整式的概念講義1份

1、整式的概念一、知識概述用字母表示數(shù)是人類認識的一個重大進展，用字母表示數(shù)是代數(shù)的基礎.本周的教學就是從用字母表示數(shù)開始的，通過探索體會用字母表示數(shù)以及代數(shù)式的意義，在具體情境中，進一步理解字母表示數(shù)的意義，用代數(shù)式 表示實際問題，發(fā)展符號感在具體情境中，求出代數(shù)式的值，并解釋它的實際意義；通過求代數(shù)式的值，感受 代數(shù)式求值可以理解為一個轉換過程或某種算法.理解單項式及有關概念；多項式及有關概念以及降幕排列和升冪排列.二、重、難點知識歸納及講解1、用字母表示數(shù)的意義用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個重要特點，有了用字母表示數(shù)的知識，使具有相同性質的不同數(shù)學問題可以用同一個式子表示出來：如，長方形的長為ac

2、m，寬為bcm，長方形的面積是 abcm2； 件商品的單價為 a元，買了b件，則總價為ab元；將一筆錢存入銀行，每月可獲利息a元，存了 b個月，則共獲利息 ab元，這里同用代數(shù)式ab，但它卻表示了不同的實際意義.用字母表示數(shù)，還可以使數(shù)量關系的表示簡潔明了，更具普遍意義，給 研究和計算帶來了極大的方便.女口：有理數(shù)的減法法則用文字敘述很麻煩，但用字母表示可表示成：a- b=a + (-b)，簡潔明了 又如有一組數(shù)據(jù)：0, 3, 8, 15, 24,按此規(guī)律，大家可以一直寫下去，但永遠也寫不完如果用字母表示，則第 n項可以記作n2- 1,這樣就使這一規(guī)律更具普遍意義.2、代數(shù)式的概念(1) 代數(shù)

3、式的定義：用運算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式所以代數(shù)式中可以有 ?！薄?”、“x、”“ +(或分數(shù)線)、乘方等運算符號，但不能有“=” “才“” “ <” “N”等符號另外，單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式如：a, 0, 1是單獨的數(shù)或字母，也是代數(shù)式，而2a=3, a>5由于含有“=和“”因此不是代數(shù)式(2) 書寫代數(shù)式時應注意以下原則： 代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號，通常寫作“或省略不寫，如6©常寫作6 b或6b.但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原則，如6 X8不能省略乘號，否則就寫成了68，也不宜將“刈和為“ ，”否則就寫成了 6 8,容易與6.8混淆. 數(shù)字與字母相

4、乘時，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)又要寫在無理數(shù)前面，如6b 一般不寫作b6, 2 n¥不寫作 n 2r.1 除法運算寫成分數(shù)形式，如1P,通常寫作a (a0 . 相同字母相乘，一般不把每個因數(shù)寫出來，而是寫成幕的形式，如a a寫作a2, a a a寫作a3.3、列代數(shù)式在解決實際問題時， 常常先把問題中與數(shù)量有關的詞語用代數(shù)式表示出來即列代數(shù)式，使問題變得簡潔，更具一般性，但列代數(shù)式的關鍵是正確分析數(shù)量關系，弄清運算順序，掌握諸如和、差、積、商、倍分、大、小、 多、少、增加了，增加到，除、除以等概念.4、代數(shù)式的值及求法用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出的結果，叫

5、做代數(shù)式的值代數(shù)式的值一般不 是某一個固定的量，而是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化.求代數(shù)式的值應注意以下幾個問題：(1) 若代數(shù)式中省略了乘號、代入數(shù)值后應添上和(2) 若代入的值是負數(shù)或分數(shù)時，應添上括號；(3) 注意解題格式規(guī)范，應寫成 當時，原式=”的形式；(4) 代數(shù)式的字母可取不同的值，但所取的值不應該使所在的代數(shù)式或實際問題無意義5、正確理解單項式的有關概念(1) 單項式的定義數(shù)與字母的乘積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式，如6,a都是單項式因此，單項式只能含有乘法以及以數(shù)字為除數(shù)的除法運算，不能含有加減運算， 更不能含有以字母為除式的除

6、法運算(2) 單項式的系數(shù)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)，如一2xy( 20 5t) cm (t w)3JS J的系數(shù)為一2單項式的系數(shù)為1或一1時，通常省略不寫，但"號不能省略.如lab寫成ab, lab寫成-ab.(3) 單項式的次數(shù)一個單項式，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).如5x2y4的次數(shù)為6(2 + 4=6). 個單項式的次數(shù)是幾，我們習慣上又稱作這個單項式是幾次單項式.如5x2y4是六次單項式單項式中字母的指數(shù)為1時，1省略不寫，但計算單項式次數(shù)時不能丟掉，或誤認為是0.如5xy2的次數(shù)是1 + 2=3，而不是2.6、理解并掌握多項式的有關概念(1) 多項式的

7、意義由幾個單項式的和組成的代數(shù)式叫做多項式.多項式中含有加減運算，也可以含有乘方，乘除運算，但不能- + i-l含有以字母為除式的除法運算，如.不是多項式.(2) 多項式的項在多項式中，每個單項式叫做多項式的項.其中，不含字母的項，叫做常數(shù)項.常數(shù)項在多項式中次數(shù)最低.多項式有幾項，我們習慣上又稱為幾項式”如2是二項式.(3) 多項式的次數(shù)多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).如x2+ 1 3x4的次數(shù)是4因x2+ 1 3x4是由單項式x2, 1,3x4三項組成的.因此，x2+ 1 3x4又可稱作 四次三項式”.7、多項式的排列(1) 升幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順

8、序排列起來，叫做多項式按這個字母的升 冪排列.(2) 降幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做多項式按這個字母的降 冪排列.8、整式的意義單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.整式中不能含有以字母為除式的除法運算.三、典型例題解析 例1、下列各式中符合代數(shù)式的書寫格式的是()3-xA (x + y) -zB -C a2nD -分析：A、(x + y)應寫成分數(shù)的形式；1B、3-x中前面的數(shù)字應寫成假分數(shù)；C、 a2 n中，n是數(shù)，數(shù)與字母相乘，數(shù)寫在字母前面，應寫作n 2. 解答：D例2、用代數(shù)式表示：(1 )比x大5的數(shù)的20% ;(2) 與5a的差是b的2倍的數(shù)；(3) a

9、、b、c三數(shù)的積與a、b、c三數(shù)立方和的差；(4 )被3除余1的數(shù);(5) 百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是5，個位數(shù)字是b的三位數(shù). 分析：(1) 比x大5的數(shù)記作x + 5，將x + 5看成一個整體放在數(shù)字 20%的后面，表示成20% ( x+ 5);(2) 本題是已知減數(shù)與差，求被減數(shù)，用加法，故本題答案為5a+ 2b;3) 三數(shù)立方和指 a2 順水行駛時間為一小時，逆時行駛時間為一小時，因此，往返一次共需(- + 一)小時. 若某戶居民月用水 30噸，則應交水費 20X0.5 + 0.8(30 20)=10 + 8=18 (元)若月用水 x 噸(x>20 )，則應交水費 20X0.5+

10、0.8(x 20)=10 + 0.8x 16=(0.8x 6)(元)例4、當x=7時，代數(shù)式ax3 + bx 5的值為7,當x= 7時，代數(shù)式ax3 + bx+ 5的值為多少？ 分析：把x=7代入條件中不可能求出a、b,但可以把ax3 + bx作為一個整體來看，用整體代入的方法可以求值.解：把 x=7 代入 ax3 + bx 5,得：343a + 7b 5=7. 343a+ 7b=12. + b3 + c3,故表示成abc (a3 + b3 + c3),其中括號，千萬不能省略；(4) 被3整除的數(shù)即3的倍數(shù)，可以記作3n ( n為整數(shù))，而被3除余1的數(shù)可以記作3n+ 1 ( n為整數(shù))， 當

11、然也可以記作 3n 2 (n為整數(shù))；(5) 這個三位數(shù)中，a表示100a, 5表示50,個位數(shù)字b就表示b,故此數(shù)可表示為 100a+ 50 + b, 般的n 位數(shù)- ' r -/， 1： 一小“解答：(1) 20% ( x+ 5)(2) 5a+ 2b(3) abc (a'+ b'+ c')(4) 3n+ 1 (或3n 2)( n為整數(shù))(注意：不能忽略條件“n為整數(shù)”)(5) 100a+ 50+ b例3、用代數(shù)式表示：(1) 濃度為20%的鹽水a(chǎn)千克，加鹽 m千克后鹽水濃度為 ;(2) 一根蠟燭長為20cm，點燃后每小時燃燒 5cm,燃燒t小時后蠟燭的長為

12、;(3) 輪船往返相距 S千米的A、B兩地，輪船在靜水中每小時行a千米，水流速度為每小時b千米，則往返A、B兩地一次需要 小時；(4) 某市為鼓勵市民節(jié)約用水，對水費作了如下規(guī)定：每戶居民月用水量不超過20噸，則每噸按0.5元收費，超過20噸，則超過的部分每噸按0.8元收費，若某戶居民某月用水30噸，則應交水費 元；若某戶居民每月用水 x噸(x>20)，則應繳納水費 元.分析：這些列代數(shù)式的問題都是為后來的學習作鋪墊，如要熟練掌握:落朝物囲質豈舷濃度=”，順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度”分段計費”等問題.解答：(1)原溶鹽中鹽為20% a千克，加入m千克鹽后，

13、鹽為(20%a + m)千克，溶液質量為(a+ m)千克，因此,當 x= 7 時，ax' + bx + 5= 343a 7b + 5= （343a + 7b） + 5= 12+ 5= 7.例 5、（ 1）已知 3x2 2y + 5=7，求 9x2 6y 3 的值.3依?一2 陽）m-2n 5（2 鹽 + 丹）h' 二 3 :f - 值 分析：求代數(shù)式的值，一般直接將字母具體的值代入，但該題x、y、m、n都無具體的值，一般采用整體代入法,觀察已知與所求，進行對比分析，通過共同點與不同點來尋找解題方法解答：(1)v 3x2 2y+ 5=7,. 3x2 2y=2原式=3(3x2 2y

14、) 3=3X2 3=3.（2）2牌+ 朋3原式-3x3-lx3- 5X-9-1-6-例6、若2xny4與是關于第的六次單項式，并且系數(shù)相等，求口"的值.分析：根據(jù)單項式的次數(shù)，系數(shù)的概念求解2 = -m2|m 2|=4解：因為 n + 4=2 + |m n|=6,故 n=2,由 2 + |m 2|=6, m=6 或一2.2=又由 二 得m=±2.綜合得m= 2, n=2.則 mn=( 2)2=4.例7、回答下列問題：(1) 如果(m+ 1)2x3yn1是關于x、y的六次單項式，則 m、n應滿足什么條件?(2) 如果2xn+ (m 1)x + 1為三次二項式，求 m2 n2的值.(3) 若多項式x2+ 2(k 1)xy + y2 k不含xy的值，求k的值.解：(1) 由(m + 1)2工0 且 3 + n仁6. m 1，且 n=4.(2) 由題意知，n=3且m仁0. m=1 , n=3當 m=1 , n=3 時，m2 n2= 8.(3) 由題意 k 1= 0 , k=1.3刊3十2加丄為-泅+1例8、把多項式-重新排列：(1)按字母a的升幕排