昆明理工大學(xué)—數(shù)值分析各年考試題及答案

1、昆明理工大學(xué)數(shù)值分析考試題(07)一 填空(每空3分，共30分)1設(shè)乂人=0.231是真值Xt = 0.229的近似值，則XA有位有效數(shù)字。2. 若 f(x)=6x7 x4 3x 1，則 f20,21,.27， f20,21,.28。3- A= 0 則冋=；凡=； IIA2 =cond2 (A) =。4.求方程x二f (x)根的牛頓迭代格式是 。5設(shè)x=10_5%，則求函數(shù)f(x)二的相對(duì)誤差限為。10、6. A= 1 2 a，為使其可分解為 LL|Lt( L為下三角陣，主對(duì)角線元素>0 )，a的取值范I。a 2>圍應(yīng)為。7 .用最小二乘法擬合三點(diǎn)A(0,1),B(1,3),C(2

2、,2)的直線是 。(注意：以上填空題答案標(biāo)明題號(hào)答在答題紙上，答在試卷上的不給予評(píng)分。)二.推導(dǎo)與計(jì)算(一)對(duì)下表構(gòu)造f(x)的不超過(guò)3次的插值多項(xiàng)式，并建立插值誤差公式。(12分)x012f (x)123f '(x)3（二）已知x=；i；（ X）和門（X）滿足丨® （ X）-3: 1。請(qǐng)利用：:'（X）構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù) T(x)，使 Xk i - ?(Xk),k =0,1,收斂。(8 分)（三）利用復(fù)化梯形公式計(jì)算I二；e&dx，使其誤差限為 0.5 10»，應(yīng)將區(qū)間0，1等份。（8分）-10a01(四)設(shè) A=b10b,detA老，推導(dǎo)

3、用0a5 一代法收斂的充分必要條件。（10分）a, b表示解方程組AX=f的Seidel（G-S） 迭（五）確定節(jié)點(diǎn)及系數(shù)，建立如下GAUSS型求積公式1 f （x）0dx ： 4f（X1）宀f（X2）。（ 10 分）0/Xy = f （x, y）（六）對(duì)微分方程初值問(wèn)題/ 、I yg = y°h（1） 用數(shù)值積分法推導(dǎo)如下數(shù)值算法：yn 1 = yn/ （ fn4 fn f-J ,其中3f 二 f （X,yJ , （i 二 n -1,n,n 1）。（8 分）（2） 試構(gòu)造形如 yn = a0yn + a,yn. + h（0 fn + b fn4）,的線形二步顯格式差分格式，其中 f

4、n = f（Xn,yn）, fn =二 f（Xn_1,yn_1）。試確定系數(shù) a0,a1,b0,b1，使差分格式的階盡可能高，寫出其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，并指明方法是多少階。（14分）(考試時(shí)間2小時(shí)30分鐘)(08)一、填空(每空3分，共30分)1 若開平方查6位函數(shù)表，則當(dāng)x=30時(shí)，；尹1的誤差限為2 若 f (x) =anXn 1,(an =1),則fx 0,x !,.x n =。3 若x3,0蘭x蘭1S(x) = M 32是3次樣條函數(shù)，則(x1)3 +a(x1)2 +b(x1)+c,1 蘭X 蘭3a=, b=, c=。(1 2 4. A=，則 A 11=; IA ll2=; Cond2

5、(A)=。 2丿 1 2 -5. 考慮用復(fù)化梯形公式計(jì)算0 e -x dx ，要使誤差小于0.5 10，那么0,1應(yīng)分為個(gè)子區(qū)間。6. G (x)二x，a(x2-5),要使迭代法x-：G(x)局部收斂到x”二'5，即在鄰域| x - 5卜：1時(shí)，貝U a的取值范圍是。、計(jì)算與推導(dǎo)1、用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b，其中2-10-12-1A =0-12.0 0-10 10-12110b =0（12 分）2、已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)t12345y4.006.408.008.809.22請(qǐng)確定其形如yt的擬合函數(shù)。(13分)at +b3、確定系數(shù)，建立如下 GAUSS型求積公式1 f (x)0 dx

6、 = A f (xj A? f (x2)。 (13 分)0 x4、證明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程組30- 2 xi1021：2二*時(shí)，對(duì)任意的初始向量都收斂；若要求-21譏I1 J|x* - x(k)滬Y10 一4 ，需要迭代幾次(推導(dǎo)時(shí)請(qǐng)統(tǒng)一取初始迭代向量 x(0) =(0 0 0)T)？( 13 分)5、試用數(shù)值積分法或Taylor展開法推導(dǎo)求解初值微分問(wèn)題y = f( x y) , y0 x=)的如下中點(diǎn)公式：yn .2 = yn 2 h( x-1 ,y-1及其局部截?cái)嗾`差。(14分)b d6、試推導(dǎo)！ ！ f(x, y)dydx的復(fù)化Simpson數(shù)值求積公式。(5分

7、)a c(考試時(shí)間2個(gè)半小時(shí))(09)、（填空（每空3分，共36分）x3 + x2 0 蘭 x 蘭12x3 2 “1,1 *2是以0, 1，2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù),b=,c=2 設(shè)f(x)=4x3 2x-1，則差商 f0,1,2,3 =，f0,1,2,3,4 =。3.函數(shù)f（x） =3x3 2x2 -4x * 5在-1 , 1上的最佳2次逼近多項(xiàng)式是佳2次平方逼近多項(xiàng)式是，當(dāng)a滿足條件時(shí)，A可作LU分解；當(dāng)a滿足條件時(shí),A可作/20 012-0，則A,cond(A)2 二6 .求方程x = cos x根的newton迭代格式是。7.用顯式Euler法求解y二-80y,y(0) =1,要使數(shù)值計(jì)

8、算是穩(wěn)定的，應(yīng)使步長(zhǎng)0<h<二、計(jì)算與推導(dǎo)一、 計(jì)算函數(shù) f(x)二s in(n 3x)在x =0.0001附近的函數(shù)值。當(dāng)n=100時(shí)，試計(jì)算在相對(duì)誤差意義下f(x*)的條件數(shù)，并估計(jì)滿足；r(f (x*) =0.1%時(shí)自變量的相對(duì)誤差限和絕對(duì)誤差限。(12分)1二、 有復(fù)化梯形，復(fù)化 simpson公式求積分Qexdx的近似值時(shí)，需要有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)，才能 保證近似值具有6位有效數(shù)字。(12分)四、確定求解一階常微分初值問(wèn)題的如下多步法1yn 1* (yn-yn4)- yn= 2(3 * )h(fn '1)中的值，使方法是四階的。(12 分)五、用最小二乘法確定一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

9、的二次曲線，使之?dāng)M合于下列數(shù)據(jù)（小數(shù)點(diǎn)后保留5位）x1.02.03.04.0yi0.81.51.82.0并計(jì)算其最小二乘誤差。（14分）-2x2 2x3 = 1六、對(duì)下列線性方程組 -2xi +10X2 -X3 =0.5，（ 1）構(gòu)造一定常迭代數(shù)值求解公式，并證一Xr _2x2 +3x3 =1明你構(gòu)造的迭代格式是收斂的；（2）記精確解向量為 X*，若取初始迭代向量 X（0） =（000）T,要使X* -X（K） <10，請(qǐng)估計(jì)需要多少次迭代計(jì)算。（14分）（考試時(shí)間2個(gè)半小時(shí)）(10)一、填空(每空2分，共24分)1 .近似數(shù)490.00的有效數(shù)字有 位，其相對(duì)誤差限為 。2.設(shè) f(x

10、) =4x7 x4 3x 1，貝U f20,21,27 =， f20,21,28二43 .設(shè)f(x) =2x ,x -1,1，f (x)的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為 。4 . A=*3 2 A1=，I A 獷，II A2=。2-105. A= 1 2 -1，其條件數(shù) Cond（Ab=。0-1 22 1 06. A= 1 2 a，為使分解 A = LLt成立（L是對(duì)角線元素為正的下三角陣），a的取衛(wèi)a 2j值范圍應(yīng)是。工人-a冷二R.7. 給定方程組，a為實(shí)數(shù)。當(dāng)a滿足且0YY2時(shí)，SOR迭代法收-ax +x2 =b2斂。/28 .對(duì)于初值問(wèn)題 y =-100（y -x ） 2x, y（0） =1

11、，要使用歐拉法求解的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定， 應(yīng)限定步長(zhǎng)h的范圍是。、推導(dǎo)計(jì)算1 應(yīng)用下列數(shù)據(jù)表建立不超過(guò)3次的插值多項(xiàng)式并給出誤差估計(jì)式x012f(x)129f/(x)3（15 分）2 用最小二乘法確定一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次曲線，使之?dāng)M合于下列數(shù)據(jù)x1 . 02. 03. 04. 0y0. 81. 51 . 82. 0（小數(shù)點(diǎn)后至少保留 5位）。（15分）o x i x (0 , 1)3 .確定高斯型求積公式°、x f( x) dx oA (f° X i A(f )x的節(jié)點(diǎn)Xo, Xi及積分系數(shù) Ao, A 。 (15分)書內(nèi)證明'I1.在線性方程組 AX =b中，A= a&#

12、39;aala。證明當(dāng)11aY 1時(shí)高斯-塞德爾法收斂,211而雅可比法只在a 時(shí)才收斂。2 222.給定初值Xo = 0,以及迭代公式a(10 分)Xk 1 二x/2-ax",(k =0,1,2，a = 0)證明該迭代公式是二階收斂的。(7分)3試證明線性二步法yn .2 (b-1)yn1 -byn £(b 3)fn .2 (3b 1)fn4當(dāng)b = -1時(shí)，方法是二階，當(dāng) b = -1時(shí)，方法是三階的。(14分)(12)、填空題（每空2分，共40 分）x*的相對(duì)1 設(shè)x* =0.231是真值x =0.228的近似值，則x*有位有效數(shù)字,誤差限為L(zhǎng)2(x) =3.過(guò)點(diǎn)（-

13、1,0）, （2,0）和（1,3）的二次拉格朗日插值函數(shù)為計(jì)算L2(0)=4 . 設(shè) f (x3x3 2x4x 5在1-1,1上的最佳二次逼近多項(xiàng)式，最佳二次平方逼近多項(xiàng)式為5 .高斯求積公式 °. xf (x)d A0 f(x0) A(f (xj 的系數(shù) A° 二A1 =，節(jié)點(diǎn)x0 =,x1 =6 方程組Ax=b , A二D-L-U,建立迭代公式x(k=Bx(k) f，寫出雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣，BJacobiBGauss _Seidel，其條件數(shù)Cond(A)28 .設(shè) A1311，計(jì)算矩陣A的范數(shù)，| A|h =,l|A|2=9 .求方程xf (x

14、)根的牛頓迭代格式是10 .對(duì)矩陣A =作LU分解，其L=,U=、計(jì)算題(每題10分，共50分)1.求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足：p(0) = 0, p 二 0, p(1) = 1 , p (1) = 1,p(2) = 1,并寫出其余項(xiàng)表達(dá)式(要求有推導(dǎo)過(guò)程)。12.若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分J exdx，問(wèn)區(qū)間0, 1應(yīng)分成多少等分才能使截?cái)嗾`差不超01 垢過(guò)一10 ?若改用復(fù)合辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度區(qū)間0, 1應(yīng)該分成多少等份？由2F表數(shù)據(jù)，用復(fù)合辛普森公式計(jì)算該積分的近似值。x00.250.50.751x e11.281.642.112.7110.4 0.43.線性

15、方程組 Ax = b，其中A= 0.410.8 , b=1,2,3T , （1）建立雅可比迭代法衛(wèi).40.81 一和高斯-賽德爾迭代法的分量形式。（2 ）問(wèn)雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂嗎4.已知如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（Xj,yJ,i =0,1/ ,4 ,用最小二乘法求形如y=a°的經(jīng)驗(yàn)公并計(jì)算最小二乘法的誤差。Xi12345yi44.5688.55.用改進(jìn)的歐拉公式（預(yù)估-校正方法），解初值問(wèn)題 3 =x2 100y2,y（0） =0，取步長(zhǎng) dxh =0.1,計(jì)算到x=0.2 （保留到小數(shù)點(diǎn)后四位）。三、證明題（共10分）1.如果A是對(duì)稱正定矩陣，則A可唯一地寫成 A = LLt，

16、其中L是具有正對(duì)角元的下三 角陣。（考試時(shí)間2個(gè)半小時(shí)）07答案填空 1. 23. 4 ; 4;Xn - f (焉)1 - f (Xn)5. 0.005 n6. - , 3 : a ：、. 31亠37. y x2 2-、推導(dǎo)與計(jì)算(一) 方法 1 先確定 2 次插值 N(x)二 f (0)f0,1(x-0)f0,1,2( x-0)(x-1)再設(shè)該 Hermit 插值為 H3(x)二 N (x) k(x-0)(x-1)(x-3)將導(dǎo)數(shù)要求代入即可確定 k值(略)32得：H3(x) = -2x 6x -3x 132方法2直接設(shè)H3(x)二ax bx cx d將插值要求代入得方程組(略)解得各待定系

17、數(shù)IL得 H3(x)二-2x3 6x2 -3x 1推導(dǎo)余項(xiàng)：根據(jù)條件要求設(shè)余項(xiàng)R(x)二f (x) -H3(x)二K(x)x(x -1)2(x -2)構(gòu)造關(guān)于t的輔助函數(shù)2：(t) =f(t)-H3(t)-K(x)t(t-1) (t-2)其是充分光滑的，且滿足(0) = (1)= (2) = (x)=0,(1) = 0故有4個(gè)零點(diǎn)反復(fù)運(yùn)用Roll定理，有;:(4)( ) = f ()- K(x)4!(0，2)f心二 K(x)二4f (-)故R(x)二- x(x-1)2(x-2)(0,2)且依賴于 x和節(jié)點(diǎn) 0,1,24!由 x= (x)可得 x-3x = (x)-3x(二) 1 . - -即x

18、= 一一 (x) -3x)21故設(shè) T f(x)( ：(x) -3x)因瞥(x =P7xnj<1故迭代格式xn 4= :； (xn )是收斂的(三)令|Rnf| = U°h2f U)蘭丄勺0"其中人=口122n解得 hY 1.736 10 '-(略)1將h=-代入取整即得n = 578n578等分。a0 110abb10010a2bab50050 -R牛是需P(Bg)=故需將區(qū)間(四) G-S迭代陣Bg =b03ab0令 det( I - BG) = 2(' -埜)=01001001的正交多項(xiàng)式、X解出既ab : 0°(五)方法 1 設(shè)(X)

19、=(X -X0)(X -Xi)為0,1上帶權(quán)1 1則有0(x)dx =01 x(x)dx = 0xI 1、1X0X1 -(Xg Xj = -匸 整理得35-5&0 X!)- -11 1 解出 x0(2.65), x1(3 2 65)又該公式應(yīng)對(duì)f (x) =1,x準(zhǔn)確成立，代入有f12 = A+Ai卜。=1+-廊2解之得33"0X0+AX1卜=1三廊故可構(gòu)造出Gauss積分公式為。方法2直接用代數(shù)精度驗(yàn)證法列方程組求解方程組每個(gè)待定系數(shù)積分公式(六)(1)將y二f(X,y)兩邊同時(shí)在區(qū)間Xn，Xni上積分得Xn +y(xn彳)- y(Xn4)f (x, y)dx右邊用積分的

20、Simpson公式展開得xn 1f(x,y)dx叱(略)將y(xj用相應(yīng)數(shù)值值 y代替Xn丄h既推出公式 yn1 二 ynd -( fn 1 4f fn j)3(2)方法 1 因前提是 yn = y(Xn), ynd = y(Xnd)故利用Tarlor公式2 4y(Xn 1)二 y(Xn) y (Xn)h y (Xn)占 y (Xn) y()234(Xn Y 人1)yn 1 =a°y(Xn) aiy(Xnji) h(bo f (Xn, y(Xn) bif (Xn，y(Xnj)h3= (a° aJy(Xn) (q b。bJhy X)(2 bjh2y (x.) (_a3bJ石

21、y (x.)23呼y()3!考察局部截?cái)嗾`差 Rn .1 = y(Xn 1)- yn 1，使44Rn->(4)()4!y ()- 3b1h4y ( ) =O(h4)可得-印 +b0 +0 =101 bi =丄2 2-a1 3b- = 1解之得玄一4*542 2。故所給格式為h4其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為 hyn 卅=4yn +5yn+ h(4 fn +2fnJ444 y()罟y ()一2! y ()，其是3階方法。方法2直接套課本中公式，但此時(shí)-：J0 = ai ,二1 二 a0 , '0 = b1 , 1=b0, P2 = 0而 k = 2令Co=G =c2 =c3 =0歹y方程組

22、可解出各系數(shù)。其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為C4h4y(Xnjr'hJ(Xn),其是3階方法。3、填空（每空3分，共36分）1. b= -2, c= 32.3.4.5.6.(09)f0,1,2,3 =4,f0,1,2,3,4 =0 .P2(x) = X2 -孑 x 5 , p2(x) = 2x2 -2, cond(A)2119"T x 3Xk - cos xkXk 1 = Xk -Xk1 sin7. 0<h< 。40哲(f (X*)xf/(x)| _3 n x*% (X )f(x)ta n(n 3x)、解 Co nd r (f (x*):Co nd r (f (x )二6

23、 *10*xtan( 100):170.3由要求知要求 行（f （x則自變量的相對(duì)誤差限r(nóng)(x* .(f(x*)/Condr(f(x*)丸 0.578 汽 10取n=100,則）二 0.1 100 時(shí)絕對(duì)誤差限(X*) _ ；r(X* ) * X0.57810 亠二.解 f(x)=e ,a = 0,b =1用復(fù)化梯形時(shí)，即要求Rn(f)二h212由此解得應(yīng)取 214 個(gè)節(jié)點(diǎn)用復(fù)化 Simpson 時(shí)，即要求Rn( f )| 二180-1 10 -42由此解得應(yīng)取9個(gè)節(jié)點(diǎn)。四.(該題是課本-清華第4版372頁(yè)的例題)5正確展開Tn 1正確合并同階項(xiàng)為 3項(xiàng)。求出二=9, Tn .1 = O(h

24、)五.解 按題意，所求擬合函數(shù)應(yīng)形如 p(x)二ax bx 2其最小二乘擬合誤差平方和為、：2 = 7i =02 2(ax i bx i - y i)為使其達(dá)到最小，應(yīng)令(2)2)。代入數(shù)據(jù)后得出30a 10017-2。解出a,b，即得所求100a+354b = 55擬合函數(shù)為 p(x)二0.94968X-0.112903。最小二乘擬合誤差、2 二 0.00523 或、2 工 0.0046。六.(10)、填空(每空2分)(1)50.0050.0000102;C2(2)40;(3) 2x14(4)6715+5碼;(5) 3+2 ;(6) a(W) ; (7)a Y 1(8)0 Yh Yo.02二

25、、推導(dǎo)計(jì)算1. 解：(待定參數(shù)法)：根據(jù)節(jié)點(diǎn)條件及多項(xiàng)式性質(zhì)，設(shè)所求函數(shù)為H(x)二 f (0)f0,1(x-0)f0,1,2( x-0)(x-1) A(x-0)(x-1)(x 2)代入導(dǎo)數(shù)條件，求出A=132.H(x)=x3 1設(shè)余項(xiàng)為 R(x)二 f (x)-H(x) = K(x)x(x-1)2(x-2) 當(dāng) x 1,2且不同于0,1,2時(shí),構(gòu)造關(guān)于變量t的函數(shù)g(t)二 f (t) -H(t)-K(x)t(t-1)2(t -2)-此函數(shù)是充分光滑的，且有零點(diǎn):0,1,2,x(1 是 2重零點(diǎn))-在4個(gè)零點(diǎn)的3個(gè)區(qū)間上反復(fù)運(yùn)用Rolle定理，可知至少有一倚賴于0, 1, 2，x的點(diǎn)'

26、;，使f(巴)g()二f ()-4!K(x) =0二 K(x)二 于是4!f(心4)R(x)二 f(x)-H(x)x(x-1)2(x-2),(0,2)4!本題H(x)的推出也可以用1重節(jié)點(diǎn)的差商表方法；2直接設(shè)為3次多項(xiàng)式一般式，代入 條件建立方程組求出。2解：由過(guò)原點(diǎn)條件，可知擬合函數(shù)形如：y(x)二 ax bx2故需按最小二乘法定義來(lái)推導(dǎo)。32設(shè)最小二乘擬合誤差為、：2 = a y(xj-要使其為極小，必需符合i =0蕊232=2遲宓+bXj-yJXi =0i ：ZQ|c62132=2送(aXi +b為-yJXi2 =0cbi=0可得法方程30100100惘=嚴(yán)-解之得 a=0.94968

27、,b=-0.112903354也552y(x) =0.94968x -0.112903X32' 2 八y(xj-比=0.005226或0.0046i =03 .解：設(shè)(x) -(x-x0)(x-xj 為區(qū)間0 , 1上帶權(quán) X 的正交多項(xiàng)式，于是應(yīng)有1 .I0、x，(x)dx = 0510t積分展開并令 x0 為=v,滄為=u解相應(yīng)方程組得 u ,v =7xco(x)xdx=0219105由韋達(dá)定理，知 x°, X1是方程x x0的根。921于是可求出 冷一 0.821162 再由此積分公式對(duì) f (x) =1,f(x)二X精確成立得嚴(yán)=0.289949=°、xdx

28、 = A0 A3 A0x0A1x1解之得A0"389111本題也可利用Gauss代數(shù) A =0.277556精度要求展開，直接解一個(gè) 4元非線性方程組。三、證明 1 .證 A是一對(duì)稱陣我們令其順序主子式j(luò) a1-a2>0, ® =detA=1 2a3-3a2>0聯(lián)立解之得一a 11a Y 1此條件下，A對(duì)稱正定，G-S法收斂。2對(duì)Jacbi法，求出其迭代陣為_0-aJ = a0-a令 det(A 1 - J)=(幾 一a)2(k + 2a) = 0于一a一a0 一1i是可知，當(dāng)-(J) = 2a <1，即a 時(shí)，雅可比法才收斂。12. (a)即 f(x)=

29、a-，其牛頓迭代格式為 Xk 1=兀(2 -axk),(k =0,1,2，a = 0)x(b)顯然，迭代函數(shù)為 (x) = x(2 ax)7 (- -.-即是:(x)的不動(dòng)點(diǎn)。a a a容易求出： V)=0, ：/()=-2a -0 所以該迭代公式是二階收斂的aa3.證此方法的局部截?cái)嗾`差hTn 2 =y(Xn 2h) (b -1)y(Xn h) -by(Xn) - ：(b 3)y/(Xn 2h) (3b 1)區(qū))4將其各項(xiàng)函數(shù)在xn處泰勒展開并合并同類項(xiàng)得137Tn .2(b 1)h3y/(Xn)-(b)h4y(4)(Xn) O(h5)-于是，當(dāng) b 1 時(shí)3 8 241Tn 2 - -(b

30、 1)h3y/ (Xn) O(h4)，方法是 2 階的； 當(dāng) b - -1 時(shí)32 7Tn 2 =(ub)h4y(Xn) O(h5)，方法是 3 階的。824一填空題(每空2分，共40分)1.20.025 或 0.02162.303.一 |(X1)(X_2),327 L21194.X -x 52xX4_ 555.0.280.390.290.826.Hj二 D(L U), HG_S=(D -L)U7.18.I A 11l = 3_ ,II A|"9、29 16.32Xk - f(Xk)00、23、10. L =210,U =01-4<3-5h024 9.xk 1= xk1 - f

31、 '(Xk)、計(jì)算題(每空10分，共50 分)(1) =1 ,1 .求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足：P(0) =0 , P' (0) =0 , P(1) =1 ,P(2) =1，并寫出其余項(xiàng)表達(dá)式。解：由題意 P(x) = x2(ax2 + b x + c )，由插值條件得方程組a b c = 14a 3b 2c = 14(4a 2b c) = 1求解，得 a = 1/4 , b= - 3/2 , c = 9/4。所以2 1 23 丄 9P(x) = x2( x2 x )3 241插值余項(xiàng)為 R(x) f ()x2(x-1)2(x-2)5!12. 若用復(fù)合梯形公

32、式計(jì)算積分o exdx，問(wèn)區(qū)間0, 1應(yīng)分成多少等分才能使截?cái)嗾`差不超1上過(guò)一10“ ？若改用復(fù)合辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度區(qū)間0,1應(yīng)該分成多少等分？由2下表數(shù)據(jù)用復(fù)合辛普森公式計(jì)算該積分。x00.250.50.751x e11.281.642.112.71解：由于f(x)二ex，貝U f "(x)二f(x)二ex在區(qū)間0,1上為單調(diào)增函數(shù)，b-a=1，設(shè)區(qū)間分成n等分，則h=1/n.,故對(duì)復(fù)合梯形公式，要求b a2''*1121_5*RT(f) =|h f ( )|() e 10 ,(0,1)1212n 22 e5即n2105, n 一 212.85，因此n=2

33、13，即將區(qū)間0,1分成213等分時(shí)，用復(fù)合梯形6計(jì)算，截?cái)嗾`差不超過(guò)1 10。2若用復(fù)合辛普森公式，則要求農(nóng)=!-180 <2丿1(丄)皂_丄10* ,n 2180 24(0,1)4 e 4n10 , n 一 3.7066，因此n=4，即將區(qū)間0,1分成8等分時(shí)，用復(fù)合梯形計(jì)算,1441 上截?cái)嗾`差不超過(guò)一 10。2h 4S4(h)二' f(xj 4f(xk J f(XkJ二6心迭0.5(f(x。)4f(xJ f%) f(X2)*f(X3) f(X4) =1.7125610.40.43.線性方程組 Ax=b，其中 A= 0.410.8 , b=1,2,3T , (1)建立 Ja

34、cobi 迭代'0.4 0.81 一法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2)問(wèn)Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收斂嗎？解:(1) Jacobi迭代法的分量形式花皿=(1-O.4X2-0似3角X2(k1) =(2-0.4為("-0.8x3(k),k= 0,1,2,，x(0)為任意初始值。(k 1)(k)(k)X3(3 0.4X- - 0.8x2 )IGauss-Seidel迭代法的分量形式'x!(k+(0.4x2(k0.4x3(k)X2(k1) =(2-0.4%* ° -0.8x3(k) ,k =0,1,2，x(0)為任意初始值。X3(k1) =(3-0.4x1(k1) -0.8x2(k1)Jacobi迭代法的迭代矩陣廣0 0.4-0.4Bj =D(L +U)= 0.40-0.80.4-0.80| I -Bj |= (，-0.8)( 208 -0.32)：(Bj) =1.09282031，故 Jacobi 迭代法不收斂。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣0-