +1=0,設=,則+1=0,可知為 1的立方虛根,所以:=, =1。又由 a +ab +b =0變形得:(a+b =ab ,所以 ( +( =( +( =( +( =+=2?！咀ⅰ?本題通過配方,簡化了所求的表達式;巧用 1的立方虛根, 活用的性質(zhì),計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程,

8、有較大 的靈活性,要求我們善于聯(lián)想和展開?！玖斫狻?由 a +ab +b =0變形得:( +( +1=0, 解出 =后,化成三角形式,代入所求表達式的變形式 ( +( 后,完成后面的運 算。此方法用于只是未 聯(lián)想到時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時,還可由 a +ab +b =0解出:a =b ,直接代入所求表達式,進行分式化簡后,化成復數(shù)的 三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的計算。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =(x-a +(x-b (a 、 b 為常數(shù)的最小值為 _。 A. 8B. C. D. 最小值不存在2. 、 是方程 x -2ax +a +6=0的兩實根, 則 (-1

9、+(-1 的最小值是 _。A. -B. 8C. 18D. 不存在3. 已知 x 、 y R , 且滿足 x +3y -1=0, 則函數(shù) t =2+8有 _。 A. 最大值 2B. 最大值 C. 最小值 2B. 最小值 4. 橢圓 x -2ax +3y +a -6=0的一個焦點在直線 x +y +4=0上,則a =_。A. 2B. -6C. -2或-6D. 2或 6 5. 化簡:2+的結(jié)果是 _。A. 2sin4B. 2sin4-4cos4C. -2sin4D.4cos4-2sin46. 設 F 和 F 為雙曲線 -y =1的兩個焦點,點 P 在雙曲線上且滿 足 F PF =90°,則

10、 F PF 的面積是 _。7. 若 x>-1,則 f(x=x +2x +的最小值為 _。8. 已知 < , cos(- =, sin(+ =-, 求 sin2的值。 (92年高考題 9. 設二次函數(shù) f(x=Ax +Bx +C ,給定 m 、 n (m<n , 且滿足 A (m+n+m n +2AB(m+n-Cmn+B +C =0。 解不等式 f(x>0; 是否存在一個實數(shù) t ,使當 t (m+t,n-t時, f(x<0?若不存 在,說出理由;若存在,指出 t 的取值范圍。10. 設 s>1, t>1, m R , x =log t +log s ,

11、 y =log t +log s +m(logt +log s, 將 y 表示為 x 的函數(shù) y =f(x,并求出 f(x的定義域; 若關于 x 的方程 f(x=0有且僅有一個實根,求 m 的取值范圍。 二、換元法解數(shù)學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它, 從而 使問題得到簡化, 這叫換元法。 換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關鍵是構(gòu)造元和 設元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對 象的知識背景中去研究, 從而使非標準型問題標準化、 復雜問題簡單 化,變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、 變量代換法。 通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來, 隱含的條件顯露出來, 或者

12、把條件與結(jié)論聯(lián)系起 來。或者變?yōu)槭煜さ男问?把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、 化無理式為有理式、化超越式 為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛 的應用。換元的方法有:局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整 體換元, 是在已知或者未知中, 某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母 來代替它從而簡化問題, 當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。 例如解不 等式:4+2-2 0,先變形為設 2=t (t>0 ,而變?yōu)槭煜さ?一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。三角換元, 應用于去根號,或者變換為三角形式易求時,主要利用已 知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)

13、系進行換元。如求函數(shù) y =+的 值域時,易發(fā)現(xiàn) x 0,1,設 x =sin , 0,問題變成了 熟悉的求三角函數(shù)值域。 為什么會想到如此設, 其中主要應該是發(fā)現(xiàn) 值域的聯(lián)系,又有去根號的需要。如變量 x 、 y 適合條件 x +y =r (r>0時,則可作三角代換 x =rcos 、 y =rsin 化為三角問 題。均值換元,如遇到 x +y =S 形式時,設 x =+t , y =-t 等等。 我們使用換元法時,要遵循有利于運算、有利于標準化的原則, 換元 后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍, 不能縮小也不能擴大。如上幾例中的 t>0和 0,。

14、、再現(xiàn)性題組:1.y =sinx?cosx +sinx+cosx的最大值是 _。2. 設 f(x+1 =log (4-x (a>1 , 則 f(x的 值 域 是 _。3. 已知數(shù)列 a中, a =-1, a ?a =a -a ,則數(shù)列通項 a = _。4. 設實數(shù) x 、 y 滿足 x +2xy -1=0,則 x +y 的取值范圍是 _。5. 方程 =3的解是 _。6. 不等式 log (2-1 ?log (2-2 2的解集是 _。 【簡解】 1小題:設 sinx+cosx=t -, ,則 y =+t -,對稱 軸 t =-1,當 t =, y =+;2小題:設 x +1=t (t 1

15、,則 f(t=log -(t-1+4,所以值域 為 (- ,log 4;3小題:已知變形為 -=-1, 設 b =,則 b =-1,b =-1+(n -1(-1=-n ,所以 a =-;4小題:設 x +y =k ,則 x -2kx +1=0, =4k -4 0, 所以 k 1或 k -1;5小題:設 3=y ,則 3y +2y -1=0, 解得 y =,所以 x =-1;6小題:設 log (2-1 =y ,則 y(y+1<2,解得-2<y<1, 所以 x (log,log 3 。、示范性題組:例 1. 實數(shù) x 、 y 滿足 4x -5xy +4y =5(式 , 設 S

16、=x + y ,求 +的值。 (93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題【分析】 由 S =x +y 聯(lián)想到 cos +sin =1, 于是進行三角換 元,設 代入式求 S 和 S 的值?！窘狻吭O 代入式得:4S -5S?sin cos =5解得 S =; -1 sin2 1 3 8-5sin2 13 +=+=此種解法后面求 S 最大值和最小值, 還可由 sin2=的有界性而求, 即解不等式:| 1。 這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的 “有界法” 。 【另解】 由 S =x +y ,設 x =+t , y =-t , t -, , 則 xy =±代入式得:4S ±5=5,移項平方整理得 1

17、00t +39S-160S +100=0。 39S -160S +100 0解得: S +=+=【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法” ,主要是利用已知條件 S =x +y 與三角公式 cos +sin =1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三 角換元, 將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。 第二種解法屬于“均 值換元法” , 主要是由等式 S =x +y 而按照均值換元的思路, 設 x =+t 、 y =-t ,減少了元的個數(shù),問題且容易求解。另外,還用到 了求值域的幾種方法:有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。 和“均值換元法”類似,我們還有一種換元法,即在題中有兩個變量 x 、 y 時,可以設 x =a

18、 +b , y =a -b ,這稱為“和差換元法” ,換元 后有可能簡化代數(shù)式。本題設 x =a +b , y =a -b ,代入式整理得 3a +13b =5,求得 a 0,所以 S =(a-b +(a+b =2(a +b =+a , ,再求 +的值。例 2. ABC 的三個內(nèi)角 A 、 B 、 C 滿足:A +C =2B , +=-,求 cos 的值。 (96年全國理【分析】 由已知“ A +C =2B ”和“三角形內(nèi)角和等于 180°”的 性質(zhì),可得 ;由“ A +C =120°”進行均值換元,則設 ,再代 入可求 cos 即 cos ?！窘狻坑?ABC 中已知 A

19、+C =2B ,可得 ,由 A +C =120°,設 ,代入已知等式得:+=+=+=-2,解得:cos =, 即:cos =。【另解】由 A +C =2B ,得 A +C =120°, B =60°。所以 +=-=-2,設 =-+m , =-m ,所以 cosA =, cosC =,兩式分別相加、相減得:cosA +cosC =2cos cos =cos =,cosA -cosC =-2sin sin =-sin =,即:sin =-, =-, 代入 sin +cos =1整理得:3m -16m -12=0, 解出 m =6,代入 cos =。【注】 本題兩種解法

20、由“ A +C =120°” 、 “ +=-2”分別進行 均值換元, 隨后結(jié)合三角形角的關系與三角公式進行運算, 除由已知 想到均值換元外, 還要求對三角公式的運用相當熟練。 假如未想到進 行均值換元,也可由三角運算直接解出:由 A +C =2B ,得 A +C = 120°, B =60°。所以 +=-=-2,即 cosA +cosC =-2 cosAcosC ,和積互化得:2cos cos =-cos(A+C+cos(A-C,即 cos =-cos(A-C =-(2cos-1 ,整理得:4cos +2cos -3=0,解得:cos =y, ,-x例 3. 設

21、a>0,求 f(x=2a(sinx+cosx -sinx?cosx -2a 的最 大值和最小值?！窘狻?設 sinx +cosx =t ,則 t -, ,由 (sinx+cosx =1+2sinx?cosx 得:sinx?cosx = f(x=g(t=-(t-2a +(a>0 , t -, t =-時,取最小值:-2a -2a -當 2a 時, t =,取最大值:-2a +2a -;當 0<2a 時, t =2a ,取最大值:。 f(x的最小值為-2a -2a -,最大值為 ?！咀ⅰ看祟}屬于局部換元法, 設 sinx +cosx =t 后, 抓住 sinx +cosx 與 s

22、inx?cosx 的內(nèi)在聯(lián)系,將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) 在閉區(qū)間上的值域問題, 使得容易求解。 換元過程中一定要注意新的 參數(shù)的范圍(t -, 與 sinx +cosx 對應,否則將會出錯。本題 解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法, 即由對稱軸與 閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地,在遇到題目已知和未知中含有 sinx 與 cosx 的和、差、積 等而求三角式的最大值和最小值的題型時,即函數(shù)為 f(sinx±cosx , sinxcsox ,經(jīng)常用到這樣設元的換元法,轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次 函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例 4. 設對所于有實數(shù) x ,

23、不等式 x log +2x log +log >0恒成立,求 a 的取值范圍。 (87年全國理【分析】不等式中 log 、 log 、 log 三項有何聯(lián)系?進行對數(shù) 式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn),再實施換元法?！窘狻?設 log =t, 則 log =log =3+log =3-log = 3-t , log =2log =-2t ,代入后原不等式簡化為 (3-t x +2tx -2t>0, 它對一切實數(shù) x 恒成立,所以:,解得 t<0即 log <00<<1,解得 0<a<1。【注】應用局部換元法,起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么 會想到換

24、元及如何設元,關鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中 log 、 log 、 log 三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時,使用了“判別 式法” 。另外,本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地,解指數(shù)與對 數(shù)的不等式、方程,有可能使用局部換元法,換元時也可能要對所給 的已知條件進行適當變形, 發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元, 這是我們思 考解法時要注意的一點。例 5. 已知 =,且 +=(式 ,求 的值?！窘狻?設 =k ,則 sin =kx , cos =ky ,且 sin +cos =k (x+y =1, 代入式得:+=即:+=設 =t ,則 t +=, 解得:t =3或 =±或±【另解】

25、由 =tg ,將等式兩邊同時除以 ,再表示成含 tg 的式子:1+tg =tg ,設 tg =t ,則 3t 10t +3= 0, t =3或 , 解得 =±或±?！咀ⅰ?第一種解法由 =而進行等量代換,進行換元,減少了變量 的個數(shù)。第二種解法將已知變形為 =,不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為 tg , 再進行換元和變形。 兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。 在解高次方程 時,都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例 6. 實數(shù) x 、 y 滿足 +=1,若 x +y -k>0恒成立,求 k 的范 圍?！痉治觥?由已知條件 +=1, 可以發(fā)現(xiàn)它與 a +b =1有相似之處, 于是實施三角換元。

26、【解】由 +=1,設 =cos , =sin ,即:代入不等式 x +y -k>0得:3cos +4sin -k>0, 即 k<3cos+4sin =5sin(+ 所以 k<-5時不等式恒成立。【注】本題進行三角換元,將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題化為 了含參三角不等式恒成立的問題,再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角 函數(shù)的值域問題,從而求出參數(shù)范圍。一般地,在遇到與圓、橢圓、 雙曲線的方程相似的代數(shù)式時, 或者在解決圓、 橢圓、雙曲線等有關 問題時,經(jīng)常使用“三角換元法” 。yxx +y -k>0k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法:在平面直角坐

27、標 系,不等式 ax +by +c>0(a>0所表示的區(qū)域為直線 ax +by +c =0所分平面成兩部分中含 x 軸正方向的一部分。此題不等式恒 成立問題化為圖形問題:橢圓上的點始終位于平面上 x +y -k>0的區(qū)域。即當直線 x +y -k =0在與橢圓下部相切的切線之下時。當 直線與橢圓相切時,方程組 有相等的一組實數(shù)解,消元后由=0可求得 k =-3, 所以 k<-3時原不等式恒成 立。、鞏固性題組:1. 已知 f(x =lgx (x>0,則 f(4的值為 _。A. 2lg2B. lg2C. lg2D. lg42. 函數(shù) y =(x+1 +2的單調(diào)增區(qū)間

28、是 _。A. -2,+ B. -1,+ D. (- ,+ C. (- ,-1 3. 設等差數(shù)列 a的公差 d =, 且 S =145, 則 a +a +a +a 的值為 _。A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54. 已知 x +4y =4x ,則 x +y 的范圍是 _。5. 已知 a 0, b 0, a +b =1,則 +的范圍是 _。6. 不等式 >ax+的解集是 (4,b, 則 a =_, b =_。7. 函數(shù) y =2x +的值域是 _。8. 在等比數(shù)列 a中, a +a +a =2, a +a +a =12, 求 a +a +a 。y D CA BO x9. 實數(shù)

29、m 在什么范圍內(nèi)取值, 對任意實數(shù) x , 不等式 sin x +2mcosx +4m -1<0恒成立。10. 已 知 矩 形 ABCD , 頂 點 C(4,4, A 點 在 曲 線 x +y =2 (x>0,y>0上移動,且 AB 、 AD 始終平行 x 軸、 y 軸,求矩形 ABCD 的最小面積。三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關系, 設出某些未知系數(shù), 然后根據(jù)所給條件來 確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法,其理論依據(jù)是多項式恒等, 也就是利用了多項式 f(xg(x的充要條件是:對于一個任意的 a 值,都有 f(ag(a;或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。待定系數(shù)法

30、解題的關鍵是依據(jù)已知, 正確列出等式或方程。 使用待定 系數(shù)法, 就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題, 通過引入一些待定的 系數(shù), 轉(zhuǎn)化為方程組來解決, 要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解, 主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式, 如果具 有, 就可以用待定系數(shù)法求解。 例如分解因式、 拆分分式、 數(shù)列求和、 求函數(shù)式、 求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定 的數(shù)學表達形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是:第一步,確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式;第二步,根據(jù)恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程;第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而

31、使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程,主要從以下幾方面著手分析: 利用對應系數(shù)相等列方程; 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程; 利用定義本身的屬性列方程; 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時, 我們可以用待定系數(shù)法求方程:首先設 所求方程的形式, 其中含有待定的系數(shù); 再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求 方程未知系數(shù)的方程或方程組; 最后解所得的方程或方程組求出未知 的系數(shù),并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式,得到所求圓錐曲線的方 程。、再現(xiàn)性題組:1. 設 f(x=+m , f(x的反函數(shù) f (x=nx -5,那么 m 、 n 的值依 次為 _。A. , -2B. -, 2C. ,

32、 2D. -,-2 2. 二次不等式 ax +bx +2>0的解集是 (-, ,則 a +b 的值是 _。A. 10B. -10C. 14D. -143. 在 (1-x (1+x 的展開式中, x 的系數(shù)是 _。 A. -297B. -252C. 297D. 2074. 函數(shù) y =a -bcos3x (b<0的最大值為 ,最小值為-,則 y =-4asin3bx 的最小正周期是 _。5. 與直線 L :2x +3y +5=0平行且過點 A(1,-4的直線 L 的方程 是 _。6. 與雙曲線 x -=1有共同的漸近線,且過點 (2,2的雙曲線的方 程是 _。【簡解】 1小題:由 f

33、(x=+m 求出 f (x=2x -2m ,比較系數(shù)易 求,選 C ;2小題:由不等式解集 (-, ,可知-、 是方程 ax +bx +2=0的兩根,代入兩根,列出關于系數(shù) a 、 b 的方程組,易求得 a +b ,選 D ;3小題:分析 x 的系數(shù)由 C 與 (-1C 兩項組成,相加后得 x 的系 數(shù),選 D ;4小題:由已知最大值和最小值列出 a 、 b 的方程組求出 a 、 b 的值, 再代入求得答案 ;5小題:設直線 L 方程 2x +3y +c =0,點 A(1,-4代入求得 C = 10,即得 2x +3y +10=0;6小題:設雙曲線方程 x -=,點 (2,2代入求得=3,即得

34、方 程 -=1。、示范性題組:例 1. 已知函數(shù) y =的最大值為 7,最小值為-1,求此函數(shù)式。 【分析】求函數(shù)的表達式,實際上就是確定系數(shù) m 、 n 的值;已知最 大值、 最小值實際是就是已知函數(shù)的值域, 對分子或分母為二次函數(shù) 的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法” ?！窘狻?函數(shù)式變形為:(y-mx -4x +(y-n =0, x R, 由 已知得 y -m 0 =(-4 -4(y-m(y-n 0即:y -(m+ny +(mn-12 0不等式的解集為 (-1,7,則-1、 7是方程 y -(m+ny +(mn-12 =0的兩根,代入兩根得:解得:或 y =或者 y =此題也可由解集 (

35、-1,7而設 (y+1(y-7 0, 即 y -6y -7 0, 然后 與不等式比較系數(shù)而得:,解出 m 、 n 而求得函數(shù)式 y ?！咀ⅰ?在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù) m 、 n 需要確定,首先用“判別 式法” 處理函數(shù)值域問題, 得到了含參數(shù) m 、 n 的關于 y 的一元二次 不等式,且知道了它的解集,求參數(shù) m 、 n 。兩種方法可以求解,一 是視為方程兩根, 代入后列出 m 、 n 的方程求解; 二是由已知解集寫 出不等式, 比較含參數(shù)的不等式而列出 m 、 n 的方程組求解。 本題要 求對一元二次不等式的解集概念理解透徹, 也要求理解求函數(shù)值域的 “判別式法” :將 y 視為參數(shù),函

36、數(shù)式化成含參數(shù) y 的關于 x 的一元 二次方程,可知其有解,利用 0, 建立了關于參數(shù) y 的不等式,解 出 y的范圍就是值域,使用“判別式法”的關鍵 是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例 2. 設橢圓中心在 (2,-1, 它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直, 且此焦點與長軸較近的端點距離是 -,求橢圓的方程。y B xA F O F A B【分析】求橢圓方程,根據(jù)所給條件,確定幾何數(shù)據(jù) a 、 b 、 c 之值, 問題就全部解決了。設 a 、 b 、 c 后,由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股 定理建立一個方程,再將焦點與長軸較近端點的距離轉(zhuǎn)化為 a -c 的 值后列出第二個方程?！窘狻?設橢圓

37、長軸 2a 、短軸 2b 、焦距 2c ,則 |BF |=a 解得: 所求橢圓方程是:+=1也可有垂直關系推證出等腰 Rt BB F 后,由其性質(zhì)推證出等腰 Rt B O F ,再進行如下列式:,更容易求出 a 、 b 的值。 【注】 圓錐曲線中,參數(shù)(a 、 b 、 c 、 e 、 p 的確定,是待定系數(shù) 法的生動體現(xiàn);如何確定,要抓住已知條件,將其轉(zhuǎn)換成表達式。在 曲線的平移中,幾何數(shù)據(jù)(a 、 b 、 c 、 e 不變,本題就利用了這一 特征,列出關于 a -c 的等式。一般地, 解析幾何中求曲線方程的問題,大部分用待定系數(shù)法, 基本 步驟是:設方程(或幾何數(shù)據(jù) 幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已

38、知 系數(shù)代入。例 3. 是否存在常數(shù) a 、 b 、 c ,使得等式 1?2+2?3+n(n+1 =(an+bn +c 對一切自然數(shù) n 都成立?并證明你的結(jié)論。 (89年全國高考題【分析】 是否存在, 不妨假設存在。 由已知等式對一切自然數(shù) n 都成 立,取特殊值 n =1、 2、 3列出關于 a 、 b 、 c 的方程組,解方程組 求出 a 、 b 、 c 的值,再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù) n 都成 立?！窘狻考僭O存在 a 、 b 、 c 使得等式成立,令:n =1,得 4=(a+b +c ; n =2,得 22=(4a+2b +c ; n =3,得 70=9a +3b +c 。

39、整理得:, 解得 ,于是對 n =1、 2、 3, 等式 1?2+2?3+n(n+1 =(3n+11n +10 成立, 下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù) n , 該等式都成立:假設對 n =k 時等式成立, 即 1?2+2?3+k(k+1 =(3k+ 11k +10 ;當 n =k +1時, 1?2+2?3+k(k+1 +(k+1(k+2 =(3k +11k +10 +(k+1(k+2 =(k+2 (3k +5 +(k+1(k+2 = (3k +5k +12k +24=3(k+1 +11(k+1 +10,也就是說,等式對 n =k +1也成立。綜上所述, 當 a =8、 b =11、 c =1

40、0時, 題設的等式對一切自然數(shù) n 都成立。【注】建立關于待定系數(shù)的方程組,在于由幾個特殊值代入而得到。 此種解法中, 也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。 對于是否存在性問題待 定系數(shù)時,可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本 題如果記得兩個特殊數(shù)列 1+2+n 、 1+2+n 求和的公式, 也可以抓住通項的拆開,運用數(shù)列求和公式而直接求解:由 n(n+1 =n +2n +n 得 S =1?2+2?3+n(n+1 =(1+2+ +n +2(1+2+n +(1+2+n =+2×+=(3n +11n +10 ,綜上所述,當 a =8、 b =11、 c =10時,題設的等式 對一切

41、自然數(shù) n 都成立。例 4. 有矩形的鐵皮,其長為 30cm ,寬為 14cm ,要從四角上剪掉 邊長為 xcm 的四個小正方形, 將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子, 問 x 為何值時,矩形盒子容積最大,最大容積是多少?【分析】實際問題中,最大值、最小值的研究,先由已知條件選取合 適的變量建立目標函數(shù), 將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研 究?！窘狻?依題意,矩形盒子底邊邊長為 (30-2xcm ,底邊寬為 (14-2xcm ,高為 xcm 。 盒子容積 V =(30-2x(14-2xx =4(15-x(7-xx ,顯然 :15-x>0, 7-x>0, x>0。設 V =

42、(15a-ax(7b-bxx (a>0,b>0要使用均值不等式,則解得:a =, b =, x =3。從而 V =(-(-xx ( =×27=576。所以當 x =3時,矩形盒子的容積最大,最大容積是 576cm 。 【注】 均值不等式應用時要注意等號成立的條件, 當條件不滿足時要 湊配系數(shù), 可以用 “待定系數(shù)法” 求。 本題解答中也可以令 V =(15a -ax(7-xbx 或 (15-x(7a-axbx , 再由使用均值不等式的最 佳條件而列出方程組, 求出三項該進行湊配的系數(shù), 本題也體現(xiàn)了 “湊 配法”和“函數(shù)思想” 。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =log x

43、 的 x 2,+ 上恒有 |y|>1,則 a 的取值范圍 是 _。A. 2>a>且 a 1B. 0<a<或 1<a<2C.1<a<2D. a>2或 0<a<2. 方程 x +px +q =0與 x +qx +p =0只有一個公共根,則其余 兩個不同根之和為 _。A. 1B. -1C. p +q D. 無法 確定3. 如果函數(shù) y =sin2x +a?cos2x 的圖像關于直線 x =-對稱,那 么 a =_。A. B. -C. 1D. -14. 滿足 C +1?C +2?C +n?C <500的最大正整數(shù)是 _。 A

44、. 4B. 5C. 6D. 75. 無窮等比數(shù)列 a的前 n 項和為 S =a -, 則所有項的和等于 _。A. -B. 1C. D. 與 a 有關 6. (1+kx =b +b x +b x +b x ,若 b +b +b +b =-1,則 k =_。7. 經(jīng)過兩直線 11x -3y -9=0與 12x +y -19=0的交點, 且過點 (3,-2的直線方程為 _。8. 正三棱錐底面邊長為 2,側(cè)棱和底面所成角為 60°,過底面一邊 作截面,使其與底面成 30°角,則截面面積為 _。 9. 設 y =f(x是一次函數(shù),已知 f(8=15, 且 f(2、 f(5、 (f14

45、成等 比數(shù)列,求 f(1+f(2+f(m的值。10. 設拋物線經(jīng)過兩點 (-1,6和 (-1,-2,對稱軸與 x 軸平行,開口向右,直線 y =2x +7和拋物線截得的 線段長是 4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法,就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì) 和法則等, 都是由定義和公理推演出來。 定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯 方法,它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果, 它科學地反映和揭示了客觀世界的 事物的本質(zhì)特點。 簡單地說, 定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。 用定義法解題,是最直接的方法,本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組:1.

46、已知集合 A 中有 2個元素,集合 B 中有 7個元素, A B 的元素 個數(shù)為 n ,則 _。A. 2 n 9B. 7 n 9C. 5 n 9D. 5 n 7 2. 設 MP 、 OM 、 AT 分別是 46°角的正弦線、余弦線和正切線,則 _。A. MP<OM<ATB. OM<MP<ATC. AT<<OM<MPD. OM<AT<MP3. 復數(shù) z =a +2i, z =-2+i,如果 |z|<|z|,則實數(shù) a 的 取值范圍是 _。A. -1<a<1B. a>1C. a>0D. a< -1或

47、 a>14. 橢圓 +=1上有一點 P ,它到左準線的距離為 ,那么 P 點到右 焦點的距離為 _。A. 8C. 7.5C. D. 35. 奇函數(shù) f(x的最小正周期為 T ,則 f(- 的值為 _。 A. T B. 0C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側(cè)棱與底面成 45°角,則其側(cè)面與底面所成角的正 切值為 _。【簡解】 1小題:利用并集定義,選 B ;2小題:利用三角函數(shù)線定義,作出圖形,選 B ;3小題:利用復數(shù)模的定義得 <,選 A ;4小題:利用橢圓的第二定義得到 =e =,選 A ;5小題:利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到 f(- =f( =-f(- , 選

48、B ;6小題:利用線面角、面面角的定義,答案 2。、示范性題組:例 1. 已知 z =1+i, 設 w =z +3-4,求 w 的三角形式; 如果 =1-i,求實數(shù) a 、 b 的值。 (94年全國理【分析】 代入 z 進行運算化簡后, 運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定 義解答。【解】由 z =1+i,有 w =z +3-4=(1+i +3-4=2i+ 3(1-i -4=-1-i, w 的三角形式是 (cos +i sin ; 由 z =1+i,有 =(a+2 -(a+b i。由題設條件知:(a+2 -(a+b i=1+i;根據(jù)復數(shù)相等的定義,得:,解得 。【注】求復數(shù)的三角形式,一般直接利用復

49、數(shù)的三角形式定義求解。 利用復數(shù)相等的定義,由實部、 虛部分別相等而建立方程組, 這是復 數(shù)中經(jīng)常遇到的。例 2. 已知 f(x=-x +cx , f(2=-14, f(4=-252, 求 y =log f(x的定義域,判定在 (,1 上的單調(diào)性?！痉治觥?要判斷函數(shù)的單調(diào)性, 必須首先確定 n 與 c 的值求出函數(shù)的 解析式,再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷?！窘狻?解得: f(x=-x +x 解 f(x>0得:0<x<1設 <x<x<1, 則 f(x -f(x =-x +x-(-x +x =(x -x 1-(x+x(x +x, x +x>, x +x&g

50、t; (x+x(x +x ×= 1 f(x -f(x>0即 f(x在 (,1 上是減函數(shù) <1 y =log f(x在 (,1 上是增函數(shù)。A ADC CO HB B【注】關于函數(shù)的性質(zhì):奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷,一般都是 直接應用定義解題。本題還在求 n 、 c 的過程中,運用了待定系數(shù)法和換元法。例 3. 如圖,已知 A B C ABC 是正三棱柱, D 是 AC 中點。 證明:AB 平面 DBC ; 假設 AB BC , 求二面角 D BC C 的度數(shù)。 (94年全國理 【分析】 由線面平行的定義來證問, 即通過證 AB 平行平面 DBC 內(nèi)的一條直線而得; 由

51、二面角的平面角的定義作出平面角, 通過解三 角形而求問。【解】 連接 B C 交 BC 于 O, 連接 OD A B C ABC 是正三棱柱 四邊形 B BCC 是矩形 O 是 B C 中點 AB C 中, D 是 AC 中點 AB OD AB 平面 DBC 作 DH BC 于 H ,連接 OH DH 平面 BC C AB OD, AB BC BC OD BC OH 即 DOH 為所求二面角的平面角。設 AC =1, 作 OE BC 于 E , 則 DH =sin60°=, BH =, EH =; Rt BOH 中, OH =BH ×EH =, OH =DH DOH =45

52、°,即二面角 D BC C 的 度數(shù)為 45°。【注】對于二面角 D BC C 的平面角,容易誤認為 DOC 即所 求。利用二面角的平面角定義,兩邊垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂線 DH ,再證得垂直于棱的垂線 DO ,最后連接 兩個垂足 OH ,則 DOH 即為所求,其依據(jù)是三垂線定理。本題還 要求解三角形十分熟練,在 Rt BOH 中運用射影定理求 OH 的長是 計算的關鍵。此題文科考生的第二問為:假設 AB BC , BC =2,求 AB 在側(cè) 面 BB C C 的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義, 先作平面的垂線,連接垂足和斜足而得到射影

53、。其解法如下:作 AE BC 于 E ,連接 B E 即所求,易得到 OE B B ,所以 =, EF =B E 。在 Rt B BE 中,易得到 BF BE, 由射影定理得:B E ×EF =BE 即 B E =1,所以 B E =。yM FA x例 4. 求過定點 M(1,2,以 x 軸為準線,離心率為 的橢圓的下頂點 的軌跡方程?！痉治觥窟\動的橢圓過定點 M ,準線固定為 x 軸,所以 M 到準線距 離為 2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義,可以得到 =建立一個方程, 再由離心率的定義建立一個方程?！窘狻吭O A(x,y、 F(x,m,由 M(1,2,則橢圓上定點 M 到準線距離 為

54、2,下頂點 A 到準線距離為 y 。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的 定義,得到:,消 m 得:(x -1 +=1,所以橢圓下頂點的軌跡方程為(x -1 +=1?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程,按照求曲線軌跡方程的步驟,設曲線上動 點所滿足的條件, 根據(jù)條件列出動點所滿足的關系式, 進行化簡即可 得到。本題還引入了一個參數(shù) m, 列出的是所滿足的方程組,消去參 數(shù) m 就得到了動點坐標所滿足的方程,即所求曲線的軌跡方程。在 建立方程組時, 巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。 一 般地, 圓錐曲線的點、 焦點、 準線、 離心率等問題, 常用定義法解決; 求圓錐曲線的方程, 也總是利用圓錐曲線的定

55、義求解, 但要注意橢圓、 雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =f(x=a +k 的圖像過點 (1,7,它的反函數(shù)的圖像過 點 (4,0,則 f(x的表達式是 _。2. 過拋物線焦點 F 的直線與拋物線相交于 A 、 B 兩點, 若 A 、 B 在拋 物線準線上的射影分別為 A 、 B , 則 A FB 等于 _。A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 已知 A =0,1, B =x|xA,則下列關系正確的是 _。 A. A B B. A B C. A B D. A B4. 雙曲線 3x -y =3的漸近線方

56、程是 _。A. y =±3x B. y =±x C. y =±x D. y =±x 5. 已知定義在 R 上的非零函數(shù) f(x滿足 f(x+y =f(x+f(y, 則 f(x是 _。A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既奇既偶函數(shù)6. C +C =_。7. Z =4(sin140°-i cos140° , 則 復 數(shù) 的 輻 角 主 值 是 _。8. 不等式 ax +bx +c>0的解集是 (1,2,則不等式 bx +cx + a<0解集是 _。9. 已知數(shù)列 a是等差數(shù)列,求證數(shù)列 b也是等差數(shù)列,其中 b = (a+a +a 。10. 已知 F 、 F 是橢圓 +=1(a>b>0的兩個焦點,其中 F 與拋物線 y =1