2021學(xué)年普陀一模(文)

1、第一學(xué)期普陀區(qū)髙三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研卷(文)2021.12每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.1. 若集合A = xx2-2x>0, B = xllx + ll<2),則.2. 設(shè)£、勺是平而內(nèi)兩個(gè)不平行的向量，若d=©+02與& = 疋1一02平行，則實(shí)數(shù)加=3. 在5AEC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a = 2, c = 2VJ, C =-，則34. 在(x-3)"的展開式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為27,則“ =.5. 若圓x2+(y-l)2 = 1的圓心到直線lH：x + ny = 0 ( n e TV*)的距離為則lim dn =.“

2、TOC6. 函數(shù)/(x) = log2(x-l) (1 < x < 2)的反函數(shù) fl(x)=.227. 已知橢圓+ = 1的左.右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為若經(jīng)過人的直線/與橢圓相交于4. 3兩點(diǎn),43則厶ABF“的周長等于.8 數(shù)列冷中，若絢=1, a + a =( n e ),則lim (a, +a +«.) =2"TRmoK9. 若函數(shù)f(x) = x + -9則不等式2 < /(x) < -的解集為x210. 如圖，正四棱柱ABCD-A.B.C的底面邊長AB=2,若異面直線A/與所成的角的大小為arctan|,則正四棱柱ABCD -的側(cè)而積為.11.

3、在數(shù)列"“中，=2, a”=44”+3 (/>2),則數(shù)列£的前項(xiàng)和S” =12. 已知全集"=1,2,3,4,567,8,在U中任取四個(gè)元素組成的集合記為A = a.a2a4,余下的四個(gè)元素組成的集合記為CuA = bb29b39b49若絢+a2+a3+a4 <bx +b2+b3+b4,則集合A的取法共有種.rr X13. 若函數(shù)/(A-) = l + xcos-,則/(l) + /(2) + - - + /(100)=.14. 已知函數(shù)/(x)=r 一"兀一，若方程fM+x=o有且僅有兩個(gè)解，/(x + l),x<0則實(shí)數(shù)a的取值范

4、圍是15. 若/(x)和g(x)都是左義在R上的函數(shù)，則“/與g(x)同是奇函數(shù)或偶函數(shù)”是“/(x)g(x)是偶函數(shù)”的()(4)充分非必要條件.(B) 必要非充分條件.(C)充要條件.(Q)既非充分又非必要條件16. 若a和b均為非零實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是()(A) 匕磐 n JF莎.(B)- + >2.2'a b(C) (“ + b)(- + ；) n 4.(D)- > (字)2.a b2217. 將函數(shù)y = f(x)的圖像向右平移巴個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)對(duì)應(yīng)的4表達(dá)式為y = 2sin2x,則函數(shù)/(x)的表達(dá)式可以是()(A) 2sinx

5、.(B) 2cosx.(C) sin 2%.(D) cos2x.M18H$(小個(gè).(B)2 個(gè).(C) 3 個(gè).(£>)4 個(gè).18. 若&( = 123,山)是所在的平而內(nèi)的點(diǎn)，且囲OB = OA西給出下列說法: I鬲1=1鬲1=1図1=1刃I：I囲I的最小值一立是I亦I：點(diǎn)A、人在一條直線上：向量頁及耳在向量頁的方向上的投影必相等.其中正確的個(gè)數(shù)是()寫出必要的步驟.19. (本題滿分12分)本大題共有2小題,第1小題滿分6分，第2小題滿分6分. 已知點(diǎn)P(29 0),點(diǎn)0在曲線C：y2 = 2x±(1) 若點(diǎn)0在第一象限內(nèi)，且IP0I=2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo):

6、（2）求IP0I的最小值.20. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 已知函數(shù) / （x） = cos2x + 2-3 sin xcosx（1）求函數(shù)/（X）的值域，并寫出函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間：jr4（2）若 0 <&<_,且 /（&） = _,計(jì)算 cos2<9 的值.6321（本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.如圖所示，一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí)，滴管內(nèi) 勻速滴下球狀液體，其中球狀液體的半徑尸=Vio毫米，滴管內(nèi)液體忽略不計(jì).（1）如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴

7、完，問每分鐘應(yīng)滴下多少滴？（2）在條件（1）下,設(shè)輸液開始后x （單位：分鐘），瓶內(nèi)液而與進(jìn)氣管的距離為h （單位：厘米），已知當(dāng)x = 0時(shí)，h = 3.試將力表示為x的函數(shù).（注：cnv = 1000滬）22. （本題滿分16分）本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分. 已知數(shù)列仗”中，q=3, q+q=32", neNl（1）證明數(shù)列"”2”是等比數(shù)列，并求數(shù)列©的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列©中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)：若不存在，請(qǐng)說明理由:(3) 若八且l<r<5,求證：使

8、得q, 5,匕成等差數(shù)列的點(diǎn)列0“)在某一直線上.23. (本題滿分18分)本大題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. 左義在(0,-HO)上的函數(shù)/(x),如果對(duì)任意xe(0,-Ko),恒有 f (kx) = kf(x) (k>2, k eN* ) 成立，則稱門兀)為k階縮放函數(shù).(1) 已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)xe(l,2時(shí)，/(x) = l + Ioglx,求/(2>/2)的值；2(2) 已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)xe(l,2時(shí)，f(x) = 2x-x2 ,求證：函數(shù)y =門兀)一兀在(1,8)上無零點(diǎn)：(3) 已知函數(shù)于(

9、刃為上階縮放函數(shù),且當(dāng)xw(l,R時(shí)，/(x)的取值范用是0,1),求f(x) 在(0,心山(neN)上的取值范圍.2013學(xué)年第一學(xué)期普陀區(qū)高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一. 填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.1. (-3, 0):2. -1；3. 4：4.3；5. 1；6. /-*(x) = 1 + 2r(x < 0)(不標(biāo)明定義域不給分);217. 8；8一：9. (-, 2)10.32：11. 4,r-/2-1 (e * )： 12.31：13. 150：14. a <2；32二. 選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題.每題選對(duì)

10、得5分，否則一律得零分.題號(hào)15161718答案ADCB三. 解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題.19.（本題滿分12分）本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.【解】設(shè)Q（x,y） （x>0,y>0） , / = 2x（1）由已知條件得IPQI= J（x_2）2 + y2 =22分將y2 = 2x代入上式，并變形得，x2-2x = 0,解得x = 0 （舍去）或x = 24分當(dāng) x = 2 時(shí)，y = ±2只有尤=2,y = 2滿足條件，所以點(diǎn)0的坐標(biāo)為(2, 2)6分(2) PQ = yl(x-2)2 +y2 其中 y2 =2x7分IP(2|2=(

11、x-2)2 +2x = x2-2x + 4 =(x-l)2 +3 (x>0) 10分當(dāng) X = 1 時(shí)，lPQlmin=d12分(不指出x>0,扌口 1分) 20.(本題滿分14分)本大題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.【解】(1) f(x) = cos2x + V3sin2x = 2sin(2x + )2 分6由于一2 S 2sin(2x + -) < 2,所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)橐?, 24分6由f 2k兀 S 2x H) S f 2k兀得f k兀 S x S + k/r26236所以函數(shù)/(勸的單調(diào)的增區(qū)間為+ keZ6分36(不寫k已Z、不扣分；不寫區(qū)

12、間，扣1分)(2)由(1)得，f(0) = 2sin(2O+ -) = -,即 sin(2& + ?) = ?8分6363其中-<26> + -<-得cos(2& + ?)>010分6 6 2 6所以 cos(20 + Z)= 11 分63cos2& = cos(2 + -)-l13分6 614分V5 V3 2 1 V15+2=x1X=32 3 2621. （本題滿分14分）本大題共有2小題，第1小題6分，第2小題8分.【解】（1）設(shè)每分鐘滴下k （kwN，）滴,則瓶內(nèi)液體的體積 =龍 49 +兀，3 = 156兀c/n33分k滴球狀液體的體積匕

13、=£土兀10 = 世加 F = c/H35分-3375Lrr所以156 = X156,解得£=75,故每分鐘應(yīng)滴下75滴。6分（2）由（1）知，每分鐘滴下71 c/n3藥液7分當(dāng) 4</?<13 時(shí)，a7T = -42-(13-/i),即力=13 丄，此時(shí)0<x<14410分16當(dāng) l<h< 4 時(shí)，avt = ” 4 9 + ;r 2 (4 )，即 =40 ,此時(shí)44 < x < 15613 分4X13 一 .0SS144綜上可得/?（X）= <14分16X40-,144<x<156422. （本題滿分16

14、分）本大題共有3小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分. 解：（1）將已知條件q出+©=32"變形為«+1-2n+1=-（«n-2w）1分/ _ 2/,+|由于絢一 2 = 3-2 = 1工0,則 =-1 （常數(shù)）3分-2”即數(shù)列© 2"是以1為首項(xiàng)，公比為一1的等比數(shù)列4分所以心 一2" =1（一1）心=（一1）“"，即匕=2“+（1）心（ne/V4）o 5 分（2）假設(shè)在數(shù)列©中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為匕“，你，你亠（k>2, k 已 N"由題

15、意得，2ak = ak +,將山=2左+（-1）,匕“ =2-+（1）"2, +1 =2+（-!/代入上式得7分22人+ (-1)2 = 2心 + (-1)_2 + 2® + (-1)“ 8分化簡得，一2人"=4（一1）_2,即2人"=4（一1）1,得（-2）'-1 = 4,解得R=3所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為如，5成等比數(shù)列。10分(3) 若d, ar, ax成等差數(shù)列，則2ar =州+ as即 22r + (-l)r-' = 3 + 2$ + (-I)'",變形得 2X 一 2r+1 = 2 (_曠 _(一 1嚴(yán)

16、 _3 11 分由于若r, seN，且lsvs,下而對(duì)r、s進(jìn)行討論： 若尸，$均為偶數(shù)，則2v-2r+1 <0,解得5<r + l,與1<廠<$矛盾，舍去； 若，為奇數(shù)，s為偶數(shù)，則2'2燈=0,解得5 = r + l； 若，為偶數(shù)，s為奇數(shù)，則2v-2f+, <0,解得s <廣+ 1,與<r<s矛盾，舍去： 若八$均為奇數(shù)，則2' -2r+1 <0,解得5<r + l,與ls<s矛盾，舍去：15分綜上可知，只有當(dāng)r為奇數(shù)，$為偶數(shù)時(shí)，偽，心，心成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條件點(diǎn)列(幾s) 落在直線y = x+l (其中x為正奇數(shù))上。16分(不寫出直線方程扣1分)23. (本題滿分18分)本大題共有3小題，第1小題滿分4分，笫2小題滿分6分，第3小題滿分8分.解：(1)由72 e(1,2得，/(V2) = 1 + log, V22分s2由題中條件得/(2) = 2/(V2) = 2x- = l2(2)當(dāng) xe(2'2"(j = 0,l,2)時(shí)，依題意可得:2x-x2。6分方程/(x)_x = 0O 牙=0或大=2 ,0與2均不屬于(2/»2f+, (0 = 0,1,2)8分當(dāng)xe(2*,2,+, (/= 0,1,2)