三次函數(shù)零點存在性探討(共4頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上三次函數(shù)零點存在性探討利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性，最值，極值等問題是高考的一個難點同時也是熱點，尤其是對于含參的未知函數(shù)的性質討論更是每年各省高考必然涉及的問題。而三次函數(shù)的考查能夠將導數(shù)的相關知識和二次函數(shù)的考點巧妙結合在一起，具有較強的綜合性，在高考中頗受青睞，所以研究三次函數(shù)的圖象和一些簡單性質，讓它們服務于高考解題勢在必行。本文從三次函數(shù)的圖象入手，討論三次函數(shù)的零點存在性條件，在此基礎上節(jié)選近兩年高考中涉及的三次函數(shù)的零點問題進行分析，并滲透等價轉化與化歸、數(shù)形結合等思想方法，旨在幫助學生站在一個高度審視三次函數(shù)的一些性質。一.知識準備三次函數(shù)的導函數(shù)，記，設

2、的兩根為，則可以得出下面結論：（一） 圖像研究的圖象的圖象（二） 零點研究結合三次函數(shù)的圖象，我們可以得出以下結論：性質 若三次曲線與x軸有三個交點，則且；若三次曲線與x軸有兩個交點，則且；若三次曲線與x軸有一個交點，則且或。二鏈接高考題一（2014年高考課標1理科卷第11題）已知函數(shù)若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ） 分析 該題的核心條件是“在唯一的零點，且”，作以下分析：第一步 時顯然不符合題意；第二步 時，求導，令，解得。由性質我們可以得出該三次函數(shù)有一個零點，即為且 ，即。結合該三次函數(shù)圖象以及特殊點（0,1）分析可得；第三步 解不等式組可得，選C?？偨Y 本題的切入點即為三次函

3、數(shù)有唯一零點，在具體的解題過程中，應該充分把握函數(shù)的特殊點，并結合函數(shù)的圖像加以分析，可以取得事半功倍的效果。無獨有偶，在2015年的江蘇卷中，再次出現(xiàn)了三次函數(shù)的零點存在性問題，許多考生在解題時束手無策，關鍵還是對三次函數(shù)的圖象以及零點存在的條件把握不到位。題二（2015高考題江蘇卷第19題）已知函數(shù).（1） 試討論的單調性；（2） 若（實數(shù)是與無關的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.分析 第（1）題是常規(guī)題，著重考慮求導以后對參數(shù)a的討論。第（2）題許多學生會感覺參數(shù)混亂，事實上把握住三次函數(shù)有三個零點的等價條件，并將其轉化成關于的四次不等式問題，結合多項式不等式

4、的解集與對應方程的解的關系，整個題目就迎刃而解了。簡解（1）當時， 在上單調遞增；當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減；當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減（2）第一步 函數(shù)有三個不同的零點等價于，即不等式，由題可得該四次不等式的解集為；第二步 令，討論該函數(shù)的圖象。的導函數(shù)為，其中恒成立，即有兩解；第三步 依次分析的圖象,由圖象可得，即可求得總結 本題的第一問是討論含參的三次函數(shù)的單調性，對其導函數(shù)二次函數(shù)的根的情況作為最終研究對象加以分析可得；第二問利用三次函數(shù)三個零點的等價關系，巧妙的引入一個新的函數(shù)進行討論，突出了轉化的思想，同時再次體現(xiàn)了三次函數(shù)作為導函數(shù)出現(xiàn)對該題的重大意義，導函數(shù)的工具性作用亦是發(fā)揮得淋漓盡致。利用上述性質討論三次函數(shù)的零點存在性問題十分便捷，但是在研究中結合三次函數(shù)的圖象必不可少，因此熟練掌握三次函數(shù)的圖象走勢十分重要，尤其研究三次函數(shù)在定區(qū)間上的零點問題時，更應該兼顧極值點處的函數(shù)值以及定區(qū)間上的圖象分布，以下題目作為練習可供大家深入研究。題三 （2015新課標全國卷高考題第21題）已知函數(shù)，.(1) 當為何值時，軸為曲線的切線；(2) 用表示中的最小值，設函數(shù)，討論零點的個數(shù)。三次函數(shù)的導函數(shù)的特殊性決定了它在高考中的重要地位，回顧三次函數(shù)在高考中的考點，可以說是涉及了三次函數(shù)圖象，切線，極值，最值，單調性，零點等