版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、高中數(shù)學解題思想方法全部內(nèi)容第一章 高中數(shù)學解題基本方法一、 配方法配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方” 的技巧, 通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡。何時配方, 需要我 們適當預測,并且合理運用“裂項”與“添項” 、 “配”與“湊”的技 巧,從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法” 。最常見的配方是進行恒等變形, 使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。 它主要適 用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次 代數(shù)式的討論與求解,或者缺 xy 項的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式 (a+b =a + 2ab +b ,將這個公式靈
2、活運用,可得到各種基本配方形式,如: a +b =(a+b -2ab =(a-b +2ab ;a +ab +b =(a+b -ab =(a-b +3ab =(a+ +(b ; a +b +c +ab +bc +ca =(a+b +(b+c +(c+a a +b +c =(a+b +c -2(ab+bc +ca =(a+b -c -2(ab-bc -ca =結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì),相應有另外的一些配方形式,如:1+sin2=1+2sin cos =(sin +cos ;x +=(x+ -2=(x- +2; 等等。、再現(xiàn)性題組:1. 在正項等比數(shù)列 a中, a ?a +2a?a +a?a =25,
3、則 a +a = _。2. 方程 x +y -4kx -2y +5k =0表示圓的充要條件是 _。 A. <k<1B. k<或 k>1C. k R D. k =或 k =13. 已知 sin +cos =1,則 sin +cos 的值為 _。 A. 1B. -1C. 1或-1D. 0 4. 函數(shù) y =log (-2x +5x +3 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _。 A. (- , B. ,+ C. (-, D. ,3 5. 已知方程 x +(a-2x+a-1=0的兩根 x 、 x ,則點 P(x,x 在圓 x +y=4上,則實數(shù) a =_?!竞喗狻?1小題:利用等比數(shù)列性質(zhì) a
4、 a =a , 將已知等式左邊后 配方(a +a 易求。答案是:5。2小題:配方成圓的標準方程形式 (x-a +(y-b =r , 解 r >0即可,選 B 。3小題:已知等式經(jīng)配方成 (sin+cos -2sin cos =1, 求出 sin cos ,然后求出所求式的平方值,再開方求解。選 C 。 4小題:配方后得到對稱軸,結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單 調(diào)性求解。選 D 。5小題:答案 3-。、示范性題組:例 1. 已知長方體的全面積為 11,其 12條棱的長度之和為 24,則 這個長方體的一條對角線長為 _。A. 2B. C. 5D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式:設長方體
5、長寬高分別為 x,y,z , 則 , 而欲求對角線長 ,將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】 設長方體長寬高分別為 x,y,z , 由已知 “長方體的全面積為 11, 其 12條棱的長度之和為 24”而得:。長方體所求對角線長為:=5所以選 B 。【注】 本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表 示式, 觀察和分析三個數(shù)學式, 容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進 行聯(lián)系, 即聯(lián)系了已知和未知, 從而求解。這也是我們使用配方法的 一種解題模式。例 2. 設方程 x +kx +2=0的兩實根為 p 、 q ,若 ( +( 7成立, 求實數(shù) k 的取值范圍?!窘狻糠匠?x +kx +
6、2=0的兩實根為 p 、 q ,由韋達定理得:p +q =-k , pq =2,( +( = 7, 解得 k -或 k 。又 p 、 q 為方程 x +kx +2=0的兩實根, =k -8 0即 k 2或 k -2綜合起來, k 的取值范圍是:- k -或者 k ?!咀ⅰ?關于實系數(shù)一元二次方程問題, 總是先考慮根的判別式 “” ; 已知方程有兩根時,可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到 p +q 、 pq 后,觀察已知不等式,從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方, 表示成 p +q 與 pq 的組合式。假如本題不對“”討論,結(jié)果將出 錯,即使有些題目可能結(jié)果相同,去掉對“”的討論,但解答是不
7、嚴密、不完整的,這一點我們要尤為注意和重視。例 3. 設非零復數(shù) a 、 b 滿足 a +ab +b =0,求 ( +( ?!痉治觥?對已知式可以聯(lián)想:變形為 ( +( +1=0,則 =(為 1的立方虛根 ;或配方為 (a+b =ab 。則代入所求式即得。 【解】由 a +ab +b =0變形得:( +( +1=0,設=,則+1=0,可知為 1的立方虛根,所以:=, =1。又由 a +ab +b =0變形得:(a+b =ab ,所以 ( +( =( +( =( +( =+=2?!咀ⅰ?本題通過配方,簡化了所求的表達式;巧用 1的立方虛根, 活用的性質(zhì),計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程,
8、有較大 的靈活性,要求我們善于聯(lián)想和展開?!玖斫狻?由 a +ab +b =0變形得:( +( +1=0, 解出 =后,化成三角形式,代入所求表達式的變形式 ( +( 后,完成后面的運 算。此方法用于只是未 聯(lián)想到時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時,還可由 a +ab +b =0解出:a =b ,直接代入所求表達式,進行分式化簡后,化成復數(shù)的 三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的計算。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =(x-a +(x-b (a 、 b 為常數(shù)的最小值為 _。 A. 8B. C. D. 最小值不存在2. 、 是方程 x -2ax +a +6=0的兩實根, 則 (-1
9、+(-1 的最小值是 _。A. -B. 8C. 18D. 不存在3. 已知 x 、 y R , 且滿足 x +3y -1=0, 則函數(shù) t =2+8有 _。 A. 最大值 2B. 最大值 C. 最小值 2B. 最小值 4. 橢圓 x -2ax +3y +a -6=0的一個焦點在直線 x +y +4=0上,則a =_。A. 2B. -6C. -2或-6D. 2或 6 5. 化簡:2+的結(jié)果是 _。A. 2sin4B. 2sin4-4cos4C. -2sin4D.4cos4-2sin46. 設 F 和 F 為雙曲線 -y =1的兩個焦點,點 P 在雙曲線上且滿 足 F PF =90°,則
10、 F PF 的面積是 _。7. 若 x>-1,則 f(x=x +2x +的最小值為 _。8. 已知 < , cos(- =, sin(+ =-, 求 sin2的值。 (92年高考題 9. 設二次函數(shù) f(x=Ax +Bx +C ,給定 m 、 n (m<n , 且滿足 A (m+n+m n +2AB(m+n-Cmn+B +C =0。 解不等式 f(x>0; 是否存在一個實數(shù) t ,使當 t (m+t,n-t時, f(x<0?若不存 在,說出理由;若存在,指出 t 的取值范圍。10. 設 s>1, t>1, m R , x =log t +log s ,
11、 y =log t +log s +m(logt +log s, 將 y 表示為 x 的函數(shù) y =f(x,并求出 f(x的定義域; 若關于 x 的方程 f(x=0有且僅有一個實根,求 m 的取值范圍。 二、換元法解數(shù)學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它, 從而 使問題得到簡化, 這叫換元法。 換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關鍵是構(gòu)造元和 設元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對 象的知識背景中去研究, 從而使非標準型問題標準化、 復雜問題簡單 化,變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、 變量代換法。 通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來, 隱含的條件顯露出來, 或者
12、把條件與結(jié)論聯(lián)系起 來。或者變?yōu)槭煜さ男问?把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、 化無理式為有理式、化超越式 為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛 的應用。換元的方法有:局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整 體換元, 是在已知或者未知中, 某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母 來代替它從而簡化問題, 當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。 例如解不 等式:4+2-2 0,先變形為設 2=t (t>0 ,而變?yōu)槭煜さ?一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。三角換元, 應用于去根號,或者變換為三角形式易求時,主要利用已 知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)
13、系進行換元。如求函數(shù) y =+的 值域時,易發(fā)現(xiàn) x 0,1,設 x =sin , 0,問題變成了 熟悉的求三角函數(shù)值域。 為什么會想到如此設, 其中主要應該是發(fā)現(xiàn) 值域的聯(lián)系,又有去根號的需要。如變量 x 、 y 適合條件 x +y =r (r>0時,則可作三角代換 x =rcos 、 y =rsin 化為三角問 題。均值換元,如遇到 x +y =S 形式時,設 x =+t , y =-t 等等。 我們使用換元法時,要遵循有利于運算、有利于標準化的原則, 換元 后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍, 不能縮小也不能擴大。如上幾例中的 t>0和 0,。
14、、再現(xiàn)性題組:1.y =sinx?cosx +sinx+cosx的最大值是 _。2. 設 f(x+1 =log (4-x (a>1 , 則 f(x的 值 域 是 _。3. 已知數(shù)列 a中, a =-1, a ?a =a -a ,則數(shù)列通項 a = _。4. 設實數(shù) x 、 y 滿足 x +2xy -1=0,則 x +y 的取值范圍是 _。5. 方程 =3的解是 _。6. 不等式 log (2-1 ?log (2-2 2的解集是 _。 【簡解】 1小題:設 sinx+cosx=t -, ,則 y =+t -,對稱 軸 t =-1,當 t =, y =+;2小題:設 x +1=t (t 1
15、,則 f(t=log -(t-1+4,所以值域 為 (- ,log 4;3小題:已知變形為 -=-1, 設 b =,則 b =-1,b =-1+(n -1(-1=-n ,所以 a =-;4小題:設 x +y =k ,則 x -2kx +1=0, =4k -4 0, 所以 k 1或 k -1;5小題:設 3=y ,則 3y +2y -1=0, 解得 y =,所以 x =-1;6小題:設 log (2-1 =y ,則 y(y+1<2,解得-2<y<1, 所以 x (log,log 3 。、示范性題組:例 1. 實數(shù) x 、 y 滿足 4x -5xy +4y =5(式 , 設 S
16、=x + y ,求 +的值。 (93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題【分析】 由 S =x +y 聯(lián)想到 cos +sin =1, 于是進行三角換 元,設 代入式求 S 和 S 的值?!窘狻吭O 代入式得:4S -5S?sin cos =5解得 S =; -1 sin2 1 3 8-5sin2 13 +=+=此種解法后面求 S 最大值和最小值, 還可由 sin2=的有界性而求, 即解不等式:| 1。 這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的 “有界法” 。 【另解】 由 S =x +y ,設 x =+t , y =-t , t -, , 則 xy =±代入式得:4S ±5=5,移項平方整理得 1
17、00t +39S-160S +100=0。 39S -160S +100 0解得: S +=+=【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法” ,主要是利用已知條件 S =x +y 與三角公式 cos +sin =1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三 角換元, 將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。 第二種解法屬于“均 值換元法” , 主要是由等式 S =x +y 而按照均值換元的思路, 設 x =+t 、 y =-t ,減少了元的個數(shù),問題且容易求解。另外,還用到 了求值域的幾種方法:有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。 和“均值換元法”類似,我們還有一種換元法,即在題中有兩個變量 x 、 y 時,可以設 x =a
18、 +b , y =a -b ,這稱為“和差換元法” ,換元 后有可能簡化代數(shù)式。本題設 x =a +b , y =a -b ,代入式整理得 3a +13b =5,求得 a 0,所以 S =(a-b +(a+b =2(a +b =+a , ,再求 +的值。例 2. ABC 的三個內(nèi)角 A 、 B 、 C 滿足:A +C =2B , +=-,求 cos 的值。 (96年全國理【分析】 由已知“ A +C =2B ”和“三角形內(nèi)角和等于 180°”的 性質(zhì),可得 ;由“ A +C =120°”進行均值換元,則設 ,再代 入可求 cos 即 cos ?!窘狻坑?ABC 中已知 A
19、+C =2B ,可得 ,由 A +C =120°,設 ,代入已知等式得:+=+=+=-2,解得:cos =, 即:cos =。【另解】由 A +C =2B ,得 A +C =120°, B =60°。所以 +=-=-2,設 =-+m , =-m ,所以 cosA =, cosC =,兩式分別相加、相減得:cosA +cosC =2cos cos =cos =,cosA -cosC =-2sin sin =-sin =,即:sin =-, =-, 代入 sin +cos =1整理得:3m -16m -12=0, 解出 m =6,代入 cos =。【注】 本題兩種解法
20、由“ A +C =120°” 、 “ +=-2”分別進行 均值換元, 隨后結(jié)合三角形角的關系與三角公式進行運算, 除由已知 想到均值換元外, 還要求對三角公式的運用相當熟練。 假如未想到進 行均值換元,也可由三角運算直接解出:由 A +C =2B ,得 A +C = 120°, B =60°。所以 +=-=-2,即 cosA +cosC =-2 cosAcosC ,和積互化得:2cos cos =-cos(A+C+cos(A-C,即 cos =-cos(A-C =-(2cos-1 ,整理得:4cos +2cos -3=0,解得:cos =y, ,-x例 3. 設
21、a>0,求 f(x=2a(sinx+cosx -sinx?cosx -2a 的最 大值和最小值?!窘狻?設 sinx +cosx =t ,則 t -, ,由 (sinx+cosx =1+2sinx?cosx 得:sinx?cosx = f(x=g(t=-(t-2a +(a>0 , t -, t =-時,取最小值:-2a -2a -當 2a 時, t =,取最大值:-2a +2a -;當 0<2a 時, t =2a ,取最大值:。 f(x的最小值為-2a -2a -,最大值為 ?!咀ⅰ看祟}屬于局部換元法, 設 sinx +cosx =t 后, 抓住 sinx +cosx 與 s
22、inx?cosx 的內(nèi)在聯(lián)系,將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) 在閉區(qū)間上的值域問題, 使得容易求解。 換元過程中一定要注意新的 參數(shù)的范圍(t -, 與 sinx +cosx 對應,否則將會出錯。本題 解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法, 即由對稱軸與 閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地,在遇到題目已知和未知中含有 sinx 與 cosx 的和、差、積 等而求三角式的最大值和最小值的題型時,即函數(shù)為 f(sinx±cosx , sinxcsox ,經(jīng)常用到這樣設元的換元法,轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次 函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例 4. 設對所于有實數(shù) x ,
23、不等式 x log +2x log +log >0恒成立,求 a 的取值范圍。 (87年全國理【分析】不等式中 log 、 log 、 log 三項有何聯(lián)系?進行對數(shù) 式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn),再實施換元法?!窘狻?設 log =t, 則 log =log =3+log =3-log = 3-t , log =2log =-2t ,代入后原不等式簡化為 (3-t x +2tx -2t>0, 它對一切實數(shù) x 恒成立,所以:,解得 t<0即 log <00<<1,解得 0<a<1。【注】應用局部換元法,起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么 會想到換
24、元及如何設元,關鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中 log 、 log 、 log 三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時,使用了“判別 式法” 。另外,本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地,解指數(shù)與對 數(shù)的不等式、方程,有可能使用局部換元法,換元時也可能要對所給 的已知條件進行適當變形, 發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元, 這是我們思 考解法時要注意的一點。例 5. 已知 =,且 +=(式 ,求 的值?!窘狻?設 =k ,則 sin =kx , cos =ky ,且 sin +cos =k (x+y =1, 代入式得:+=即:+=設 =t ,則 t +=, 解得:t =3或 =±或±【另解】
25、由 =tg ,將等式兩邊同時除以 ,再表示成含 tg 的式子:1+tg =tg ,設 tg =t ,則 3t 10t +3= 0, t =3或 , 解得 =±或±?!咀ⅰ?第一種解法由 =而進行等量代換,進行換元,減少了變量 的個數(shù)。第二種解法將已知變形為 =,不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為 tg , 再進行換元和變形。 兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。 在解高次方程 時,都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例 6. 實數(shù) x 、 y 滿足 +=1,若 x +y -k>0恒成立,求 k 的范 圍?!痉治觥?由已知條件 +=1, 可以發(fā)現(xiàn)它與 a +b =1有相似之處, 于是實施三角換元。
26、【解】由 +=1,設 =cos , =sin ,即:代入不等式 x +y -k>0得:3cos +4sin -k>0, 即 k<3cos+4sin =5sin(+ 所以 k<-5時不等式恒成立。【注】本題進行三角換元,將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題化為 了含參三角不等式恒成立的問題,再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角 函數(shù)的值域問題,從而求出參數(shù)范圍。一般地,在遇到與圓、橢圓、 雙曲線的方程相似的代數(shù)式時, 或者在解決圓、 橢圓、雙曲線等有關 問題時,經(jīng)常使用“三角換元法” 。yxx +y -k>0k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法:在平面直角坐
27、標 系,不等式 ax +by +c>0(a>0所表示的區(qū)域為直線 ax +by +c =0所分平面成兩部分中含 x 軸正方向的一部分。此題不等式恒 成立問題化為圖形問題:橢圓上的點始終位于平面上 x +y -k>0的區(qū)域。即當直線 x +y -k =0在與橢圓下部相切的切線之下時。當 直線與橢圓相切時,方程組 有相等的一組實數(shù)解,消元后由=0可求得 k =-3, 所以 k<-3時原不等式恒成 立。、鞏固性題組:1. 已知 f(x =lgx (x>0,則 f(4的值為 _。A. 2lg2B. lg2C. lg2D. lg42. 函數(shù) y =(x+1 +2的單調(diào)增區(qū)間
28、是 _。A. -2,+ B. -1,+ D. (- ,+ C. (- ,-1 3. 設等差數(shù)列 a的公差 d =, 且 S =145, 則 a +a +a +a 的值為 _。A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54. 已知 x +4y =4x ,則 x +y 的范圍是 _。5. 已知 a 0, b 0, a +b =1,則 +的范圍是 _。6. 不等式 >ax+的解集是 (4,b, 則 a =_, b =_。7. 函數(shù) y =2x +的值域是 _。8. 在等比數(shù)列 a中, a +a +a =2, a +a +a =12, 求 a +a +a 。y D CA BO x9. 實數(shù)
29、m 在什么范圍內(nèi)取值, 對任意實數(shù) x , 不等式 sin x +2mcosx +4m -1<0恒成立。10. 已 知 矩 形 ABCD , 頂 點 C(4,4, A 點 在 曲 線 x +y =2 (x>0,y>0上移動,且 AB 、 AD 始終平行 x 軸、 y 軸,求矩形 ABCD 的最小面積。三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關系, 設出某些未知系數(shù), 然后根據(jù)所給條件來 確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法,其理論依據(jù)是多項式恒等, 也就是利用了多項式 f(xg(x的充要條件是:對于一個任意的 a 值,都有 f(ag(a;或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。待定系數(shù)法
30、解題的關鍵是依據(jù)已知, 正確列出等式或方程。 使用待定 系數(shù)法, 就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題, 通過引入一些待定的 系數(shù), 轉(zhuǎn)化為方程組來解決, 要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解, 主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式, 如果具 有, 就可以用待定系數(shù)法求解。 例如分解因式、 拆分分式、 數(shù)列求和、 求函數(shù)式、 求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定 的數(shù)學表達形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是:第一步,確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式;第二步,根據(jù)恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程;第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而
31、使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程,主要從以下幾方面著手分析: 利用對應系數(shù)相等列方程; 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程; 利用定義本身的屬性列方程; 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時, 我們可以用待定系數(shù)法求方程:首先設 所求方程的形式, 其中含有待定的系數(shù); 再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求 方程未知系數(shù)的方程或方程組; 最后解所得的方程或方程組求出未知 的系數(shù),并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式,得到所求圓錐曲線的方 程。、再現(xiàn)性題組:1. 設 f(x=+m , f(x的反函數(shù) f (x=nx -5,那么 m 、 n 的值依 次為 _。A. , -2B. -, 2C. ,
32、 2D. -,-2 2. 二次不等式 ax +bx +2>0的解集是 (-, ,則 a +b 的值是 _。A. 10B. -10C. 14D. -143. 在 (1-x (1+x 的展開式中, x 的系數(shù)是 _。 A. -297B. -252C. 297D. 2074. 函數(shù) y =a -bcos3x (b<0的最大值為 ,最小值為-,則 y =-4asin3bx 的最小正周期是 _。5. 與直線 L :2x +3y +5=0平行且過點 A(1,-4的直線 L 的方程 是 _。6. 與雙曲線 x -=1有共同的漸近線,且過點 (2,2的雙曲線的方 程是 _。【簡解】 1小題:由 f
33、(x=+m 求出 f (x=2x -2m ,比較系數(shù)易 求,選 C ;2小題:由不等式解集 (-, ,可知-、 是方程 ax +bx +2=0的兩根,代入兩根,列出關于系數(shù) a 、 b 的方程組,易求得 a +b ,選 D ;3小題:分析 x 的系數(shù)由 C 與 (-1C 兩項組成,相加后得 x 的系 數(shù),選 D ;4小題:由已知最大值和最小值列出 a 、 b 的方程組求出 a 、 b 的值, 再代入求得答案 ;5小題:設直線 L 方程 2x +3y +c =0,點 A(1,-4代入求得 C = 10,即得 2x +3y +10=0;6小題:設雙曲線方程 x -=,點 (2,2代入求得=3,即得
34、方 程 -=1。、示范性題組:例 1. 已知函數(shù) y =的最大值為 7,最小值為-1,求此函數(shù)式。 【分析】求函數(shù)的表達式,實際上就是確定系數(shù) m 、 n 的值;已知最 大值、 最小值實際是就是已知函數(shù)的值域, 對分子或分母為二次函數(shù) 的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法” ?!窘狻?函數(shù)式變形為:(y-mx -4x +(y-n =0, x R, 由 已知得 y -m 0 =(-4 -4(y-m(y-n 0即:y -(m+ny +(mn-12 0不等式的解集為 (-1,7,則-1、 7是方程 y -(m+ny +(mn-12 =0的兩根,代入兩根得:解得:或 y =或者 y =此題也可由解集 (
35、-1,7而設 (y+1(y-7 0, 即 y -6y -7 0, 然后 與不等式比較系數(shù)而得:,解出 m 、 n 而求得函數(shù)式 y ?!咀ⅰ?在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù) m 、 n 需要確定,首先用“判別 式法” 處理函數(shù)值域問題, 得到了含參數(shù) m 、 n 的關于 y 的一元二次 不等式,且知道了它的解集,求參數(shù) m 、 n 。兩種方法可以求解,一 是視為方程兩根, 代入后列出 m 、 n 的方程求解; 二是由已知解集寫 出不等式, 比較含參數(shù)的不等式而列出 m 、 n 的方程組求解。 本題要 求對一元二次不等式的解集概念理解透徹, 也要求理解求函數(shù)值域的 “判別式法” :將 y 視為參數(shù),函
36、數(shù)式化成含參數(shù) y 的關于 x 的一元 二次方程,可知其有解,利用 0, 建立了關于參數(shù) y 的不等式,解 出 y的范圍就是值域,使用“判別式法”的關鍵 是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例 2. 設橢圓中心在 (2,-1, 它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直, 且此焦點與長軸較近的端點距離是 -,求橢圓的方程。y B xA F O F A B【分析】求橢圓方程,根據(jù)所給條件,確定幾何數(shù)據(jù) a 、 b 、 c 之值, 問題就全部解決了。設 a 、 b 、 c 后,由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股 定理建立一個方程,再將焦點與長軸較近端點的距離轉(zhuǎn)化為 a -c 的 值后列出第二個方程?!窘狻?設橢圓
37、長軸 2a 、短軸 2b 、焦距 2c ,則 |BF |=a 解得: 所求橢圓方程是:+=1也可有垂直關系推證出等腰 Rt BB F 后,由其性質(zhì)推證出等腰 Rt B O F ,再進行如下列式:,更容易求出 a 、 b 的值。 【注】 圓錐曲線中,參數(shù)(a 、 b 、 c 、 e 、 p 的確定,是待定系數(shù) 法的生動體現(xiàn);如何確定,要抓住已知條件,將其轉(zhuǎn)換成表達式。在 曲線的平移中,幾何數(shù)據(jù)(a 、 b 、 c 、 e 不變,本題就利用了這一 特征,列出關于 a -c 的等式。一般地, 解析幾何中求曲線方程的問題,大部分用待定系數(shù)法, 基本 步驟是:設方程(或幾何數(shù)據(jù) 幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已
38、知 系數(shù)代入。例 3. 是否存在常數(shù) a 、 b 、 c ,使得等式 1?2+2?3+n(n+1 =(an+bn +c 對一切自然數(shù) n 都成立?并證明你的結(jié)論。 (89年全國高考題【分析】 是否存在, 不妨假設存在。 由已知等式對一切自然數(shù) n 都成 立,取特殊值 n =1、 2、 3列出關于 a 、 b 、 c 的方程組,解方程組 求出 a 、 b 、 c 的值,再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù) n 都成 立?!窘狻考僭O存在 a 、 b 、 c 使得等式成立,令:n =1,得 4=(a+b +c ; n =2,得 22=(4a+2b +c ; n =3,得 70=9a +3b +c 。
39、整理得:, 解得 ,于是對 n =1、 2、 3, 等式 1?2+2?3+n(n+1 =(3n+11n +10 成立, 下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù) n , 該等式都成立:假設對 n =k 時等式成立, 即 1?2+2?3+k(k+1 =(3k+ 11k +10 ;當 n =k +1時, 1?2+2?3+k(k+1 +(k+1(k+2 =(3k +11k +10 +(k+1(k+2 =(k+2 (3k +5 +(k+1(k+2 = (3k +5k +12k +24=3(k+1 +11(k+1 +10,也就是說,等式對 n =k +1也成立。綜上所述, 當 a =8、 b =11、 c =1
40、0時, 題設的等式對一切自然數(shù) n 都成立。【注】建立關于待定系數(shù)的方程組,在于由幾個特殊值代入而得到。 此種解法中, 也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。 對于是否存在性問題待 定系數(shù)時,可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本 題如果記得兩個特殊數(shù)列 1+2+n 、 1+2+n 求和的公式, 也可以抓住通項的拆開,運用數(shù)列求和公式而直接求解:由 n(n+1 =n +2n +n 得 S =1?2+2?3+n(n+1 =(1+2+ +n +2(1+2+n +(1+2+n =+2×+=(3n +11n +10 ,綜上所述,當 a =8、 b =11、 c =10時,題設的等式 對一切
41、自然數(shù) n 都成立。例 4. 有矩形的鐵皮,其長為 30cm ,寬為 14cm ,要從四角上剪掉 邊長為 xcm 的四個小正方形, 將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子, 問 x 為何值時,矩形盒子容積最大,最大容積是多少?【分析】實際問題中,最大值、最小值的研究,先由已知條件選取合 適的變量建立目標函數(shù), 將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研 究?!窘狻?依題意,矩形盒子底邊邊長為 (30-2xcm ,底邊寬為 (14-2xcm ,高為 xcm 。 盒子容積 V =(30-2x(14-2xx =4(15-x(7-xx ,顯然 :15-x>0, 7-x>0, x>0。設 V =
42、(15a-ax(7b-bxx (a>0,b>0要使用均值不等式,則解得:a =, b =, x =3。從而 V =(-(-xx ( =×27=576。所以當 x =3時,矩形盒子的容積最大,最大容積是 576cm 。 【注】 均值不等式應用時要注意等號成立的條件, 當條件不滿足時要 湊配系數(shù), 可以用 “待定系數(shù)法” 求。 本題解答中也可以令 V =(15a -ax(7-xbx 或 (15-x(7a-axbx , 再由使用均值不等式的最 佳條件而列出方程組, 求出三項該進行湊配的系數(shù), 本題也體現(xiàn)了 “湊 配法”和“函數(shù)思想” 。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =log x
43、 的 x 2,+ 上恒有 |y|>1,則 a 的取值范圍 是 _。A. 2>a>且 a 1B. 0<a<或 1<a<2C.1<a<2D. a>2或 0<a<2. 方程 x +px +q =0與 x +qx +p =0只有一個公共根,則其余 兩個不同根之和為 _。A. 1B. -1C. p +q D. 無法 確定3. 如果函數(shù) y =sin2x +a?cos2x 的圖像關于直線 x =-對稱,那 么 a =_。A. B. -C. 1D. -14. 滿足 C +1?C +2?C +n?C <500的最大正整數(shù)是 _。 A
44、. 4B. 5C. 6D. 75. 無窮等比數(shù)列 a的前 n 項和為 S =a -, 則所有項的和等于 _。A. -B. 1C. D. 與 a 有關 6. (1+kx =b +b x +b x +b x ,若 b +b +b +b =-1,則 k =_。7. 經(jīng)過兩直線 11x -3y -9=0與 12x +y -19=0的交點, 且過點 (3,-2的直線方程為 _。8. 正三棱錐底面邊長為 2,側(cè)棱和底面所成角為 60°,過底面一邊 作截面,使其與底面成 30°角,則截面面積為 _。 9. 設 y =f(x是一次函數(shù),已知 f(8=15, 且 f(2、 f(5、 (f14
45、成等 比數(shù)列,求 f(1+f(2+f(m的值。10. 設拋物線經(jīng)過兩點 (-1,6和 (-1,-2,對稱軸與 x 軸平行,開口向右,直線 y =2x +7和拋物線截得的 線段長是 4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法,就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì) 和法則等, 都是由定義和公理推演出來。 定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯 方法,它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果, 它科學地反映和揭示了客觀世界的 事物的本質(zhì)特點。 簡單地說, 定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。 用定義法解題,是最直接的方法,本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組:1.
46、已知集合 A 中有 2個元素,集合 B 中有 7個元素, A B 的元素 個數(shù)為 n ,則 _。A. 2 n 9B. 7 n 9C. 5 n 9D. 5 n 7 2. 設 MP 、 OM 、 AT 分別是 46°角的正弦線、余弦線和正切線,則 _。A. MP<OM<ATB. OM<MP<ATC. AT<<OM<MPD. OM<AT<MP3. 復數(shù) z =a +2i, z =-2+i,如果 |z|<|z|,則實數(shù) a 的 取值范圍是 _。A. -1<a<1B. a>1C. a>0D. a< -1或
47、 a>14. 橢圓 +=1上有一點 P ,它到左準線的距離為 ,那么 P 點到右 焦點的距離為 _。A. 8C. 7.5C. D. 35. 奇函數(shù) f(x的最小正周期為 T ,則 f(- 的值為 _。 A. T B. 0C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側(cè)棱與底面成 45°角,則其側(cè)面與底面所成角的正 切值為 _。【簡解】 1小題:利用并集定義,選 B ;2小題:利用三角函數(shù)線定義,作出圖形,選 B ;3小題:利用復數(shù)模的定義得 <,選 A ;4小題:利用橢圓的第二定義得到 =e =,選 A ;5小題:利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到 f(- =f( =-f(- , 選
48、B ;6小題:利用線面角、面面角的定義,答案 2。、示范性題組:例 1. 已知 z =1+i, 設 w =z +3-4,求 w 的三角形式; 如果 =1-i,求實數(shù) a 、 b 的值。 (94年全國理【分析】 代入 z 進行運算化簡后, 運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定 義解答。【解】由 z =1+i,有 w =z +3-4=(1+i +3-4=2i+ 3(1-i -4=-1-i, w 的三角形式是 (cos +i sin ; 由 z =1+i,有 =(a+2 -(a+b i。由題設條件知:(a+2 -(a+b i=1+i;根據(jù)復數(shù)相等的定義,得:,解得 。【注】求復數(shù)的三角形式,一般直接利用復
49、數(shù)的三角形式定義求解。 利用復數(shù)相等的定義,由實部、 虛部分別相等而建立方程組, 這是復 數(shù)中經(jīng)常遇到的。例 2. 已知 f(x=-x +cx , f(2=-14, f(4=-252, 求 y =log f(x的定義域,判定在 (,1 上的單調(diào)性?!痉治觥?要判斷函數(shù)的單調(diào)性, 必須首先確定 n 與 c 的值求出函數(shù)的 解析式,再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷?!窘狻?解得: f(x=-x +x 解 f(x>0得:0<x<1設 <x<x<1, 則 f(x -f(x =-x +x-(-x +x =(x -x 1-(x+x(x +x, x +x>, x +x&g
50、t; (x+x(x +x ×= 1 f(x -f(x>0即 f(x在 (,1 上是減函數(shù) <1 y =log f(x在 (,1 上是增函數(shù)。A ADC CO HB B【注】關于函數(shù)的性質(zhì):奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷,一般都是 直接應用定義解題。本題還在求 n 、 c 的過程中,運用了待定系數(shù)法和換元法。例 3. 如圖,已知 A B C ABC 是正三棱柱, D 是 AC 中點。 證明:AB 平面 DBC ; 假設 AB BC , 求二面角 D BC C 的度數(shù)。 (94年全國理 【分析】 由線面平行的定義來證問, 即通過證 AB 平行平面 DBC 內(nèi)的一條直線而得; 由
51、二面角的平面角的定義作出平面角, 通過解三 角形而求問。【解】 連接 B C 交 BC 于 O, 連接 OD A B C ABC 是正三棱柱 四邊形 B BCC 是矩形 O 是 B C 中點 AB C 中, D 是 AC 中點 AB OD AB 平面 DBC 作 DH BC 于 H ,連接 OH DH 平面 BC C AB OD, AB BC BC OD BC OH 即 DOH 為所求二面角的平面角。設 AC =1, 作 OE BC 于 E , 則 DH =sin60°=, BH =, EH =; Rt BOH 中, OH =BH ×EH =, OH =DH DOH =45
52、°,即二面角 D BC C 的 度數(shù)為 45°。【注】對于二面角 D BC C 的平面角,容易誤認為 DOC 即所 求。利用二面角的平面角定義,兩邊垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂線 DH ,再證得垂直于棱的垂線 DO ,最后連接 兩個垂足 OH ,則 DOH 即為所求,其依據(jù)是三垂線定理。本題還 要求解三角形十分熟練,在 Rt BOH 中運用射影定理求 OH 的長是 計算的關鍵。此題文科考生的第二問為:假設 AB BC , BC =2,求 AB 在側(cè) 面 BB C C 的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義, 先作平面的垂線,連接垂足和斜足而得到射影
53、。其解法如下:作 AE BC 于 E ,連接 B E 即所求,易得到 OE B B ,所以 =, EF =B E 。在 Rt B BE 中,易得到 BF BE, 由射影定理得:B E ×EF =BE 即 B E =1,所以 B E =。yM FA x例 4. 求過定點 M(1,2,以 x 軸為準線,離心率為 的橢圓的下頂點 的軌跡方程?!痉治觥窟\動的橢圓過定點 M ,準線固定為 x 軸,所以 M 到準線距 離為 2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義,可以得到 =建立一個方程, 再由離心率的定義建立一個方程?!窘狻吭O A(x,y、 F(x,m,由 M(1,2,則橢圓上定點 M 到準線距離 為
54、2,下頂點 A 到準線距離為 y 。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的 定義,得到:,消 m 得:(x -1 +=1,所以橢圓下頂點的軌跡方程為(x -1 +=1?!咀ⅰ壳笄€的軌跡方程,按照求曲線軌跡方程的步驟,設曲線上動 點所滿足的條件, 根據(jù)條件列出動點所滿足的關系式, 進行化簡即可 得到。本題還引入了一個參數(shù) m, 列出的是所滿足的方程組,消去參 數(shù) m 就得到了動點坐標所滿足的方程,即所求曲線的軌跡方程。在 建立方程組時, 巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。 一 般地, 圓錐曲線的點、 焦點、 準線、 離心率等問題, 常用定義法解決; 求圓錐曲線的方程, 也總是利用圓錐曲線的定
55、義求解, 但要注意橢圓、 雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。、鞏固性題組:1. 函數(shù) y =f(x=a +k 的圖像過點 (1,7,它的反函數(shù)的圖像過 點 (4,0,則 f(x的表達式是 _。2. 過拋物線焦點 F 的直線與拋物線相交于 A 、 B 兩點, 若 A 、 B 在拋 物線準線上的射影分別為 A 、 B , 則 A FB 等于 _。A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 已知 A =0,1, B =x|xA,則下列關系正確的是 _。 A. A B B. A B C. A B D. A B4. 雙曲線 3x -y =3的漸近線方
56、程是 _。A. y =±3x B. y =±x C. y =±x D. y =±x 5. 已知定義在 R 上的非零函數(shù) f(x滿足 f(x+y =f(x+f(y, 則 f(x是 _。A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既奇既偶函數(shù)6. C +C =_。7. Z =4(sin140°-i cos140° , 則 復 數(shù) 的 輻 角 主 值 是 _。8. 不等式 ax +bx +c>0的解集是 (1,2,則不等式 bx +cx + a<0解集是 _。9. 已知數(shù)列 a是等差數(shù)列,求證數(shù)列 b也是等差數(shù)列,其中 b = (a+a +a 。10. 已知 F 、 F 是橢圓 +=1(a>b>0的兩個焦點,其中 F 與拋物線 y =1
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 語文園地五作業(yè)本
- 課件制作培訓教學課件
- 搶救車管理制度課件
- 出口商合同模板
- 地暖水電裝修合同模板
- 購店鋪協(xié)議合同模板
- 苗木大棚租賃合同模板
- 消防驗收合同模板
- 閣樓裝修工程合同模板
- 公司租民房合同模板
- 2024年二級建造師繼續(xù)教育題庫及答案(500題)
- 【自考復習資料】00648編輯學概論(經(jīng)典考題)
- 醫(yī)師考核表格
- 注射用A型肉毒毒素管理制度
- 《思想道德與法治》課件第四章明確價值要求踐行價值準則第三節(jié)積極踐行社會主義核心價值觀
- 蘇教版一年級數(shù)學下冊公開課《兩位數(shù)加一位數(shù)(進位)》教學設計
- 三年級上冊北師大版數(shù)學應用題專題訓練
- 20201105 中藥均一化研究技術指導原則(試行)》的通告(2020年第38號)
- 新會計準則會計科目表(中英文對照)
- 框架剪力墻結(jié)構(gòu)施工組織設計施工方案
- 校園放心食品安全工程A級示范食堂量化評定標準
評論
0/150
提交評論