第二冊上冊第六章第3節(jié)不等式的證明(文)

1、課程信息年級高二1學科數(shù)學1版本 人教版內容標題不等式的證明編稿老師李美臣【本講教育信息】一.教學內容：不等式的證明教學目標1. 掌握不等式證明的作差比較法和作商比較法。2. 在熟悉一些常用基本不等式的基礎上，掌握不等式證明的綜合法；3. 掌握分析法證明不等式的要求和格式；一'4. 通過本節(jié)內容的復習，提高同學們的化簡意識、變形意識，拓寬解題思路，提高推理 論證能力。二.重點、難點：1. 教學重點：理解并掌握不等式證明的三種方法。即：比較法、綜合法、分析法。2. 教學難點：正確理解三種證明方法的證題思想，準確把握證明步驟和書寫格式?！纠}分析】'(一)比較法：比較法有作差比較法

2、和作商比較法兩種。1. 作差比較法：一般適用于具有多項式結構的題目。其步驟是：作差一一變形一一判斷差的符號(與0比較大小)。2. 作商比較法：一般適用于不等式兩邊恒為正且具有乘積式幕指數(shù)結構的題目。其步驟是：作商一一變形一一判斷商與1的大小。例 1.已知：x，y 忘R，求證：X2 -xy +y2 >x +y -1解析：0比大小。這個不等式兩邊是多項式結構的，因此可采用作差比較法，最后的結果與2 , 2 ,.x -xy 十y -X -y +1=x2 -X +y2 -y -xy +12x2 -2x +2y2 -2y -2xy +2=1X2 -2x +1 +y2 -2y +1 x2 +y2 -

3、2xy _22(X1 嚴(y 訐 +(xy)2_1_2(X -1 f >0, (y -1 2 >0, (X -y j >0寸収-1；2 +(y -1；2 +(x-y)2>022/. X -xy +y 壬 +y -1說明：采用作差法證明不等式，作差后經(jīng)常采用配方的辦法，判斷結果與0的大小。例 2.已知：a 二b 二c：>0,求證：a2ab2bc2c 3ab*bc%a解析：此題具有積的結構，且兩邊恒為正的不等式。因此，采用作商比較法，最后的結果與 比較大小。、a2ab2bc2c證明： 一喬飯a b c_a2a _(b He) b2 b 工卡)c2c_(fe)= a(a

4、 上)*a_c)，b(b)+b_c) 9)十c)*a>b >c0ab”".一工1,工1,bca>1, a -b >0, cb c >0, a 二c >0W<c7八 2a .2b又- a'b2a, 2b 2c/. a b c>12c _ b 書.c* c >0, a b_ b -fe . c -b a -fe >a b c宀0、b -Cwww.chijiaedu.cani第3頁 版權所有 不得復制說明：在上述討論中，要求必須對指數(shù)函數(shù)的性質清楚。2 2例3.已知：ab0,求證：需芽解析：根據(jù)已知條件及要證的不等式的結構

5、，既可以用作差比較法也可以用作商比較法。a2 -b2 a -b證法一：二一r -a2 +b2 a+b(a-b 犯a+b )2 (a2+b2 )_(a2 +b2 j(a +b)(a2 +匕2 Ja + b ) 2ab(a-b )丸原不等式成立證法二:a +ba -b左邊_a2 -b2右邊"a2 +b2原不等式成立(二)綜合法：就是從已知的不等式出發(fā)，用必要條件代替前面的不等式，直至推出欲證的 不等式。若 a, b<R，則 |a>0, a2>0, (abf>0; 若 a, b 忘R，貝U a2 +b2 >2ab;若 a, bR +則 a+ b >2;b

6、 a若 a, b >0，則一+ >2。a b常用的重要不等式有：(1)(2)(3)1 1 1例 1.已知：a；>0, b：>0 , caO,且 a+b+ c=1,求證：一 +- + - >9 a b c解析：要證此不等式，應充分使用已知條件， 同時改變要證不等式左邊的現(xiàn)狀，使之可以運算且大于或等于9。1 1 1證明： +a b c= a+b+c +a+b+c+a+b+cccc丿 Vb cJ -b+a +£ +£ b b c + it+a'、a>3 +2 +2 +2 =91 1 1. - +- +- >9a b cab c =

7、3 +- +-a ae a = 3+1 + 'a b/QQQ例 2.已知：a、b、c為MBC 的三邊，求證：a +b +c cZgb+bc + ca)解析： a、b、c 為 ABC 的三邊，可以挖掘出a、b、c均為正數(shù)，且a<b+c, b<a+c, c<a+b，在此基礎上我們再構造b、c。_ _證法一：在 ABC中，a、b、c為三邊 a<b+c, b<a+c, c<a+b”a2 va(b +c , b2cb(a+cc2 vc(a +b)2 2 2/. a +b +c va(b+c) + b(a+c ) + qa+b )即 a2 +b2 +c2 2但b

8、 +bc + ac)證法二：在 ABC中，a、b、c為三邊”|ab|<c, |b-c|ca, |ad£b孑、<c2, (b-cy <a2, (a-cj cb2 + (b -c；2 + (a -c)2 <a2 tb2 +c2 +c2 <2(ab +bc +ac)說明：由a、b、c是 ABC的三邊，挖出a、b、c均為正，且兩邊之和大于第三邊，兩 邊之差小于第三邊，來供求證明使用。例3.已知:a、求證:b、c是不全相等的正數(shù)。,a +b 丄,b +c 丄,a +c,丄,ig+ ig+ ig>lg a + Ig b + Ig c2 2 2分析:由于要證的不

9、等式兩邊均為以込也 Algabc。10為底的對數(shù)，所以逆用對數(shù)運算法則，這個不等式應等價于ig2 2 2又以10為底的對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)a+b b+c a 中c二它又等價于丁丁沁www.chijiaedu.cani第4頁版權所有不得復制證明：/ a、b、c是不全相等的正數(shù)a +b>705 A 0<1 >>Vb >0<2>>va >0<3 >r 2b +c2a +c2 a、b、c是不全相等的正數(shù) <1><2><3>式中至少有一個不取“=”號a +b b +c a +c ,/.” '>

10、abc2 2 2給上式兩邊同取以10為底的對數(shù)_.a +b a +c b +c """"Ig>lg abc2 2 2r a +b b +c a +c即 Ig +lg +|g>lg a +lg b +lg c -(三)分析法：分析法就是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式問題轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能肯定這些充分條件都已具備，那么就可以判定原不等式成立。分析法的特點：執(zhí)果索因叩-例 1.已知：a、b、c、d 亡R=-求證：Ja2+b2Yc2+d2織(a+ c j +(b+ d R解析：分析法有兩

11、種書寫格式：(1)使用“連接”關鍵詞，如“為了證明” ，“只需證明”，“即證”等。(2 )全部使用逆推符號“ U ”。證明： Ja2 +匕2 +Jc2 +d2 3J(a +c+(b +du (Ja2 +b2 +寸c2 +d2 ) >(a + c +(b+du (a2 +b2 Jc2 +d2 )>ac+bd a, b, c, d 迂 r + )2 2 2 2 2 u(a +b Ic +d )3(ac + bd) u b2c2 +a2d2 >2bcad即(be-ad 2 >0顯然成立所證不等式成立例2.已知：50,求證：茫嚴<琴皿<&料解析：這是一個含兩

12、個不等號的連不等式，因此得分別證明兩個不等號都成立。先證:小_腹 Ja-b)228b證明：aAbAOa +b'要證：罟f只需證：a+b -2阿c（a bi，從而4b2只需證：0吒（ja - jb < （a b L，從而'' 4b只需證:va -Tb c 土，從而2Jb只需證：只需證：即 a + b ;>2 jab2jaB2b<；ab，從而a -2VaB +b ;>0,'a Ab0 ”*+13>275成立2 - 成立28b另一部分a： b' <_ jOb留給學生自己，證。8a2同時，練習一下書寫格式?！灸M試題】1. 已

13、知：2. 已知：求證:a,b 亡R中，求證：a5 +b5 >a3b2 +a2b3x、y、z是互不相等的正數(shù)，且 x+y+ z =1。 |勺_1|匕_1 丫1 _可>8'、乂 八尋 皿）F13.已知:a2 +b2 +c2 =1，求證:4.已知：a,b亡R十且a Hb，求證:I1一一 <ab +ac +bc <12a3 + bS-a2b +ab2 （要求用三種方法）求學曲三亍條件是：實觀療=爹吃苦、寥硏究力1www.chijiaedu.cani第9頁 版權所有 不得復制【試題答案】1.這是一個多項式結構的不等式，顯然是用作差比較法。 丄亠 x2.先把每一個小括號內的

14、兩項通分看看，即1 _X 1 n，再把1換為y zx+y+z1y +z 2爐1 =>XXX1X +z 27XZ一 一1 =>y yy1X +y2 阿1 =>zzz>0<1>>0<2 >>0<3 >/ X、y、z均為正數(shù)且 X+y+z=1110 <x <1, ”". 一 >1, ”". 一 一1 >0XX11同理，丄_1>0,丄_1>0yz則<1> X <2> X <3>可得出要證的不等式:GT J1->83.先證 ab +bc +ac <a2 +b2 +c2 =1 由重要不等式：a2 +b2 >2abb2 +c2 >2bca2 +c2 >2a