浙大《概率論》試卷

1、概率論試卷（一）一、填充題（每空格3分）1.若,則P(AB)_P(B).2.設(shè)服從參數(shù)為的普阿松分布,P(=1)=P(=3),則=_.3.設(shè)N(0,1),i=1,2,n; 相互獨立.則_(n)分布.4.設(shè),互不相關(guān),則Var(2-)=_.5.參數(shù)=1的指數(shù)分布的特征函數(shù)是_.二、是非題（每小題3分）（先回答對或錯再簡述理由）1.設(shè)(,)為連續(xù)型隨機向量,如果聯(lián)合密度等于各自邊際密度的乘積,則,相互獨立.2.隨機變量,相互獨立的充分必要條件是E()=EE.3.設(shè)為獨立同分布隨機變量序列,N(a,),=,則也服從N(a,).4.設(shè)隨機變量與的特征函數(shù)分別為與f (t). 若f (t),(n),則.

2、三、（16分）設(shè),相互獨立，均服從p(x)=.（1）求U=+與V=/(+)的聯(lián)合密度；（2）判斷U與V是否獨立；（3）求V的密度函數(shù).它服從怎樣的分布？四、（16分）已知(N(1,0;.（1）寫出的特征函數(shù)與密度；（2）求E,Var；（3）求Cov()；（4）與相互獨立嗎？為什么？五、（10分）某商店某種食品一塊從上柜到銷售出去時間（天）服從參數(shù)為=1/3的指數(shù)分布.若一塊這種食品六天內(nèi)賣不出去，就要另行處理，不能再賣.該店每天新上柜這種食品100塊，求（六天后）平均每天另行處理的這種食品的數(shù)量.六、（8分）設(shè)相互獨立，P, P,P, k=1,2,. 求證：.七、（15分）(1)設(shè)，求證：.

3、(2) 設(shè)（常數(shù)），求證.八、（8分）設(shè)的密度為，n=1,求證：概率論試卷（二）一、填充題（每空格3分）1.古典概型是具有條件_的隨機試驗?zāi)Ｐ?2.設(shè)(,)N(0,1;1,4,0.5)，則,分別服從_.3.設(shè)的特征函數(shù)分別為,相互獨立. 則()的特征函數(shù)為_.4.從1,2,3,4,5五個數(shù)字中任取三個，所得號碼中最大的為, 則的分布列為_.二、是非題（每小題3分）（先回答對與錯，再簡述理由） (1)設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為p(x)=，則=1-2的密度為q(y)=. (2)Var=1,Var=4,則Var(2+)=8. (3)(t)=sint是某隨機變量的特征函數(shù). (4)設(shè)分布函數(shù)與F(x)對應(yīng)

4、的特征函數(shù)分別為與f (t)，若則f (t).(n).三、（12分）甲乙兩廠獨立生產(chǎn)同類產(chǎn)品，生產(chǎn)一級品的概率各為.某店分別有甲乙兩廠的該類產(chǎn)品3件與7件.（1）求它們都是一級品的概率；（2）在這10件中任取一件，求它是一級品的概率;（3）在這10件中任取一件，發(fā)現(xiàn)是一級品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率.四、（10分）隨機變量的分布列為P(=2k)=3 /,k=0,1,2,.（1）求E；（2）求的特征函數(shù).五、（17分）()的聯(lián)合密度為p()=.求：（1）與的聯(lián)合密度；（2）的密度；（3）E()；（4）Var().六、（12分）設(shè)相互獨立，都服從正態(tài)分布N().（1）寫出其聯(lián)合分布的密度函數(shù)；（2）求

5、證：服從正態(tài)分布N(n);（3）求證：對任意正交變換U，=U（其中=(）各分量也相互獨立，同方差.七、（15分）（1）正確敘述并證明林德貝格勒維中心極限定理.（2）某種電子元件使用壽命服從=0.1（單位（小時）的指數(shù)分布.一個元件損壞后第二個接著使用.求100個這類元件總計使用時間超過900小時的概率.八、（10分）設(shè)為相互獨立的隨機變量序列，成立中心極限定理. 則它服從大數(shù)定律的充分必要條件是=o(1)，試證明之.概率論試卷（三）一、填充題（每空格3分）(1)若P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 則當(dāng)A與B相互獨立時，P(B)=_, P(A-B)_.(2)設(shè)Var=4, Var=9,

6、相關(guān)系數(shù)=1/4, 則Var(2+5)=_.(3)設(shè)B(n,p)，則的特征函數(shù)為_.(4)獨立同分布，E=a,Var=, 則林德貝格勒維中心極限定理是說：_.二、是非題（每小題3分）（先回答“”或“”，再簡述理由）(1)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為F(x)，則對任意常數(shù)a，P(=a)=0.(2)若Var(Var+Var，則與不獨立.(3)設(shè)隨機變量,的特征函數(shù)分別為,. 若隨機向量(,)的特征函數(shù)f(t,t)=, 則,相互獨立.(4)設(shè)隨機變量,的分布函數(shù)分別為(x)與F(x)，特征函數(shù)分別為與f(t). 若f(t), (n), 則.三、（10分）隨機變量N(a,). (1)求證+bN(ka+b,)

7、，(k0);(2)求的密度函數(shù).四、（17分）()的聯(lián)合密度為p(x,y)=，(1)求邊際密度；(2) 求E,E及COV().五、（8分）某人每月收入服從600,1200上的均勻分布. 當(dāng)月收入超過800元時應(yīng)交個人收入調(diào)節(jié)稅. 問此人平均每年有幾個月要交該項稅款？六、（8分）隨機變量的分布列為P(=k)=2/,k=0,1,2,.(1)求E; (2)求的特征函數(shù).七、（10分）設(shè)為兩列隨機變量，0). 求證.八、（20分）設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，都服從U-1,1. 求證:(1)依分布收斂于N(0,1); (2)依分布收斂于N(0,1).浙江大學(xué)2003 - 2004學(xué)年第一學(xué)期期末考試概

8、率論課程試卷開課學(xué)院：_ 任課教師：_姓名：_ 專業(yè)：_ 學(xué)號：_考試時間：_分鐘題序一二三四五六七總分得分評卷人簽名一、（15分）給出下列定義1 1 概率的公理化定義答：為樣本空間，為事件域。概率是定義在上的實值集函數(shù)：, 并且滿足下列條件：（1）（非負性）對任一；（2）（規(guī)范性）；（3）（可列可加性）若是中兩兩互不相容的事件，則。 -(5分)2 2 隨機變量答：設(shè)是定義在概率空間上的單值實函數(shù)，且對于上的任一波雷爾集有就稱為隨機變量。-（5分）3（弱）大數(shù)定律大：設(shè)是定義在概率空間上的隨機變量列，如果存在常數(shù)列和使得則稱服從（弱）大數(shù)定律。-（5分）二、（14分）投擲次均勻硬幣，求出現(xiàn)正反

9、面次數(shù)相等的概率。解若為奇數(shù), 顯然, 出現(xiàn)正反面次數(shù)不可能相等, 故所求概率為0；若為偶數(shù),“出現(xiàn)正反面次數(shù)相等”等價于“出現(xiàn)正反面次數(shù)各次”，投擲次均勻硬幣，可以看作伯努里概型，故這時概率為：。故所求為：。三、（15分）設(shè)隨機變量具有對稱的分布密度函數(shù)，即，記它的分布函數(shù)為。證明對任意的，有（1）；（2）；（3）。解（1）由于, 故，因而，即證（1）式；-（7分）（2）由（1）式，即得（2）式；-（4分）（3）由（2）式，即得（3）式。 -（4分）四、（14分）設(shè)為次獨立試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，若已知第次試驗時事件出現(xiàn)的概率為，求。解記，則由題意，。-（6分）顯然：，由期望，方差性質(zhì)：-（8

10、分）五、（14分）已知隨機變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為0。解由于-（6分）-（4分）注意到與的相關(guān)系數(shù)為，故-（4分）六、（14分）設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，記，求與的聯(lián)合密度，并證明它們之間相互獨立。解作變換，得，其雅可比行列式為， -（4分）則的聯(lián)合概率密度函數(shù)為-（8分）為可分離變量，故與相互獨立。-（2分）七、（14分）設(shè)是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記通過計算的特征函數(shù)證明服從中心極限定理。證：由于是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故其特征函數(shù)為-（4分）由特征函數(shù)性質(zhì)，的特征函數(shù)為：，故的特征函數(shù)為：。-（4分）根據(jù)級數(shù)

11、展開，可得由逆極限定理，證畢。-（4分）概率論試卷（五）一、填充題（每空格3分）(1)概率論的公理化定義中，概率是_.(2)設(shè)()N(0,1;1,4,1/2)，則COV()=_.(3)設(shè)營業(yè)員在單位時間接待顧客數(shù)服從參數(shù)為的普阿松分布，則該營業(yè)員在接待兩位顧客之間的“等待時間”服從_分布. (4)設(shè)_, 則t=t(n)分布.二、是非題（每小體3分）（先回答“”或“”，再簡述理由）.(1)若一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則5次重復(fù)獨立試驗中事件A至少發(fā)生兩次的概率為.(2)設(shè)相互獨立，則它們兩兩不相關(guān).(3)f(t)=1/(1是某隨機變量的特征函數(shù).(4)設(shè)N(0,1), N(1,4)，相關(guān)系

12、數(shù)=1/2，則()N(0,1;1,4,1/2).三、（18分）隨機變量的密度函數(shù)為p(x)=, .(1)求的密度；(2)求的密度；(3)求E； (4)求Var;(5)求概率P().四、（10分）5張卡片上各寫號碼1,2,3,4,5. 有放回地抽出3張卡片，求其上號碼總和的數(shù)學(xué)期望和方差五、（12分）設(shè)隨機向量()的聯(lián)合密度為p(x,y)=), .(1)求證與相互獨立；(2)判斷各自服從什么分布（密度，名稱）？六、（8分）某計算機系統(tǒng)有60個終端，每個終端有40%的時間在試用；若各終端使用與否是相互獨立的，求同時有多于40個終端在使用的概率. 已知: x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

13、1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（8分）設(shè)f(t)是特征函數(shù)，求證與|f(t)也是特征函數(shù).八、（8分）設(shè)獨立同分布，密度為 p(x)=，.求證:.九、（12分）設(shè)和是一列隨機變量，求證：(1)如果，則；(2)如果，(c為常數(shù))，則.概率論試卷（六）一、填充題（每空格3分）(1)設(shè)事件ABC，則P(A)+P(B)_1+P(C).(2)若Cov()存在，則對任意常數(shù)a,b，Cov(a)=_.(3)設(shè)為獨立同分布隨機變量序列，N(a, ),.則_.(4)關(guān)于的方差和數(shù)學(xué)期望之間的關(guān)

14、系式切貝曉夫不等式是指_.(5)在1500件產(chǎn)品中設(shè)有100件次品，任取10件，則抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_.二、是非題（每小題3分）（先回答“”或“”，再簡述理由）(1)某人射擊，每次中標的概率為p. 連續(xù)射擊，擊不中即停，限射5次. 則他射擊次數(shù)服從參數(shù)為p的幾何分布.(2)Var(-)=Var+Var的充分必要條件是與互不相關(guān).(3)設(shè),的特征函數(shù)分別為(t)與(t)，且它們聯(lián)合分布的特征函數(shù)f(，則,相互獨立.(4)設(shè)隨機變量,的分布函數(shù)分別為與F(x)，若F(x)，則.三、（21分）設(shè),相互獨立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布.(1)寫出(,)的聯(lián)合密度和聯(lián)合分布函數(shù)；(2)計算P(+1)；

15、(3)求=max(,)的密度；(4) 計算E；(5)計算Var()；四、（7分）設(shè),的數(shù)學(xué)期望都為0，方差都為1，兩兩間相關(guān)系數(shù)都為.求與的相關(guān)系數(shù).五、（13分）設(shè)(,)的聯(lián)合密度為p(x,y)=exp,-x,y0，P(|x).七、（15分）(1)正確敘述并證明林德貝格勒維中心極限定理；(2)某校共學(xué)生1200名，假定一學(xué)生連續(xù)不斷用水一小時需水1/2噸. 問每天用水高峰時每小時要供應(yīng)多少噸水才能有95%的把握保證學(xué)生用水？（已知(1.65)=0.95）（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）.八、（10分）隨機變量序列,相互獨立，都服從N(0,1)分布，為常數(shù)列. 求證：的充分必要條件是.概率論試卷（七）

16、一、填充題（每空格3分）(1)同類產(chǎn)品10件，內(nèi)含3件次品. 從中任取5件，得次品數(shù)為2的概率是_.(2)設(shè)Var=Var=Var(-2)=1, 則COV(,)=_.(3) 設(shè)f(t)=q+p，(q=1-p,0p1). 則f(t)是分布_的特征函數(shù).(4)對隨機變量序列，如果_，就稱服從中心極限定理.二、是非題（每小題3分）（先回答“”或“”，再簡述理由）(1)設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為p(x)=，則的密度為q(y)=(2)若互不相關(guān)，則相互獨立.(3)若f(t)是實的特征函數(shù)，則f(t)一定是偶函數(shù).(4)設(shè)的特征函數(shù)分別為與f(t). 若，則f(t), (n).(5)設(shè),為任意兩個隨機變量，則E()=EE.三、（16分）設(shè)(,)聯(lián)合密度為p(x,y)=，(1)求常數(shù)A；(2)求邊際密度函數(shù)；(3)判斷,是否獨立；(4)求P().四、（8分）隨機變量服從-1/2,1/2上的均勻分布，=sin. 求E,Var.五、（12分）隨機向量服從聯(lián)合正態(tài)，E= E=0, E=1,Var=4,Var= Var=1, =1/2, =-1/2, =0.又設(shè)=-,=+，求：(1) (的分布；(2) (的分布；并問,是否獨立？(3)